La matematica tra gioco e realtà

Strategie, regole, scelte, fenomeni casuali, … e matematica

  0. Introduzione
  1. Giochi algebrici e geometrici
  2. Successioni e definizioni per ricorsione
  3. Calcolo combinatorio
  4. Dalla statistica alla probabilità
  5. Esercizi
Sintesi

0. Introduzione

    In molti giochi e in molti sport è presente più o meno esplicitamente la matematica; la matematica interviene quasi sempre nella descrizione delle regole del gioco, nelle determinazione dei punteggi, …; spesso si ricorre a conoscenze matematiche per scegliere mosse, strategie, …
    La matematica che interviene è la stessa che si impiega anche per affrontare situazioni "reali": per descrivere fenomeni, per valutare grandezze, per risolvere problemi, …. Del resto i giochi non sono tutti immaginari: molti hanno forti analogie con situazioni reali o riproducono in piccolo fenomeni reali.
    Fate e discutete esempi di giochi con le diverse caratteristiche sopra indicate.
    La matematica ha un ruolo fondamentale anche nella realizzazione dei videogiochi: la simulazione sia di giochi tradizionali (solitari con le carte, filetto, puzzle, scacchi, …) che di nuovi giochi o sport o situazioni "serie" (sci, calcio, giochi d'avventura, guida di automobile, guida di aereo, …) richiede la traduzione di figure, movimenti, comportamenti, … in termini algebrici e numerici "comprensibili" al calcolatore.
    In questa scheda affronteremo questa problematica rivedendo e ampliando l'uso di strumenti matematici già incontrati e introducendo nuovi concetti matematici.

1. Giochi algebrici e geometrici

    Il calcolo letterale, oltre che per rappresentare mediante equazioni, sistemi, … fenomeni reali, può essere usato anche per inventare o affrontare giochi.  Nel quesito e2 della scheda Algebra elementare è illustrato e spiegato il "trucco" per avere successo in un gioco del tipo "indovino il numero che hai pensato".

 1 
   Spiega la strategia per aver successo nel gioco «pensa tre numeri naturali consecutivi, fanne il prodotto e aggiungi il numero centrale; dimmi quanto ottieni e ti so dire quali sono i tre numeri».
[traccia:   • indica con x il numero centrale;  • indica con h il risultato fornito dalla persona che ha pensato i numeri (prodotto dei tre numeri aumentato del numero centrale);  • esprimi h in funzione di x tenendo conto che il primo e il terzo numero x−1 e x+1:  h= …   • risolvi questa equazione rispetto a x (e, poi, calcola x−1 e x+1)]

    Vediamo, ora, un gioco in cui si indovinano due numeri.

 2 
   Andrea dice a Marco: «scegli due numeri naturali uno divisibile esattamente per l'altro, dimmi il quoziente e la differenza tra i due numeri, ti dirò quali numeri hai pensato». Andrea trova i numeri in questo modo (dove con Q e D abbiamo indicato il quoziente e la differenza):
− divide D per Q−1 ottenendo il più piccolo dei due numeri pensati
− moltiplicando tale numero per Q ottiene l'altro numero pensato.
(1)  Verifica con qualche prova che il trucco funziona.
(2)  Per spiegare perché il trucco funziona, avendo indicato con A e B i due numeri e tradotto i calcoli fatti da Marco nel sistema seguente:   A/B = Q  AND  A−B = D

    Alcuni giochi si basano non sulla risoluzione di equazioni o sistemi, ma su dimostrazioni di proprietà dei numeri naturali. Consideriamo ad esempio il gioco seguente.

Gianni dice a Carla:
«Metti di nascosto un numero dispari di monete in una mano e un numero pari di monete nell'altra; moltiplica per 2 il numero di monete che hai nella mano sinistra e per 3 il numero di quelle che hai nella mano destra; somma tra loro i due numeri trovati.  Se mi dici quanto hai ottenuto io indovino in quale mano hai il numero dispari di monete e in quale mano hai il numero pari.»

    Gianni "indovina" con questo trucco:
il numero nella mano destra è della stessa "parità" (pari o dispari) del numero finale ottenuto da Carla.

 3 
   Verifica con qualche prova che il trucco funziona.
  Completa in modo che siano vere le seguenti proposizioni (se possibile con "qualunque", altrimenti con "pari" o con "dispari"):

(a)  se moltiplico per 2 un numero naturale     ...       ottengo un numero pari
(b)  se moltiplico per 3 un numero naturale     ...       ottengo un numero pari
(c)  se moltiplico per 3 un numero naturale     ...       ottengo un numero dispari
(d)  se sommo un numero pari e un numero     ...       ottengo un numero dispari
(e)  se sommo un numero pari e un numero     ...       ottengo un numero pari

    Nelle rubriche di enigmistica spesso sono proposti anche giochi di tipo geometrico. Vediamone uno.

