Algebra elementare
Calcolo simbolico, termini ed equazioni equivalenti

0. Introduzione
1. Il simbolo
"="
2. Calcolo simbolico - Termini equivalenti
3. Equazioni equivalenti
4. Equivalenza algebrica e altri tipi di equivalenza
5. Esercizi
Sintesi

 

0. Introduzione

    In più occasioni abbiamo fatto uso di formule per rappresentare relazioni tra grandezze di vario genere e le abbiamo manipolate. In questa scheda cercheremo di generalizzare i procedimenti impiegati.


1. Il simbolo "="

    Il simbolo "=" e le equazioni vengono usate in molti contesti. Gli attribuiamo sempre lo stesso significato? Consideriamo alcuni esempi.

Esempio (A).      Usiamo l'espressione 3+2=5 per indicare che "3 più 2 fa 5". Per indicare che "5 è scomponibile negli addendi 3 e 2" usiamo invece di preferenza l'espressione 5=3+2. In realtà le due equazioni affermano entrambe che i termini 3+2 e 5 hanno lo stesso valore. Tuttavia, nell'uso comune, "=" viene spesso interpretato come "può essere sostituito con":

    3+2=5  viene inteso come:   3+2 può essere sostituito con 5,

    5=3+2  viene inteso come:   5 può essere sostituito con 3+2.

Esempio (B).      Per calcolare 3+2 con una CT battiamo: 3 + 2 =. Qui "=" rappresenta il comando (per la CT) di eseguire il calcolo impostato e visualizzarne il risultato.

 1 
  (1)  Indica la sequenza di tasti da premere per calcolare (3+2)·4 con una CT senza priorità.
  (2)  Tizio per descrivere le operazioni che man mano esegue nel calcolo "a mano" di tale termine scrive:  3 + 2 = 5 · 4 = 20.  Spiega perché ha sbagliato e indica uno o più modi in cui avrebbe potuto descrivere correttamente il procedimento di calcolo.
 

 2 
    Di fronte al compito "trova il valore di 3·5+4/2–5" Maria e Veronica procedono rispettivamente così:
      3·5+4/2–5 = 15+2–5 = 10+2 = 12         3·5+4/2–5 = 10+2 = 15+2–5 = 12
    L'insegnante considera sbagliata la risposta di Veronica.  Secondo voi ha ragione?  Perché?
 

Esempio (C).   Abbiamo incontrato l'uso di "=" con un ulteriore significato. Ad esempio se, riferendoci a una CT, indichiamo con V il numero contenuto nel visore e con M quello contenuto nella memoria-utente, possiamo indicare l'azione che esegue la CT quando si preme con:  M = M + V.  Con questa scrittura intendiamo dire che la CT modifica il valore in memoria prendendo come nuovo valore il vecchio aumentato di V.

    Anche nella descrizione di altri procedimenti di calcolo abbiamo usato scritture simili. Ad esempio se con C indichiamo un "contatore" con la scrittura "PONI C=C+1" abbiamo inteso "incrementa C di 1".  In questi casi invece di "=" si può usare ":=". Nei nostri esempi scriveremmo rispettivamente: M := M+V e C := C+1.

    Lo stesso uso di "=" viene fatto nelle assegnazioni dei linguaggi di programmazione.

 3 
    Descrivi (usando ":=") l'azione comandata alla CT dal tasto e quella comandata dal tasto .
 

Esempio (D).      Quando definiamo: x2 = x·x o definiamo: f(x) = 3x+1, usiamo "= …" per dire "nel seguito sta per il termine …"; cioè x2 [f(x)] è una abbreviazione del termine x·x [del termine 3x+1]. Non ci dobbiamo porre il problema se il termine a sinistra equivale al termine a destra: essi sono equivalenti "per definizione".

Esempio (E).      Quando diciamo che la proprietà commutativa dell'addizione afferma che a+b=b+a intendiamo che i termini a+b e b+a sono equivalenti, cioè che per ogni coppia di numeri a e b il calcolo di a+b e quello di b+a danno luogo allo stesso valore, o, più in breve, che l'equazione a+b=b+a è vera.

Esempio (F).      Nella scheda 4 di Le Statistiche abbiamo usato l'espressione x+35=126 per rappresentare matematicamente la relazione tra alcuni dati, uno dei quali (gli studenti passati dalla 1ª alla 2ª), indicato con x, ci era sconosciuto. Cioè abbiamo usato "=" non per la descrizione di una proprietà matematica o per una definizione, ma per descrivere un modello matematico di una particolare situazione. Svolgendo i calcoli abbiamo trovato che l'equazione x+35=126 è vera se x è 91.

    In (A), (E) e (F) il simbolo "=" corrisponde al concetto di eguaglianza: si afferma che 3+2 è eguale a 5, … , che x+35 è eguale a 126.  È equivalente affermare che 5 è uguale a 3+2, …, che 126 è uguale a x+35.

    Nei casi (B) e (C), invece, "=" indica delle azioni: esegui il calcolo impostato, calcola e metti nell'"oggetto" indicato a sinistra il valore indicato a destra. Anche se nel caso (C) siamo di fronte a scritture simili a equazioni, scambiando le espressioni ai lati di "=" non si ottiene un'indicazione equivalente ( quesito 3:  M=V non equivale V=M).

    Il caso (D) assomiglia al caso (C) (siamo di fronte alla descrizione di un comando: «sia: f(x)=3x+1») ma anche a (E): si può dire che x2=x·x, x·x=x2, f(x)=3x+1, … sono equazioni che, qualunque valore si assegni a x, sono vere per definizione.

    La verità di 5=2+3 è invece frutto di una dimostrazione (calcolando trovo che effettivamente 3+2 fa 5).

    In casi come (F) si intende che l'equazione deve essere vera quando le variabili considerate (la variabile x, in questo caso) abbiano il significato descritto (x sia il numero degli studenti …). Per fare un altro esempio, A=a·b è vera se con A si intende l'area (in m2) di un rettangolo con lati consecutivi di misure a e b (in m), non è vera per ogni scelta di numeri da sostituire a a, b e A.