 4 
   Disegna un triangolo i cui lati passino per i punti indicati a lato in modo che ogni punto sia equidistante dai vertici del lato su cui si trova.
Traccia. Per individuare un procedimento con cui costruire il triangolo conviene ragionare a "ritroso": partire da un triangolo ABC qualsiasi e tracciare tre punti X, Y e Z in modo che tra questo triangolo e i punti valgano le condizioni richieste (i lati siano tagliati a metà dai tre punti, cioè questi siano i loro punti medi); trovare una relazione che associ ai tre punti il triangolo, utilizzabile poi per costruire un analogo triangolo a partire da tre altri punti qualunque (e, quindi, anche dai punti assegnati dall'esercizio).
 

2. Successioni e definizioni per ricorsione

    In un cosiddetto "test di intelligenza" si trova la seguente domanda:

«Questi sono i primi sei numeri di una successione di numeri generati con una certa regola. Metti al posto dei puntini i numeri mancanti»

1    2    …    8    16    …

    Per gli autori del test la risposta è:   1   2   4   8   16   32,  cioè la "regola" sarebbe:

(1)  scrivi 1  (2)  scrivi il doppio del numero precedente  (3)  vai a (2)  

    Se indico gli elementi della successione con la variabile indiciata x(.), cioè indico con x(n) il numero al "posto n" della successione (numerando i posti a partire da 1), posso descrivere la successione così:   x(1) = 1, x(2) = 2, x(3) = 4, ....

    Con un'applicazione informatica posso procedere in vari modi. Ad esempio, per mettere in x(.) i primi 10 elementi della successione, in QB posso fare:
  DIM x(10): x(1)=1: FOR n=1 to 9: x(n+1)=x(n): NEXT
mentre in R posso procedere così:
  x<- vector(length=10); x[1]<- 1; for(n in 1:9) x[n+1]<- x[n]*2
da cui con   FOR n=1 TO 10: PRINT x(n);: NEXT   o   print(x)  ottengo:
  1  2  4  8  16  32  64  128  256  512.

    Anche fuori da un linguaggio di programmazione, posso descrivere sinteticamente la successione così:

x(1)=1 AND x(n+1) = x(n)·2 (n intero positivo)
{ x(1)=1
 x(n+1)=x(n)·2
x(1)=1, x(n+1)=x(n)·2

dove la seconda e la terza espressione sono "abbreviazioni convenzionali" in cui l'utente deve capire il ruolo che, in questo caso, hanno la parentesi "{" o la virgola "," e deve sottointenedere che n è una variabile che varia sugli interi positivi.  Molto spesso si usa far variare gli indici della successione a partire da 0 invece che da 1, ossia sull'insieme dei numeri naturali.

 5 
   Scrivi i primi 10 elementi della successione:  y(1)=1, y(2)=2, y(3)=3, y(n+3)=y(n)·8  (n intero positivo)

    Quest'esercizio fa capire che non c'è un'unica regola per generare una successione che sia un completamento di:  1  2  …  8  16  …, anzi se ne possono inventare infinite.  Molto "intelligente" il test forse non è!

    La prima successione (1, 2, 4, 8, 16, 32, …) può essere descritta più sinteticamente mediante un'unica formula:  x(n) = 2n−1 (20=1, 21=2, 22=4, …). Ciò non accade, invece, per la seconda successione.

    Consideriamo il seguente problema:
«In un certo allevamento di animali il numero dei capi ogni anno aumenta mediamente di metà. Si vuole studiare l'aumento del numero di capi al passare del tempo (escludendo che si vendano o eliminino capi)».

    Per matematizzare il problema indichiamo con:

  − H  il numero iniziale di capi,
  − n  il numero d'ordine dell'anno
  − P(n)  la popolazione (cioè il numero dei capi) nell'anno n-esimo.

 6 
   Completa il sistema seguente in modo che sia un modello matematico del nostro problema.
    P(1) = …    AND  P(n+1) = P(n)·(1 + … /100)

    Ovviamente questo modello matematico non rappresenta fedelmente la realtà:  suppone che ogni anno l'aumento sia esattamente del 50% e che le condizioni dell'allevamento si mantengano inalterate senza limitazioni di tempo (non vi siano epidemie, non vi sia esaurimento delle risorse alimentari, …).

    Alcuni batteri in particolari condizioni si riproducono aumentando del 100% (cioè raddoppiando) ogni T minuti (con T numero fissato).  Se indichiamo con H il numero iniziale di batteri, con n il numero degli intervalli di tempo di ampiezza T trascorsi  (quindi n=1 dopo T minuti, n=2 dopo T·2 minuti, …)  e con P(n) il numero di batteri dopo n intervalli di tempo, possiamo descrivere lo sviluppo di questi batteri con il sistema seguente:
    P(0) = …    AND  P(n+1) = P(n)·2.

 7 
   Invece del sistema precedente avremmo potuto utilizzare la formula:  P(n) = H·2n. Calcolate P(3) sia utilizzando il sistema che utilizzando la formula e confrontate i risultati.  Spiegate perché le due definizioni sono equivalenti.  

 8 
   Riferendoti all'allevamento considerato in precedenza, completa la seguente formula in modo che sia equivalente al sistema che hai completato nel quesito 6.    P(n) = H·…

    Le funzioni del tipo x → ax (con a > 0) vengono dette esponenziali. Quindi  n → 2n  e  n → 1.5n sono particolari funzioni esponenziali (con dominio ristretto a N).