     Accanto a equazioni sempre vere o vere solo per particolari valori assegnati alle variabili che vi compaiono, vi sono equazioni sempre false:  1+1=3, x=x+1 (qualunque numero si metta al posto di x il valore di x+1 è diverso dal numero x), …

 4 
    Tra le seguenti equazioni, quali sono sempre vere, quali lo sono per qualche (ma non ogni) scelta di valori da assegnare alle variabili, quali sono sempre false? Motiva le risposte.
a+b = a b x2 = 4 x+y = 0 u2 + w2 = –8 √x + x = –100 2 x – x = x

Nota. Nell'equazione  a+b = a b  non è stato evidenziato il simbolo di moltiplicazione tra le variabili del termine destro ma al suo posto si è lasciato un piccolo spazio bianco.
    Nell'usuale linguaggio matematico spesso si usa questa convenzione, ma non sempre. Ecco, ad esempio, alcuni modi per indicare la formula che lega il costo totale al costo unitario:

costo = (numero dei pezzi)·(costo unitario)c = np cuc = np·cu
Costo = NumeroPezzi·CostoUnitarioc = (np)(cu)

    In genere quando si scrivono a e A si intendono due variabili differenti, come in A = a·b, ma in molti linguaggi di programmazione (Basic, Pascal, Fortran, …) e in altre applicazioni due nomi di variabile che differiscano solo per la dimensione (maiuscolo/minuscolo) di qualche carattere vengono considerati equivalenti. In JavaScript e in R, invece, caratteri diversi per dimensione sono differenti.
    Ricordiamo, inoltre, che nei linguaggi di programmazione e in molte applicazioni bisogna sempre esplicitare il simbolo di moltiplicazione (*). In altre ciò non è necessario o dipende dalle convenzioni scelte con opportuni menu.

    Una relazione tra numeri o altre grandezze espressa mediante un'equazione spesso può essere rappresentata efficacemente anche utilizzando altri "linguaggi".

 5 
    Completa i riquadri seguenti:

al posto di INCASSO = ............ + ............

+ … …
al posto di 3 + 2 = 5

al posto di y = .........

parte sta a ...................
come .................... sta a ...................
al posto di
parte = percentuale
————————
totale100


2. Calcolo simbolico - Termini equivalenti

    L'equazione 3+2 = 5 può essere usata per passare da 3+2+x al termine equivalente 5+x dicendo che ho fatto la sostituzione 3+2 = 5, cioè che al posto di 3+2 ho messo 5.

    Analogamente posso dire che, usando una sostituzione del tipo a+b = b+a, posso passare dal termine 5+x al termine equivalente x+5, o che, posto f(x) = 10+x·7, al posto di 10+2·7, 10+3·7, 10+4·7, … posso scrivere f(2), f(3), f(4), …

    Cioè le equazioni sempre vere (che siano tali per definizione o perché lo si è dimostrato) possono essere usate per effettuare delle trasformazioni di termini in termini equivalenti.

    La manipolazione di un termine o di un'equazione per riscriverla in una forma equivalente (ad esempio la riscrittura di un termine per poi poterlo calcolare più facilmente con una CT o a mente, la riscrittura di un'equazione che si vuole risolvere rispetto a una certa variabile, …) viene chiamata calcolo simbolico per distinguerla dal calcolo numerico, con cui si ottiene un nuovo valore numerico a partire da altri valori numerici:
3·2 → 6  è un calcolo numerico,  3·2 → 2·3  e  x·a·x → a·x2  sono calcoli simbolici.

    A volte invece che di calcoli simbolici si parla di calcoli letterali (con riferimento al fatto che oltre che su numeri si opera anche su espressioni che contengono lettere e nomi) o di calcoli algebrici. Quest'ultima dizione deriva dalla parola algebra, con cui si intende quella parte della matematica che si occupa dello studio delle proprietà delle operazioni e delle formule (equazioni, disequazioni, …), oltre che di altri argomenti, a cui accenneremo successivamente.

    Man mano, nel corso dello studio della matematica, incontreremo svariate tecniche di calcolo simbolico. Abbiamo già incontrato e usato, più o meno esplicitamente, varie tecniche.

    In Le Statistiche - 4 () abbiamo visto ad es. come usare la proprietà del riordino della somma per trasformare 17+16+4+3 in 17+3+(16+4).

     Come sai vale anche la proprietà del riordino del prodotto:

    il risultato di una moltiplicazione non viene modificato dalla commutazione dei suoi due termini (vedi figura 1-A: per contare i quadretti posso sia fare 4 volte 6 che fare 6 volte 4)

    e, più in generale (vedi figura 1-B: per contare i cubetti posso sia sommare 5 strati di 7·3 cubetti che sommare 7 strati di 3·5 cubetti):

due termini ottenuti entrambi applicando ripetutamente la moltiplicazione a partire dagli stessi sottotermini t1, t2, …, tn sono termini equivalenti.

A


 figura 1



B    

           A lato è illustrata la struttura di due termini equivalenti ottenibili l'uno dall'altra con un riordino del prodotto.

 6 
    Calcola mentalmente 2·6·50·3·3 nel modo che ritieni più conveniente e scrivi il termine che corrisponde al procedimento che hai impiegato.  

 7 
    Per calcolare 17+29+13·118 con una CT "senza priorità" conviene considerare il termine equivalente  13·118+17+29. Perché?  È la proprietà del riordino della somma o quella del prodotto a garantire questa equivalenza?

 8 
    Per la divisione vale la proprietà del riordino? (se la risposta è affermativa spiega il perché, se è negativa mostra un controesempio)
 

    Delle proprietà del riordino abbiamo dato solo delle spiegazioni intuitive: è difficile andare oltre. Ad esempio ci possiamo convincere dell'equivalenza di a+b+c con c+a+b o con b+(c+a) (casi particolari del riordino della somma) con qualche calcolo a mano su alcuni esempi numerici. La dimostrazione che ciò valga in generale è molto complicata.
    Possiamo convincerci che l'equivalenza vale in generale interpretando "fisicamente" la addizione:
se cambio l'ordine con cui congiungo tre aste non cambia la lunghezza dell'oggetto che ottengo.

    Analogamente, interpretando la moltiplicazione come modello matematico per il calcolo dell' estensione di una superficie rettangolare, possiamo convincerci del fatto che a·d+b·d+c·d equivale a (a+b+c)·d.    

Approfondimenti.  Ad essere rigorosi, ricorrere a queste spiegazioni "fisiche" è un po' un cane che si morde la coda: le operazioni aritmetiche sono state inventate per affrontare più facilmente problemi relativi a grandezze fisiche, economiche, …; non possiamo capovolgere la situazione e dedurre certe proprietà delle operazioni aritmetiche dal fatto che, operando concretamente con grandezze fisiche, con valori monetari, … si verificano certi fatti.
È un "circolo vizioso" anche verificare alcune proprietà di base (la possibilità di riordinare un'addizione, di raccogliere a fattor comune, …) facendo un po' di calcoli (a mano o con la CT) su alcuni esempi numerici. Infatti nell'esecuzione dei calcoli, spesso senza che ce ne accorgiamo, vengono già usate queste proprietà.

 Ad esempio consideriamo l'esecuzione a mano di 24·32: troviamo 48 facendo 24·2, troviamo 720 mettendo uno zero finale e facendo 24·3, sommiamo 48 e 720. Nel far ciò abbiamo trasformato 24·32 in 24·2+24·3·10:
24·32 → 24·(2+30) → 24·2+24·30 → 24·2+24·(3·10) → 24·2+24·3·10
          24 x
          32 =
         ————
 24·2 —>  48 +
24·30 —> 720 =
         ————       
         768

Comunque, poichè non possiamo porci l'obiettivo di dimostrare tutto (a scuola non si può riinventare in pochi anni tutta la matematica che è stata messa a punto in millenni, né la scuola preuniversitaria ha l'obiettivo di formare dei "piccoli matematici"!), confidando sul fatto che le operazioni aritmetiche e gli algoritmi di calcolo usuali siano stati definiti bene, a volte ricorreremo ad esemplificazioni di tipo fisico o a esperimenti numerici per giustificare alcune proprietà.

    Nel quesito 7 hai visto che per calcolare 17+29+13·118 con una CT senza priorità conviene considerare 13·118+17+29. Per precisare in che modo abbiamo riordinato la somma possiamo dire che abbiamo applicato la regola di riscrittura  a+b+c c+a+b.

    La direzione della freccia indica il verso in cui viene effettuata la sostituzione.

 9 
    Se per calcolare 50·13·2 ci riconduciamo, riordinando, al calcolo: 50·2·13 = 100·13 = 1300, quale regola di riscrittura abbiamo impiegato?
a·b·c    .............

    Considera il calcolo a lato.
(questa espressione non indica solo delle uguaglianze ma anche il verso in cui sono eseguiti i calcoli, come se ci fosse "→" al posto di "=")
  
17+16+3 = 17+3+16 = 20+16 = 36 = 18
———————————
2222

    Prima di fare dei calcoli numerici ho riordinato il primo termine della divisione, cioè ho rimpiazzato il sottotermine 17+16+3 con il sottotermine equivalente 17+3+16. Invece di dire che ho applicato la seguente regola di riscrittura (1) all'intero termine possiamo dire che ho applicato la regola di riscrittura (2) al primo termine della divisione:

(1)   a+b+c   a+c+b
——————
dd
(2)   a+b+c    a+c+b

 10 
   Nel seguente calcolo sono usate due volte le regole  
a  →   a · 1
bb
  e  
a · 1  →  a
bb
[l'equivalenza tra a/b e a·(1/b) è stata discussa nella scheda 2 di La automazione]

14 ·5· 6 ·2 = 14· 1 ·5·6· 1 ·2 = 14· 1 ·(6· 1)·(5·2) = 14 · 6 ·10 = 2 ·2·10
37377373

   Qual è il sottotermine 
a
b
 nei due casi in cui si è applicata la prima regola?
..............................

   Qual è il sottotermine 
a·1
b
 nei due casi in cui si è applicata l'altra regola?
..............................

Nota. Stiamo usando la parola "regola" non nel senso di "modo di comportarsi a cui occorre attenersi", cioè di norma, precetto, ... obbligatorio (o consigliato), ma nel senso, un po' diverso, di descrizione sintetica di un procedimento meccanico. Cioè non tanto come in «è contro le regole del calcio prendere la palla con le mani» quanto come in «nella maggior parte dei casi per formare il plurale dei nomi che finiscono in "e" puoi usare questa regola: …».

    Abbiamo già usato ( Le statistiche, scheda 1, quesito e23) la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla addizione (illustrata anche nella figura precedente):  a(b+c) = ab+ac e, più in generale,  a(b+c+…) = ab+ac+… e (b+c+…)a = ba+ca+…. Possiamo quindi applicare le regole di riscrittura:

a · (b + c + …)    a · b + a · c + …(b + c + …) · a    b · a + c · a + …

per distribuire il fattore moltiplicativo a tra i termini di una sequenza di addizioni, cioè per portarlo dentro al sottotermine (b+c+…).

    Ad es. per calcolare a mente 4·157 si può rimpiazzare 157 con 150+7 e poi distribuire "4·":

     
figura 2
4·157 = 4·(150+7) = 4·150 + 4·7 = 600+28 = 628
    Nel passaggio da  4·(150+7) a 4·150+4·7  la struttura del termine è cambiata nel modo raffigurato a fianco: l'operazione "principale" non è più la moltiplicazione, ma la addizione, cioè il termine si presenta come una somma di termini invece che come un prodotto di termini.

    Le equazioni che descrivono la proprietà distributiva lette "alla rovescia" danno luogo alle regole di riscrittura:

a · b + a · c + …    a · (b + c + …)b · a + c · a + …    (b + c + …) · a

che permettono di raccogliere a fattor comune o portare fuori dal termine a·b+a·c+… o dal termine b·a+c·a+… il fattore moltiplicativo a.

    Ad esempio se L1 e L2 sono le misure di due lati consecutivi di un rettangolo, per esprimere il perimetro P possiamo scrivere:

P = L1+L2+L1+L2 = L1+L1+(L2+L2) = 2·L1+2·L2 = 2(L1+L2)

   

dove abbiamo riordinato l'addizione, abbiamo operato due riscritture del tipo a+a → 2a (L1+L1 → 2L1, L2+L2 → 2L2) e, infine, abbiamo raccolto 2 a fattor comune.

 11 
    Qual è l'operazione principale del termine 2·L1+2·L2?
E quella di 2(L1+L2)?
Rappresenta a lato con due grafi tali termini.
 