    Per questo, una popolazione P che, all'aumentare del numero n di anni (o altri intervalli di tempo) trascorsi, cresca seguendo più o meno una relazione del tipo P = k·an si dice a crescita esponenziale.  In certi periodi anche la popolazione umana (su tutta la terra o in particolari regioni) è cresciuta in modo esponenziale (ad es. a partire dal 1790 fino al 1860 la popolazione degli U.S.A. è cresciuta secondo la legge: P = 3.9·1.35n dove P indica la popolazione in milioni e n il tempo trascorso in decenni).

    Le funzioni a input in N (o in N*, i numeri naturali escluso lo 0, o nell'insieme dei numeri naturali maggiori di un certo numero fissato),  che sono rappresentabili, come abbiamo visto, mediante variabili indiciate,  vengono chiamate anche successioni (come anche noi abbiamo già fatto più volte).  Abbiamo visto che si possono definire funzioni di questo tipo oltre che mediante equazioni (x(n) = 2n−1 per n intero positivo, z(n) = 2n+1 per n naturale, P(n) = H·2n per n naturale), anche mediante sistemi:

x(1) = 1, x(n+1) = x(n)·2     z(0) = 1, z(n+1) = z(n)+2     P(0) = H, P(n+1) = P(n)·2

    Definizioni di quest'ultimo genere vengono chiamate definizioni per ricorsione o definizioni ricorsive.

La parola ricorsione deriva dal fatto che questi sistemi contengono, oltre a equazioni  (come x(0)=1, y(0)=1, y(1)=2, …)  che permettono di determinare uno o più valori iniziali, equazioni  (come x(n+1)=x(n)·2, y(n+3)=y(n)·8, …)  che possono essere ripercorse più volte per calcolare man mano tutti gli altri valori. A volte invece di "ricorsione" si usa "ricorrenza", che nel linguaggio comune ha un uso leggermente diverso (indica l'anniversario di un avvenimento o il ripetersi di un fenomeno nel corso del tempo).

    Come abbiamo visto (successione del quesito 5) non tutte le successioni definibili per ricorsione sono definibili anche mediante una sola equazione.

3. Calcolo combinatorio

    Abbiamo visto nella scheda Modelli Matematici per l'Economia il concetto di fattoriale.
    Volendo scegliere l'ordine con cui passare per 4 diverse località ho 4 possibilità per la località "1", ho poi 3 possibilità per la località "2", 2 altre possibilità per la località "3", e, infine, ho 1 sola possibilità per la "4".  Le 4 località posso raggiungerle in 4·3·2·1 (= 24) percorsi diversi. Questo numero viene indicato 4!.
    Analogamente posso disporre 5 commensali attorno a un tavolo in 5! = 5·4·3·2·1 (= 120) modi, le classifiche possibili tra 8 concorrenti sono 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 (= 40 320), ….
    La funzione che a n, numero naturale, associa la quantità  n·(n–1)·…·2·1  [ovvero  1·2·…·(n–1)·n]  dei modi in cui posso ordinare un insieme di n oggetti (cioè delle sequenze ottenibili con n oggetti) viene chiamata fattoriale.  Il fattoriale di n viene usualmente indicato con n!.
    Quindi:   1! = 1,   2! = 2·1 = 2,   3! = 3·2·1 = 6,   4! = 4·3·2·1 = 24
    Poiché nel caso di un insieme costituito da 0 oggetti, cioè nel caso dell'insieme vuoto, l'unica sequenza realizzabile è la sequenza vuota, pongo anche   0! = 1.

    La funzione fattoriale può essere definita ricorsivamente così:

0! = 1,   (n+1)! = n(n+1).

    I modi in cui posso ordinare n oggetti, cioè le sequenze di lunghezza n che posso realizzare con n oggetti, vengono spesso chiamati anche permutazioni di n oggetti (il nome deriva dal fatto che nel linguaggio comune "permutare" è sinonimo di "riordinare"). Quindi le permutazioni di n oggetti sono n!.

 9 
   Una società sportiva organizza un torneo provinciale di pallavolo; prevede 10 squadre partecipanti. Sceglie un torneo "a classifica" (ogni squadra sostiene un incontro con ciascuna delle altre squadre e sulla base degli esiti degli incontri, dei punteggi, … viene stabilita una graduatoria senza ex aequo), articolato in 9 giornate. Quante sono le possibili classifiche finali complete, dal 1° al 10° posto?

 10 
   Nel caso del torneo del quesito precedente, quanti sono i modi in cui possono essere vinte le medaglie d'oro, d'argento e di bronzo, cioè quante sono le possibili terne (1ª classificata, 2ª classificata , 3ª classificata) a cui possono dare luogo le 10 squadre partecipanti?

    Più in generale, con n oggetti posso costruire n·(n–1)·(n–2) sequenze di lunghezza 3:  infatti ho n possibilità per la scelta del 1° oggetto, n–1 possibilità per la scelta del 2° oggetto e n–2 per la scelta del 3°. 
  •     •     •  
n n-1 n-2
    Ancora più in generale, se ho n oggetti la quantità di sequenze di lunghezza k che posso costruire è: 
n · (n–1) · (n–2) · … · (n–k+1)
k  fattori

    Tale prodotto viene in genere indicato con Dn,k o con D(n,k).
    Viene usata la lettera "D" in quanto le sequenze di lunghezza k realizzabili con n oggetti vengono chiamate anche disposizioni di n oggetti k a k:  ogni sequenza è interpretabile come uno dei modi in cui posso "disporre" k oggetti scelti tra n.

 11 
   Quanto vale D(n,n)?

 12 
   Quante stringhe di lunghezza 4 formate da caratteri diversi posso realizzare con le 52 lettere {a, b,..., z, A,..., Z} di una tastiera? E quelle realizzabili usando sole le lettere maiuscole?

    In un torneo a 11 di un particolare sport le prime 3 squadre classificate passano l'anno dopo al torneo regionale. Le possibili terne (1a, 2a, 3a) su 11 squadre sono 11·10·9, ossia D(11,3). Per calcolare quanti sono i possibili terzetti di squadre che vengono "promosse" al livello superiore non ci interessa la graduatoria tra le prime 3 squadre: al variare di questa (che può venire fuori in 3·2·1, ossia 3!, modi diversi) le squadre che passano sono le stesse.
    In altre parole tra le possibili terne (1a, 2a, 3a) ogni terzetto di squadre è conteggiato 3! volte. Quindi il numero dei terzetti è:

        n totale delle terne           11·10·9
————————————————————————————————————— = ——————— = 11·5·3 = 165
n terne costituibili con un terzetto    3·2·1

    Più in generale il numero dei sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi è pari al numero delle sequenze di k elementi che posso formare diviso per il numero dei modi in cui posso ordinare queste sequenze, cioè:

   n sequenze di k elementi      n·(n-1)·…·(n-k+1)
——————————————————————————————— = —————————————————
n permutazioni di una sequenza      k·(k-1)·…·1
   n n-1   n-k+1
 = —·———·…·—————
   k k-1     1

[il rapporto tra il prodotto dei primi k numeri interi positivi a scalare da n e il prodotto di quelli a scalare da k]

    I sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi vengono chiamati anche combinazioni di n elementi k a k.
    Il numero di tali combinazioni viene indicato Cn,k o C(n,k) o Cnk
(n)
k

 13 
   Una fabbrica produce 10 tipi di cioccolatini e li confeziona in scatole di 32 cioccolatini disposti su 4 file. In ciascuna fila colloca cioccolatini dello stesso tipo; in file diverse colloca cioccolatini di tipi diversi. In quanti diversi assortimenti di gusto potrebbe confezionare i cioccolatini?

    Quanti sono gli insiemi di 10 carte che si possono fare con le 13 carte di picche? (cioè, a ramino, quanti sono i modi di fare colore di picche?)
    È il numero degli insiemi di 10 elementi che si possono fare con 13 elementi, cioè C(13,10).  Allora dovrei calcolare:

13/10·12/9·11/8·10/7·9/6·8/5·7/4·6/3·5/2·4/1;

posso fare un po' di semplificazioni: "/10" e "·10" si annullano, e così "/9" e "·9", "/8" e "·8", …, "/4" e "·4", per cui alla fine rimane:

13·12·11/3/2/1  (=13·2·11 = 286),  che equivale a C(13,3).

    La cosa non deve stupire: scegliere 10 carte tra 13 equivale a sceglierne 3 da scartare: C(13,10)=C(13,3). Con lo stesso ragionamento si ha che, in generale, C(n,k) = C(n,n-k).  Se k à maggiore di n/2 conviene fare questa trasformazione.

Con la CT e con vari programmi si possono calcolare i fattoriali e i coefficienti binomiali, ma solo entro certi limiti. Ad esempio con R, attraverso le funzioni factorial e choose, si possono calcolare al massimo 170! e C(1029,514):
factorial(170) fornisce 7.257416 E 306 mentre factorial(171) fornisce un messaggio di errore,  choose(1029,514) fornisce 1.429821 E 308 mentre choose(1030,515) fornisce un messaggio di errore.

    Ho 6 oggetti, chiamiamoli A, B, C, D, E e F. Voglio fare una confezione contenente alcuni di questi oggetti. In quanti modi posso farla? Potrei fare una confezione vuota. Potrei fare una confezione contenente solamente A o solamente B o …. Oppure una confezione contenente A e B o A e C o …. O potrei fare una confezione che li contiene tutti. Quante sono le possibili confezioni? Una strategia per trovare quante sono è la seguente:

    per ognuno dei 6 elementi ho 2 possibilità: lo metto nella confezione o non ce lo metto:

  •  •  •  •  •  •
  2  2  2   2  2  2       quindi in tutto ho 26 possibilità.

    Più in generale i possibili sottoinsiemi di un insieme di n elementi sono 2n.