    Le manipolazioni simboliche di un termine in alcuni casi cambiano solo il posto di alcuni sottotermini (es.: x·y → y·x), negli altri cambiano la struttura, spesso cambiando anche l'operazione principale. Ad esempio distribuendo un fattore moltiplicativo si trasforma un prodotto in una somma, raccogliendolo si trasforma una somma in un prodotto ( fig. 2). Queste trasformazioni servono per semplificare i successivi calcoli numerici o per risolvere equazioni o per scrivere in modo più comodo da usare delle formule o ... .

    Nel paragrafo Esercizi troverai vari esempi di utilizzo.

 12 
    Sotto, nella prima colonna, sono elencate alcune regole di riscrittura. Nella seconda colonna è indicato un termine con evidenziato in corsivo un sottotermine. Nella terza colonna scrivi come si trasforma il termine dopo la applicazione della regola al sottotermine evidenziato. Nella quarta indica quale descrizione verbale fra quelle elencate si addice meglio alla regola.

a – b    a + –b 95 – 7 + 15 – 3
 
 
a    a · 1
bb
17 ·16
——
0.25
  
a (–b)    –(a b) 3 · (– 5 · 7) + 8  
 
a + –b    a – b
(x +  y) ·3
z
  
b(a + c)    b a + b c 1 – 3 · (1 + 2) – 5  
 
 

(1)  trasformare un prodotto in somma

(2)  trasformare una divisione in prodotto

(3)  trasformare una differenza in somma

(4)  trasformare una somma in differenza

(5)  portar fuori la negazione da un prodotto

 13 
    Riportiamo alcuni errori di calcolo simbolico (trasformazione di termini in termini) fatti da alunni di scuola secondaria superiore; in alcuni casi, per chiarezza o brevità, descriviamo con una regola di riscrittura il procedimento che intendevano applicare.

(A x+yz = y+xz  applicando a x+y la regola di riscrittura  a+bb+a.
Dimostra con un esempio che i due termini non sono equivalenti e spiega qual è l'errore.
 
(B)2a + 2b(x+y) = 2(a+b)(x+y)  raccogliendo 2 a fattor comune.
Dimostra con un esempio che i due termini non sono equivalenti e spiega qual è l'errore.
 
(C)x – (–x) = x x = x2  eliminando a 2 a 2 le negazioni, cioè applicando la regola –(–a)a  a  –(–x).
Opera la sostituzione x = –1, verifica che i termini non sono equivalenti e spiega qual è l'errore.
 
(D)
10+x = 2+x
————
5xx
  applicando  
c·a → a
——
c·bb
, 
cioè eliminando il fattore 5 comune ai due termini della divisione
Dimostra con un esempio numerico che i due termini non sono equivalenti e spiega qual è l'errore.
 
(E)1 / x / x = 1/1 = 1  applicando  a / a → 1.
Verifica con CT che 1 / x / x in genere non vale 1 e spiega qual è l'errore.

 14 
    La figura a lato illustra il seguente fatto:
eseguire gli spostamenti –a e –b (opposti a due spostamenti a e b) equivale a eseguire lo spostamento (a+b), opposto allo spostamento complessivo (somma di a e b).
    Quale, tra (1) e (2), è la proprietà matematica corrispondente?
(1)   la proprietà distributiva della negazione rispetto alla addizione
(2)   la proprietà distributiva della addizione rispetto alla negazione
    Completa le regole di riscrittura che corrispondono a questa proprietà:
  
(a + b)    …                     –a + b    …    

 15 
    Riportiamo altri errori.

(F x – (x – 3) = –3
Spiega qual è l'errore dopo aver svolto correttamente il calcolo (trasformando la differenza in somma e poi distribuendo la negazione)
 
(G)–(a b) = (–a)(–b)  (con l'intenzione di distribuire la negazione)
Dimostra con un esempio che i due termini non sono equivalenti e spiega qual è l'errore.
 
(H)Guadagno = Incasso – Spesa1 + Spesa2  ottenta da:   Guadagno = Incasso – Spese
con la sostituzione:   Spese = Spesa1 + Spesa2
Spiega qual è l'errore.
 

    Non è difficile capire né ricordare le proprietà che si utilizzano per manipolare i termini. Basta un minimo di riflessione o qualche esempio numerico per vedere quando una regola di riscrittura trasforma un termine in uno equivalente. La difficoltà sta nell'individuare, man mano, quale regola di riscrittura applicare e nell'applicarla nel modo giusto, come hanno messo in luce gli esercizi precedenti.

    Gli errori esaminati in questi esercizi possono essere raggruppati in tre classi:

(1)  Casi in cui non si presta attenzione alla struttura del termine e si applica una regola di riscrittura a una espressione che non è un sottotermine.

•  Ad es. nel caso A del ques. 13 non si è tenuto conto che x+y non è un sottotermine di x+yz; infatti x+yz, esplicitando tutti i simboli di operazione e delimitando i sottotermini con parentesi, assume la forma: x+(y·z).  E così: in B 2a+2b non è un sottotermine;  in E  x/x non è un sottotermine, infatti  1/x/x  sta per  (1/x)/x.

•  Nel caso C si è interpretato  –(–x) come sottotermine di x–(–x) mentre, in questo caso, il primo "–" rappresenta la "sottrazione", non una "negazione", per cui  –(–x) non è un sottotermine (nella regola  –(–a) → a  entrambi i "–" sono invece simboli di negazione).

•  Nel caso D si voleva semplificare il termine dividendo per 5 i due termini della divisione, ma si è preso come primo termine 10 invece che tutto 10+x.

     

(2)  Casi in cui si applica una regola di riscrittura dimenticando di introdurre, quando è necessario, delle parentesi per delimitare il sottotermine a cui si applica la regola.

•  Nell'esempio H si è trasformato  Guadagno = IncassoSpese  mettendo brutalmente  Spesa1 + Spesa2  al posto di  SpeseGuadagno = IncassoSpesa1 + Spesa2.  Se non si introduce una coppia di parentesi il secondo termine della sottrazione diventa Spesa1 invece di Spesa1 + Spesa2; cioè occorre scrivere:

Guadagno = Incasso – (Spesa1 + Spesa2).