    Quante sequenze costituite da 3 cifre decimali posso scrivere? Ho 10 possibiltà per la prima cifra, poi 10 per la seconda e, infine, 10 per la terza. Le possibilità sono dunque 10·10·10 = 103 = 1000; del resto i numeri, da 000 a 999, sono 1000.  Quante sono le possibili coppie di uscite che si possono ottenere lanciando due dadi? 6 possibilità per il primo dado, 6 per il secondo; in tutto 6·6 = 62.  Quante sequenze di carte da un mazzo da 40 posso ottenere con 3 alzate? 40·40·40 = 403.  Più in generale:

  •  •  •  …  •
  n  n  n   …  n       le possibili sequenze di k simboli tratti da un alfabeto di n elementi sono  n·n·n·…·n = nk.
    Queste sequenze vengono spesso chiamate anche disposizioni con ripetizione di n elementi k a k, in quanto, rispetto alle disposizioni, ammettono la possibilità di utilizzare lo stesso elemento più volte nella stessa sequenza (in "999" il "9" compare tre volte).

 14 
   Quanti sono e quali sono i sottoinsiemi di {1, 2, 3, 4}?

    La branca della matematica che si occupa dei modi in cui si possono formare nuovi oggetti (sequenze, insiemi, …) "combinando" gli elementi di un insieme finito viene chiamata matematica combinatoria (o calcolo combinatorio).
 

4. Dalla statistica alla probabilità

    Nei giochi e nella "realtà" spesso si hanno da fare scelte di cui non si sanno prevedere esattamente le conseguenze (quale carta conviene scartare? in quale orario conviene partire per incontrare meno traffico in autostrada? …) o, comunque, si hanno da affrontare fenomeni di cui non si sa prevedere esattamente lo sviluppo (l'uscita di un dado, l'evolvere del tempo atmosferico, …).  Abbiamo già incontrato alcune situazioni di questo genere nella scheda 3 de Le statistiche e nella scheda Modelli matematici per l'economia.  In una prossima scheda affronteremo lo studio degli strumenti matematici che permettono di razionalizzare le interpretazioni dei (e le scelte di fronte ai) fenomeni casuali, cioè di affrontarle ricorrendo alla ragione invece che affidandosi a pregiudizi, a superstizioni o al fato, come spesso accade.

    Prima di proseguire rileggi le voci deGli oggetti matematici da distribuzione a campionamento.

    Consideriamo la situazione:

(A)  Sto giocando a sette e mezzo e sono il primo di mano. Ho 1 e 3. Mi conviene chiedere carta?

Sette e mezzo è giocato con un mazzo da 40, le figure valgono mezzo punto, le altre carte hanno il valore usuale; alla regina di cuori Q (matta) il giocatore può assegnare, a piacere, un qualunque punteggio: 1, 2, …, 7 o mezzo punto. Ogni giocatore può chiedere una o più carte. Vince chi ottiene il punteggio più vicino (ma non superiore) a 7 e mezzo.

 15 
   Secondo voi, se chiedo carta è più probabile che sballi oppure che non sballi?

    Consideriamo ora una situazione diversa.

(B)  Un amico mi dà un dado. Lo lancio. Esce 6. Posso ritenere che, se lo rilancio, l'uscita più probabile sia un altro 6?

 16 
   Discutete questo problema.

    Per verificare le opinioni emerse nel corso della discussione facciamo un esperimento.

 17 
   Ritaglia lo sviluppo del dado a cui puoi accedere cliccando qui, e che vedi riprodotto in piccolo a lato. Poi incolla le linguette e costruisci il dado. Infine (per impedirne l'apertura durante i lanci) applica delle striscette di scotch sugli spigoli indicati, corrispondenti alle linguette. Effettua almeno una trentina di lanci (tira il dado con una certa forza, in modo che rotoli più volte) registrando le uscite in una tabella.
   Raccogliete i dati registrati da tutti gli alunni in un'unica tabella, calcolatene la distribuzione percentuale e riportate i valori nella tabella seguente. Costruite, quindi, il relativo istogramma e discutete quanto ottenuto.
 

  U = 1    U = 2    U = 3     U = 4    U = 5    U = 6  
freq. assoluta 
           
freq. relativa 

     Abbiamo indicato con U
l'uscita del dado; quindi
sotto a "U=1" scrivete la
frequenza con cui si verifica
l'eventualità che l'uscita sia
1, sotto a "U=2" scrivete …

 

5. Esercizi (da riscrivere, riorganizzare, tagliare)

 e1 
    Tre fratellini dormono nella loro stanza. Durante la notte uno di loro si sveglia, si alza e sul tavolo della cucina trova un vassoio di cioccolatini, ne mangia un terzo e torna a dormire. Poco dopo si sveglia un altro fratello che, andato in cucina e visti i cioccolatini rimasti, ne mangia un terzo e ritorna a letto. Anche il terzo fratello si sveglia e si comporta come gli altri due: mangia un terzo dei cioccolatini che ha trovato in cucina. Al mattino nel vassoio vi sono 8 cioccolatini. Quanti ve n'erano la sera prima?»
Prova a risolvere l'indovinello e, poi, confronta la strategia che hai impiegato con quelle usate dai tuoi compagni.

 e2 
    In vari libri medioevali si trovano "problemi del travaso" simili al seguente:  «Un oste dispone solo di due mestoli "misuratori", uno da 1/4 di litro, l'altro da 1/5 di litro. Può, mediante uno o più travasi eseguiti mediante i mestoli, trasferire 3/10 di litro dalla botte in un altro recipiente?»
    Ai nostri giorni affrontiamo il problema così:
− indichiamo con M e N la quantità di travasi eseguiti, rispettivamente, con il 1° e con il 2° mestolo, conteggiando positivamente i travasi dalla botte al recipiente e negativamente quelli in senso opposto (ad esempio M=3 e N=−2 corrisponde a versare 3 mestoli da 1/4 nel recipiente e togliervi 2 mestoli da 1/5);
− il quesito si traduce nella questione se l'equazione 1/4·M+1/5·N=3/10 ha soluzioni, cioè se esistono coppie (M,N) di numeri interi che rendono vera l'equazione.
    Il problema ha soluzioni? [per rispondere trasforma l'equazione in un'altra più "comoda" da esaminare]   In caso negativo motiva la risposta, in caso affermativo esplicita una soluzione e stabilisci se ce ne sono altre.

 e3 
    Alberto vuole misurare l'altezza di un palo. Si pone davanti ad esso in modo che la sua ombra e quella del palo finiscano nello stesso punto P del terreno. Alberto misura la lunghezza della propria ombra (circa 2 m), poi quella del palo (circa 8 m) e conclude che il palo è alto circa 7 m.
• Qual è la strategia impiegata da Alberto?
• Quale altro dato ha utilizzato per ottenere la altezza del palo?
• Qual è il valore di questo dato?
• Questo metodo vale sia nel caso che la luce provenga dal sole che in quello in cui sia prodotta da un lampione?
 

 e4 
    Luigi per conoscere l'altezza di un muro procede così:
− pone uno specchio per terra tra sé e il muro e arretra fino a che vede riflessa nello specchio la sommità del muro;
− sa che i propri occhi sono all'altezza di circa 170 cm da terra, che lo specchio è a circa 120 cm dal muro e che lui dista dallo specchio circa 70 cm;
− utilizzando queste informazioni riesce a stimare l'altezza del muro.
  Come ha fatto? Quanto è alto il muro?

 e5 
    Considera le successioni così definite:
  x(0) = A,  x(n+1) = √x(n)       y(0) = 1,  y(n+1) = (y(n) + A/y(n)) / 2
Usando una calcolatrice, calcola un po' di elementi delle successioni che si ottengono assegnando ad A i valori seguenti: 4, 2, 100, 0.25. Che cosa puoi congetturare dalle uscite che ottieni?

 e6 
    Per realizzare con il Lego una scaletta alta 5 mattoncini nel modo raffigurato a lato devo impiegare 5+4+3+2+1= 15 mattoncini. Indichiamo con M(n) il numero dei mattoncini necessari per realizzare una scaletta alta n (quindi M(5) = 15).  Calcola M(n) per diversi valori di n.  Poi prova a definire M(n) ricorsivamente e, se ci riesci, mediante un'unica formula M(n)=… (per quest'ultima richiesta puoi aiutarti mettendo in relazione la quantità dei mattoncini della scaletta con la quantità dei rettangolini tratteggiati nel disegno).
##            
####         
######      
########   
##########

 e7 
    La successione consì definita:
   Q(1)=1, Q(2)=1, Q(N+2)=Q(N)+Q(N+1)
illustrata a fianco è nota come successione di Fibonacci è stata presentata nel "Liber abaci" da Leonardo Pisano (vissuto a cavallo del 1200 e noto come Fibonacci) come modello matematico del seguente "problema dei conigli":
  
 1  1  2  3  5  8  13  …
 ↓  ↓  ↑     ↓  ↓  ↑
  →→→→→→      →→→→→→
              /
alle 8 coppie presenti nel mese precedente si aggiungono le 5 coppie figliate dalle 5 coppie esistenti due mesi prima
«quante coppie di conigli verranno prodotte in N mesi a partire da un'unica coppia se ogni mese ogni coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese di vita?».
Q(N) rappresenta la quantità di coppie presenti dopo N mesi.  Completa l'elenco dei termini della successione fino a Q(11).  Scrivi un programma (in QB o JS o R …) che dando N in input fornisca come output Q(N).

 e8 
    3 ragazze e 2 ragazzi si siedono al cinema in 5 posti consecutivi della stessa fila. In quanti modi possono occupare i posti, tenendo conto che ogni femmina vuole avere a fianco almeno un maschio (e viceversa)?

 e9 
    Disponendo di stoffe di 8 colori differenti quante bandiere tricolori a bande verticali (di dimensioni uguali e colori tutti e tre diversi) puoi realizzare?

 e10 
    Un ristorante propone un menu turistico a prezzo fisso composto da un primo, a scelta tra 3, un secondo, a scelta tra 4, una "varia" (bevande o dolce), a scelta tra 5. Tra quanti pasti diversi si può scegliere?
A un prezzo di poco superiore è prevista la possibilità di prendere, a piacere, un'ulteriore varia. Tra quanti pasti si può scegliere con questo prezzo?