•  Anche nell'esempio F si è fatto un errore simile: si è pensato, giustamente, di modificare x–(x–3) trasformando le sottrazioni in addizioni dell'opposto, ma, invece di fare l'opposto di tutto  x–3,  si è fatto solo quello di x.  Cioè si è ragionato seguendo mentalmente questo procedimento:

x – (x – 3)  =  x + –x – 3  =  x + –x + – 3  =  0 + –3  =  –3   
invece che nel seguente modo, corretto:     x – (x – 3)  =  x + –(x + –3)  =  x + –x + – –3  =  0 + 3  =  3

(3)  Nel caso G invece si è inventata una regola in "analogia" con altre, senza preoccuparsi se corrisponde a qualche proprietà vera: si è inventata la distributività della negazione rispetto alla moltiplicazione, che invece vale solo rispetto all'addizione.

 16 
    Esamina le seguenti manipolazioni di termini e cerca di individuare e correggere gli eventuali errori.

(I) (3x+3)(x–1–x+1)+4 → (3x+3)(x/   1/   x/   + 1/ ) +4 → 3x+3+4    ("cancellando")
 
(L)
x + k x → x/ + k x/ → 
——————
xx/
k     ("eliminando il fattor comune")
 
(M 3xy+y+9y2 → (3x+9y)y     ("portando fuori il fattor comune")

 

(4)  In questo esercizio abbiamo visto un'altra categoria di errori. Anche queste sono situazioni in cui non si presta attenzione alle proprietà degli oggetti matematici rappresentati dalle espressioni manipolate; in questi casi la disattenzione è dovuta all'uso di espressioni verbali come "cancello", "porto fuori", "semplifico", …  senza tener conto delle diversità di significato rispetto al linguaggio comune.

    Nel primi due calcoli si sono usate le espressioni "cancello" e "elimino" nel significato corrente: in I si è fatto x–x → "niente" e 1–1 → "niente", mentre si sarebbe dovuta applicare la regola a–a → 0; in L si è fatto x/x → "niente", mentre si sarebbe dovuta applicare la regola a/a → 1.
    In M si è usato "porto fuori y" come nel linguaggio comune, senza tener conto che si tratta di una espressione usata convenzionalmente per indicare l'applicazione di  ad+bd+cd(a+b+c)d  e che quindi occorre pensare 3xy+y+9y2 come 3xy+1·y+9y2, usando aa.

    Ogni volta che si fa un passo durante la trasformazione di un termine può essere utile, soprattutto per i primi tempi, provare a esplicitare (a parole e con una regola di riscrittura) il procedimento che si è impiegato. Questo aiuta a controllare se sono presenti errori. Si rallenta un po' la velocità di calcolo, ma questa non è la cosa più importante: l'importante è non commettere errori.

    Come già osservato, in caso di incertezza (nel trovare il procedimento da usare o nel controllo della regola scelta o della sua applicazione) può essere utile fare qualche esempio numerico o pensare a qualche situazione d'uso, di tipo geometrico-fisico (come si è visto dopo il ques. 8 o nel ques.14) o di altro genere: ad es. il ricordo che, premendo 2 volte , sul visore ricompare il numero di partenza può suggerire la regola 1/(1/a)a.

    Del resto, ai nostri giorni, anche i calcoli simbolici vengono svolti utilizzando opportuni programmi al calcolatore. Ciò che occorre è scrivere i termini correttamente (cioè seguendo il linguaggio – convenzioni, simboli, … – utilizzato dal programma che si impiega) e dare man mano i comandi giusti per effettuare le trasformazioni che ci interessano. E per entrambe queste cose occorre avere chiara la struttura del termine su cui si opera e saper individuare le regole di riscrittura che si vogliono applicare.

    Nel paragrafo di esercizi sono presenti altre riflessioni sulla riscrittura dei termini, altre saranno affrontate in schede di lavoro successive. Per una sintesi potrai poi usare Gli oggetti matematici.


3. Equazioni equivalenti

    I procedimenti per riscrivere termini sono spesso impiegati per trasformare formule.

    Ad esempio nel passare da  percentuale = parte / totale · 100  a  percentuale = parte · (100 / totale)  si trasforma il secondo membro dell'equazione.

    Altre volte si opera contemporaneamente su entrambi i membri dell'equazione.

Ad esempio per trasformare  181 = x + 127  nella forma  x = … abbiamo fatto:

181 = x + 127  <==>  181 – 127 = x + 127 – 127  <==>  54 = x  <==>  x = 54

    Il simbolo "<==>" serve per indicare che la formula alla sua sinistra è equivalente a quella alla sua destra. È una "sintesi" dei simboli "==>" e "<==" usati, rispettivamente, nel significato di "implica" ("A implica B": se l'equazione A è vera allora è vera anche l'equazione B) e "segue da" ("A segue da B": se l'equazione B è vera allora è vera anche l'equazione A).

    Nel primo "passaggio" abbiamo applicato a entrambi i termini dell'equazione l'operazione inversa di "+127", cioè "–127", in modo da isolare la x. Nell'ultimo passaggio abbiamo scambiato primo e secondo membro, sfruttando la "simmetria" dell'eguaglianza (a=b equivale a b=a).

    In generale, per trasformare un'equazione, si utilizzano, oltre all'eventuale scambio dei due membri, procedimenti di questo genere:

applicare a entrambi i membri una stessa funzione

    Vediamo qualche altro esempio:

(1)negazione – x = 42  <==>  – – x = – 42  <==>  x = – 42
(2)reciproco 1/x = 8  <==>  (1/x)–1 = 8–1  <==>  x = 1/8  [= 0.125]
(3)radice quadrata    A = L2  <==>  √A = √(L2)  <==>  √A = L  <==>  L = √A  [vedi nota]
(4) divisione2x = 15  <==>  2x/2 = 15/2  <==>  x = 15/2  [= 7.5]

    Nei casi (1), (2) e (3) abbiamo applicato a entrambi i membri una funzione a 1 input.

    Nel caso (4) abbiamo applicato la funzione "/2", cioè, ad essere più precisi, abbiamo applicato sia a sinistra che a destra di "=" la funzione "/" (che è a due input), prendendo come primo input ciascun membro dell'equazione, come secondo input lo stesso termine 2, in modo da garantire l'eguaglianza delle uscite.

   

    Analogamente, nell'esempio iniziale (181 = x+127), avevamo applicato "–127", cioè la sottrazione prendendo come primo input i membri dell'equazione e come secondo input 127.