1) Segna con l'evidenziatore, nelle parti della scheda indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei seguenti termini:

funz. esponenziale (2), successione (2),   disposizioni (3),   combinazioni (3),   matematica combinatoria (3).

2) Su un foglio da "quadernone", nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato.

3) Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefono") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso").

 

 

 

U=1

U=2

U=3

U=4

U=5

U=6

 

frequenza

assoluta

 

 

 

 

 

 

 

frequenza

relativa

%

%

%

%

%

%

 

 

 

Abbiamo indicato con U l'uscita del dado; quindi sotto a "U=1" scrivete la frequenza con cui si verifica l'eventualità che l'uscita sia 1, sotto a "U=2" scrivete …

 

     Costruite il corrispondente istogramma di distribuzione usando il sistema di riferimento a lato:

  

 

Abbiamo pensato di spezzare la scheda in 2 parti:
una, con le stesso titolo (MGR) che dovrebbe
contenere i primi tre paragrafi della vecchia scheda
con aggiunta una prima attivita' di riflessione
sulla probabilita' riferita agli esempi del 7 e 1/2
e del dado presenti nel $4. Questa scheda potrebbe
essere impostata in 2 versioni (debole e forte).

Dovrebbe seguire una scheda specifica sul calcolo
delle probabilita', abbastanza simile, nella
intelaiatura, alla parte dal $4 in poi della attuale
MGR. Dovrebbe ridursi molto la parte di programmazione,
che dovrebbe cedere il posto ad attivita' riferire
all'uso del software R.
----------------------------------------------

     Consideriamo, ora, un indovinello:

«Tre fratellini dormono nella loro stanza. Durante la notte uno di loro si sveglia, si alza e sul tavolo della cucina trova un vassoio di cioccolatini, ne mangia un terzo e torna a dormire. Poco dopo si sveglia un altro fratello che, andato in cucina e visti i cioccolatini rimasti, ne mangia un terzo e ritorna a letto. Anche il terzo fratello si sveglia e si comporta come gli altri due: mangia un terzo dei cioccolatini che ha trovato in cucina. Al mattino nel vassoio vi sono 8 cioccolatini. Quanti ve n'erano la sera prima?»

  3 Prova a risolvere l'indovinello e, poi, confronta la strategia che hai impiegato con quelle usate dai tuoi compagni.

            Completa la seguente dimostrazione che il trucco funziona in generale:

(1)  Se moltiplico per 2 il numero delle monete nella mano sinistra ottengo sicuramente, per (a), un numero M pari.

(2)  Se moltiplico per 3 il numero di quelle nella mano destra ottengo, per () e (), un numero N della stessa parità.

(3)  M+N, per (1), () e (), ha la stessa parità di N.

(4)  M+N, per (2) e (3), ha la stessa parità del numero di monete nella mano destra.

5 La dimostrazione della proprietà (a) del quesito 4 è immediata: i numeri naturali pari sono i multipli di 2.

    (b) può essere dimostrata così:

un numero pari è multiplo di 2, cioè è scrivibile come 2·k, con k numero naturale opportuno; se lo moltiplico per 3 ottengo 2·k·3, cioè 2·(k·3), che è multiplo di 2 e, quindi, è pari.

    Completa la seguente dimostrazione di (c):

un numero dispari è il successore di un numero pari, per cui può essere scritto come 2·k+1, con k numero naturale opportuno;  se lo moltiplico per 3 ottengo  (2·k+1)·3, cioè  2·k·3+3 = 2·k·3+2+1 = 2·(              )+1, che è il successore di un numero              e, quindi, è              .

Consideriamo un problema di contenuto analogo legato a una situazione più "concreta".

  7 Alberto vuole misurare l'altezza di un palo. Si pone davanti ad esso in modo che la sua ombra e quella del palo finiscano nello stesso punto P del terreno. Alberto misura la lunghezza della propria ombra (circa 2 m), poi quella del palo (circa 8 m) e conclude che il palo è alto circa 7 m.

         Qual è la strategia impiegata da Alberto?

         Quale altro dato ha utilizzato per ottenere la altezza del palo? 

         Qual è il valore di questo dato?

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3. Calcolo combinatorio

   12 Una società sportiva vuole organizzare un torneo provinciale di pallavolo rivolto alle squadre delle scuole superiori. Deve decidere se scegliere un torneo a "eliminazione diretta" o un torneo "a classifica" (ogni squadra sostiene un incontro con ciascuna delle altre squadre e sulla base degli esiti degli incontri, dei punteggi, … viene stabilita una graduatoria senza ex aequo).

    Per fare ciò vuole sapere come il numero S delle squadre che possono essere ammesse dipende dal numero n delle "giornate" di durata del torneo (in una giornata vengono disputati contemporaneamente più incontri, ma ogni squadra disputa al più una partita).

    Stabilite come S varia in funzione di n nei due tipi di torneo.

13 Sul sistema di riferimento a fianco traccia i grafici delle due funzioni individuate nel quesito 12 (sono già tracciati i punti del grafico relativo al torneo a eliminazione diretta per n uguale a 0, 1,2 e 3).

   14 Se viene scelto il torneo "a classifica" articolato in 10 giornate (e quindi le squadre partecipanti sono 11) quante sono le possibili classifiche finali complete, dal 1° all'11° posto?

[osserva che, in pratica, devi trovare in quanti modi può essere ordinato un insieme di 11 elementi, e ricorda la definizione della funzione fattoriale: ®Modelli matematici per l'economia, p.17]

   15 Per costruire una codifica segreta dei testi che scrive al calcolatore, Fabrizio decide di stendere un programma per trasformare un file di testo in un altro che contenga gli stessi caratteri ma in posizioni diverse. L'idea che ha è la seguente:

   ogni carattere viene registrato in codice ASCII, cioè, in pratica, come un numero naturale tra 0 e 255 (®La automazione, scheda 3, p.8),

   quindi per costruire un codice segreto si può associare a ogni numero m tra 0 e 255 un altro numero n tra 0 e 255 in modo iniettivo (cioè in modo che due numeri diversi non vengano associati allo stesso numero) e modificare il file sostituendo il carattere di numero ascii m con quello di numero ascii n.

     Il programma codsegr.bas (tra il software del progetto) realizza un codice segreto di questo genere utilizzando la funzione iniettiva (da {0,1,,255} in {0,1,,255}) illustrata a fianco. Ecco un esempio di impiego:

    Descrivi mediante formule la funzione utilizzata dal programma.

    Descrivi un'altra funzione iniettiva da {0,1,,255} in {0,1,,255}

    Quante sono le funzioni iniettive da {0,1,,255} in {0,1,,255}?

   16 Nel caso del torneo del quesito 14, quanti sono i modi in cui possono essere vinte le medaglie d'oro, d'argento e di bronzo, cioè quante sono le possibili terne (1ª classificata, 2ª classificata , 3ª classificata) a cui possono dare luogo le 11 squadre partecipanti?

     Più in generale se ho n oggetti posso costruire n·(n1(n2) sequenze di lunghezza 3:  infatti ho n possibilità per la scelta del 1° oggetto, n1 possibilità per la scelta del 2° oggetto e n2 per la scelta del 3°.

     Il ragionamento è del tutto analogo a quello che abbiamo impiegato per introdurre la funzione fattoriale (®Modelli matematici per l'economia, p.17).

     Ancora più in generale, se ho n oggetti la quantità di sequenze di lunghezza k che posso costruire è:

n·(n1(n2)·…·(nk+1)

k fattori

cioè il risultato della moltiplicazione che ha come fattori i primi (in ordine decrescente) k numeri interi positivi minori o uguali a n.

     Tale prodotto viene in genere indicato con Dn,k o con D(n,k) in quanto le sequenze di lunghezza k realizzabili con n oggetti vengono chiamate anche disposizioni di n oggetti k a k: ogni sequenza è interpretabile come uno dei modi in cui posso "disporre" k oggetti scelti tra n.

   17 Puoi indicare in modo più breve D(n,n)?

        I modi in cui posso ordinare n oggetti, cioè le sequenze di lunghezza n che posso realizzare con n oggetti, vengono spesso chiamati anche permutazioni di n oggetti (il nome deriva dal fatto che nel linguaggio comune "permutare" è sinonimo di "riordinare"). Quindi le permutazioni di n oggetti sono n!.

   18 Quante sono le stringhe di lunghezza 4 formate da caratteri diversi che posso realizzare con le 52 lettere (a,b, …, z, A, …, Z) della tastiera?  E quelle realizzabili usando solo le lettere minuscole?

   19 Il torneo del quesito 14 viene svolto con le stesse modalità (11 squadre, torneo a classifica) nelle altre province della regione. Le prime 3 squadre classificate in ciascuna provincia disputano poi un torneo regio-nale. Quanti sono i modi in cui, in una data provincia, si può costituire il terzetto che passa al torneo regio-nale, cioè quanti sono i possibili insiemi di 3 squadre che si possono formare con le 11 squadre parte-cipanti? [prima di provare a rispondere rileggete la nota a p.3 della scheda 1 di Funzioni e equazioni]

     Le possibili terne di squadre (prima, seconda, terza) sono 11·10·9 (®quesito 16).

     I terzetti di squadre che potrebbero passare al torneo regionale sono molto meno.

     Infatti non ci interessa la graduatoria tra le prime 3 squadre: al variare di questa le squadre che passano sono sempre le stesse.

     Lo stesso terzetto di squadre {A,B,C} può essere disposto in 3! diverse graduatorie:

(A,B,C),  (A,C,B),  (B,A,C), (B,C,A),  (C,A,B),  (C,B,A).

     In altre parole uno stesso terzetto è conteggiato 3! volte tra le possibili terne (prima, seconda, terza).

Quindi:  n° dei terzetti = = = 11·5·3 =165

     