Nota
    Il caso (3) rappresenta l'equivalenza tra la formula che esprime l'area di un quadrato in funzione della misura del lato e la formula inversa che esprime il lato in funzione dell'area. Se con A e L avessimo inteso rappresentare numeri qualunque l'equivalenza corretta sarebbe stata:

(A = L2  e  0 ≤ L)   <==>   √A = L

in quanto la sostituzione di √(L2) con L produce un termine equivalente solo se L non è negativo:
√((– 4)2)  =  √(42)  =  4 ≠ – 4 ( La automazione, scheda 2, §6).

    Analogamente l'equivalenza a fianco vale solo se N≠0. In altre parole S=P·N è impiegabile anche nel caso in cui non acquisto nulla: S=P·0=0 (se non compro nulla non spendo nulla), P=S/N no (la divisione per 0 non è definita). Dovremmo quindi scrivere:     S = Spesa   P = Prezzo Unitario
N = Numero Pezzi Acquistati
S = P · N   <==>   P = S/N

(S = P · N   e   N ≠ 0)   <==>   P =  
S
N

    Su problemi di questo genere torneremo in seguito, man mano che li incontreremo.


4. Equivalenza algebrica e altri tipi di equivalenza

    Un uso tipico dei procedimenti di trasformazione di termini in termini equivalenti è quello per svolgere un calcolo mediante una CT.

 17 
    Qui sotto, nella 1ª riga, sono indicati tre calcoli che si vogliono eseguire disponendo di una CT che non ha incorporata la priorità delle operazioni e senza usare la memoria.
    Nelle righe successive sono indicati i procedimenti di riscrittura impiegati per arrivare man mano a un calcolo eseguibile "a catena" (le prime due colonne rappresentano due alternative per lo stesso calcolo).
    Per ogni regola di riscrittura indica nell'espressione soprastante il sottotermine che corrisponde ad a, quello che corrisponde a b, …    Completa l'ultima riga indicando la sequenza di tasti da battere.

10000 – 27·(175 + 97)
 
a – b  →  –b + a
– 27·(175 + 97) + 10000
 
a · b  →  b · a
– (175 + 97)·27 + 10000
 
...............
10000 – 27·(175 + 97)
 
a – b  →  –(b – a)
(27·(175 + 97) – 10000)
 
a · b  →  b · a
((175 + 97)·27 – 10000)
 
...............
48· 77
————
235 – 168
 
a · b → 1 · a · b
cc
1 · 48 · 77
————
235 – 168
...............


    Abbiamo visto che trasformando termini in termini equivalenti calcolabili "a catena" si può rendere più semplice l'uso di una CT. Ma di fronte a due termini equivalenti calcolabili a catena una CT fornisce sempre lo stesso risultato?

 18 
    a + b – c  si può riscrivere come a – c + b  (a + b – c  →  a + b + –c  →  a + –c + b  →  a – c + b).
    Calcola  12345678 + 0.123456 - 12345670  e  12345678 - 12345670 + 0.123456  con la tua CT e confronta i due risultati ottenuti. I tuoi compagni hanno ottenuto gli stessi risultati?
 

 19 
    a / b · c può essere riscritto come a · c / b   ( 
a  · c  →  a ·  1 · c  →  a · c ·  1  →  a c
——
bbbb
)
    Calcola  1 / 3 · 3 – 1  e  1 · 3 / 3 – 1  con la tua CT e confronta i due risultati ottenuti. I tuoi compagni hanno ottenuto gli stessi risultati?
 

    Gli ultimi due quesiti mostrano che non sempre due termini equivalenti, anche quando la CT li esegue nel giusto ordine, danno luogo allo stesso risultato.

    Nella scheda 2 di La automazione è spiegato ciò che è all'origine degli "strani" risultati ottenuti.

    Concludendo possiamo osservare che l'equivalenza tra termini può essere considerata da punti di vista diversi.

    Dal punto di vista del tempo di calcolo con una CT,  357+69 e 69+357  sono equivalenti in quanto per calcolarli devo battere esattamente gli stessi tasti.

    Invece –69+357 e 357–69 non lo sono: nel primo caso devo battere un tasto in più.  Per fare un altro esempio, nel caso eseguissi i calcoli a mano, 7·254 è più dispendioso di 254·7 (vedi l'illustrazione a fianco).

    Nel quesito 18 abbiamo visto due termini non equivalenti dal punto di vista della precisione del calcolo se si opera con una CT: a seconda del termine che considero posso conoscere il risultato con tutte o con una parte delle cifre.

   254 x     7 x
     7 =   254 =
   —————   —————
  1778      28 +
           350 +
          1400 =
          ——————      
          1778

    I termini del quesito 19 da questo punto di vista non sono equivalenti neanche procedendo a mano. Calcolando 1/3 posso ottenere 0.33 o, se vado avanti nella divisione, 0.33333, e così via, ma a un certo punto mi devo fermare. Nel moltiplicare questo risultato per 3 ottengo 0.99 o 0.99999 o …, ma non ottengo mai esattamente 1. Se invece di 1/3·3  calcolo  1·3/3  ottengo esattamente  (1·3)/3 = 3/3 = 1.

    Dal punto di vista "teorico" in tutti i casi sopra considerati avevamo di fronte termini equivalenti. Per distinguere questa equivalenza teorica dalle equivalenze più "operative" di cui abbiamo appena discusso possiamo parlare di termini algebricamente equivalenti.  Quindi  diremo che  a+b-c  è algebricamente equivalente a a-c+b (cioè è equivalente dal punto di vista del calcolo simbolico) anche se può non esserlo dal punto di vista del calcolo numerico.

5. Esercizi

 e1 
    Tra le seguenti equazioni, quali, fissata u e presa w come incognita, hanno un'unica soluzione? Quali hanno un'unica soluzione se si fissa w e si prende u come incognita?
[prima di fare calcoli simbolici, cerca di descrivere a parole il significato dell'equazione e prova a ragionare su degli esempi numerici; ad es. risolvere la prima equazione rispetto a w è un problema che può essere espresso con: «quali sono i numeri w che sommati a u danno 0?»]

u+w=0   uw=1   u2=w   w=|u|   u2=w2   u=0w

 e2 
    Maria dice a Paolo: «Pensa un numero intero, raddoppialo, aggiungi 25, moltiplica per 2, aggiungi 10, dividi per 4. Dimmi che cosa ottieni e io indovinerò quale numero hai pensato».

(1)   Maria non è una maga: semplicemente toglie 15 al numero finale ottenuto da Paolo. Verificate con qualche prova che il "trucco" funziona.

(2)   Proviamo a dimostrare che il trucco funziona in ogni caso, cioè che qualunque sia il numero x pensato, togliendo 15 al numero ottenuto alla fine si riottiene x.

    Il calcolo man mano eseguito da Paolo può essere così descritto:

x     2x     2x+25     2(2x+25)     2(2x+25)+10    2(2x+25)+10
——————
4

Il termine finale è il numero ottenuto. Sottrai 15 e verifica che si ottiene effettivamente x:

2(2x+25)+10 – 15 =     ...     +10 – 15 = 4x+60 – 15 =   ...   +   ...   – 15 = ...
————————————————————
444......

(3)   Vediamo come è stato "inventato" questo gioco. Indicando con Q il numero finale si è descritto il problema sotto forma di equazione e si è ricavata x in funzione di Q. Cioè si è risolta rispetto all'incognita x l'equazione:

Q = 2(2x+25)+10
——————
4

    Completa le seguenti trasformazioni:

Q = 2(2x+25)+10  <==>     ... = 2(2x+25)+10    <==>     ... = 4x+50+10   <==>
——————
4

  ... – 60 =   ...     <==>    ...... = x     <==>     ......   = x
——————
......

(4)   Inventa una nuova versione di questo gioco.

 e3 
    La visione di un film in un Cineclub costa 5 € ai soci e 6 € ai non-soci. La tessera annuale costa 10 €. In quali casi conviene farsi soci?
    Per rispondere risolvi prima la seguente equazione rispetto a N:  10+5N = 6N

 e4 
    Abbiamo che:   (ab)3 → (ab)(ab)(ab) → (aaa)(bbb) → a3 b3
    Possiamo esprimere la trasformazione del termine iniziale nel termine finale dicendo che abbiamo portato l'elevamento a potenza dentro alla moltiplicazione o che abbiamo distribuito l'elevamento a potenza rispetto alla moltiplicazione.
    Più in generale abbiamo la regola di riscrittura:
(ab)c  →  ac bc
Ad esempio possiamo usare tale regola (con c=2) per calcolare velocemente 3002:
3002 = (3·100)2 = 32·1002 = 9·10 000 = 90 000
    Si può dimostrare che tale regola dà luogo a termini equivalenti anche quando c non è un numero intero positivo. Completa i seguenti calcoli, specificando che cosa è c:

400– 1 = (4·100)– 1 = ...................... = 1/4·0.01 = 0.25·0.01 = 0.0025c = ?
√1600 = √(16·100) = (16·100)1/2 = ...................... = √16·√100 = ..............    c = ?

   Nota. Nell'applicare questa regola di riscrittura, analogamente a quanto si è visto a proposito delle regole per riscrivere le equazioni, occorre fare attenzione.
    Ad esempio non sempre si può distribuire la radice quadrata (cioè l'elevamento alla 1/2).
    Nel caso a fianco, sopra, si otterrebbe la trasformazione in un termine che non è definito, mentre moltiplicando direttamente avremmo ottenuto:
  √(–9·–4) = √–9·√–4
 
√(–9·–4) = √36 = 6

 e5 
    Abbiamo visto nel quesito precedente che l'operazione di passaggio al reciproco, essendo equivalente ad un elevamento alla –1, si può distribuire rispetto al prodotto, cioè che si può applicare la regola a fianco:
    Possiamo anche applicare la regola opposta:
    Del resto abbiamo già altre volte usato il fatto che dividere per a e poi per b equivale a dividere per a·b.
 
1  →  1 · 1
——
a·bab
1 · 1  →  1
——
aba·b
    Usando queste regole e trasformando divisioni in moltiplicazioni per reciproci o viceversa, possiamo, ad esempio, riscrivere il termine sotto a sinistra nel modo seguente:
1 y x = 1 yx 1 = xy 1 1 = xy 1 = xy
————
wzwzzwzwzw
xy  è un termine frazionario, cioè del tipo termine1                 
———
zwtermine2
Trasformalo in un termine con solo moltiplicazioni e reciproci.

 e6 
    A e B sono due grandezze legate dalla relazione a fianco, dove h e k sono dei valori fissati. L'equazione considerata esprime A in funzione di B.   La formula inversa può essere ottenuta nel modo seguente:    
A=hB+2kB+B

A=hB+2kB+B   <==>   A=hB+2kB+1B   <==>   A=(h+2k+1)B   <==>    A = B
————
h+2k+1

dove, per applicare il raccoglimento a fattor comune, si è prima trasformato B in 1·B ( commento al ques.16-M).

    Sotto sono indicati per esteso i procedimenti usati da due alunni per trovare B in funzione di A nel caso della relazione a fianco.
    Completa le parti mancanti, indica quale dei due procedimenti è sbagliato e cerca di capire quale ragionamento ha seguito l'alunno che ha sbagliato.
   A=hB+2kB–B

(1)A=hB+2kB–B   <==>   A=(h+2k–0)B   <==>   A=(....+....)B   <==>   ........   = B
 
(2)   A=hB+2kB–B   <==>   A=hB+2kB+–B   <==>   A=hB+2kB+(–1)B   <==>
A=(.... + .... + ....)B   <==>   A=(.... + .... – ....)B   <==>   ........   = B

 e7 
    Per trasformare il termine iniziale nel termine finale

2w+w2–wz+2zw = 2w+w2–wz+2wz = 2w+w2+(–1+2)wz = 2w+w2+wz = w(2+w+z) = w
————————————————————————————————————————
2+w+z2+w+z2+w+z2+w+z2+w+z

si sono applicati i seguenti procedimenti. Scrivi nei riquadri il numero d'ordine con cui sono stati utilizzati.

calcolo di addizione   riordino di moltiplicazioni   semplificazione di frazione   raccoglimento a fattor comune   raccoglimento a fattor comune

 e8 
    "Dividendo o moltiplicando i due termini di una frazione per  uno stesso numero (diverso da 0) si ottiene una frazione equivalente" è un modo in cui possono essere espresse verbalmente le regole:
a·c → a
——
b·cb
  e  
a → a·c
——
bb·c
Calcola mentalmente la divisione 7526/5 e spiega a parole come hai proceduto.

 e9 
    Quale proprietà suggerisce la figura a fianco?

    Quali regole di riscrittura puoi dedurne?
   

 e10 
    Un disegno che occupa un rettangolo lungo 17 cm e largo 8.3 cm deve essere ingrandito fino a occupare un rettangolo lungo 40 cm. Indicata con x la larghezza del nuovo rettangolo, scrivi un'equazione che traduca la frase «x sta a 40 come 8.3 sta a 17» e risolvila arrotondando il risultato ai millimetri.   

 e11 
    Abbiamo più volte rappresentato la relazione tra valore in °C e valore in °F di una temperatura sia sotto forma di grafico, sia sotto forma di equazione:
f = 32 + 1.8 c

    Effettua i cambi di unità di misura sotto indicati procedendo sia graficamente (scrivi nel primo "…" il valore che riesci a stimare col grafico) sia ricorrendo all'equazione (scrivi nel secondo "…" il valore che ottieni arrotondato ai decimi).

  c = 60     f = ...     f = 32+1.8c = ...           c = –12     f = ...     f = 32+1.8c = ...

  f = 86     c = ...     cf–32 = ...             f = 60     c = ...     cf–32 = ...
——————
1.81.8

 e12 
    Due cineclub praticano le seguenti tariffe: il primo, 10 € di tessera annuale più 5 € a film; il secondo, 20 € di tessera annuale più 3.5 € a film. Senza entrare nel merito dei film proiettati, indicato con N il numero di film all'anno che si vedranno, stabilisci per quali valori di N conviene l'iscrizione al primo club e per quali valori di N conviene l'iscrizione al secondo. Risolvi questo problema in due modi:
(1)   Scrivi le equazioni che rappresentano il costo C annuale in funzione di N nei due casi (per il primo cineclub abbiamo già visto nel quesito e3 che C=10+5N);
(2)   Risolvi rispetto a N l'equazione 10+5N = …  (al posto di "…" metti il termine che rappresenta il costo in funzione di N nel caso del secondo club).
      Oppure:
(2 bis)   Traccia il grafico delle due equazioni C=10+5N e C=…  e trova l'intersezione dei loro grafici (sotto è già tracciato il grafico della prima equazione: è la retta che passa per i punti (0,10) - punto che corrisponde alla situazione: 0 film, costo annuale di 10 € - e (10,60) - punto che corrisponde alla situazione: 10 film, costo annuale di 60 €).

 e13 
  (1)  Senza fare disegni, stabilisci se si incontrano, e in che punto, le due rette che sono grafico delle funzioni  x 3x+4  e  x 2x+6.
  (2)  Come sopra, nel caso delle funzioni  x 7x+14  e  x 7x+15.

 e14 
    "due meno il prodotto di A più B per sette" è una possibile descrizione verbale di 2–(A+B)·7. Prova a descrivere verbalmente:

3 + A + B · B3 + A + B · B3 + A + B– A–A
—————————————
X + AX + A·B(X + A)·BZZ

 e15 
    Associa ad ognuno dei seguenti termini il grafo ad albero che lo rappresenta.

– ( 3 · x + a )– 3 · x– 3 · x
———————
22 + a2 + a

A          BC    

 e16 
    «Un negoziante incassa in un anno 280 mila €, ne spende 25 per una commessa (stipendio+contributi) e 150 per pagare i fornitori, e guadagna 70 mila €. A quanto ammontano le altre spese (telefono, energia elettrica, tassa sui rifiuti, manutenzioni, …)?»
    Questo problema può essere schematizzato sia con un'equazione che con un grafo:

Incasso = CostoCommessa + CostoForniture + AltreSpese + Guadagno

    Per risolvere il problema appoggiandosi al grafo, si possono mettere a fianco delle frecce che rappresentano flussi di denaro conosciuti i relativi valori e si possono poi conglobare in un'unica freccia i valori in uscita che sono noti, arrivando al grafo sulla destra. Di qui si può ricavare che AltreSpese = 280-245=35 (mila €).
    Risolvi il problema usando l'equazione (sostituisci prima alle variabili che rappresentano grandezze note i relativi valori, utilizzando come unità di misura le migliaia di euro).
    Negli esercizi seguenti vedremo altri problemi che si possono schematizzare e risolvere con un grafo, ma che non è facile risolvere con tecniche di calcolo simbolico.

 e17 
    Nei grafi a fianco cerca di trovare i valori di y e di x. Vi sono casi in cui ciò ti risulta impossibile? Vi sono casi in cui per x o per y puoi trovare più valori?  

 e18 
    Tre paesi immaginari A, B e C vivono in un'economia chiusa: ciascun paese esporta solo negli altri due e importa solo dagli altri due.
      Supponiamo che ciascun paese sia commercialmente in pareggio: esporta tanto quanto importa. Possiamo perciò rappresentare gli scambi commerciali con un grafo.
    Se A esporta merci per 30 milioni in B e per 50 milioni in C e se C importa per altri 10 milioni da B ed esporta per 40 milioni in A, a quanto ammontano gli scambi commerciali di B? (cioè quale numero deve essere scritto nel riquadro B del grafo?)

 e19 
    Cinque amici hanno dei debiti/crediti tra di loro: A deve 40 € a D, D deve 80 € a E, C deve soldi sia a D che a E (ma non si ricorda quanto deve a ciascuno), B deve dei soldi a D (ma non si ricorda quanti). C sa che ha un debito complessivo di 30 €, D sa di essere "in pareggio", E sa che gli devono essere restituite in tutto 100 €.  Rappresenta questa complessa situazione con un grafo e trova a quanto ammontano i debiti di B.  Quali sono i nodi iniziali e finali del grafo?

 

1) Segna con l'evidenziatore, nelle parti della scheda indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei seguenti termini:

riordinare un prodotto (2),   portar fuori la negazione (ques.12),   rimpiazzare un sottotermine (dopo ques.9),   raccogliere a fattor comune (dopo ques.10),   trasformare un'equazione (3),   equivalenza dal punto di vista della precisone del calcolo (dopo ques.19).

2) Su un foglio da "quadernone", nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato.

3) Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefono") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso").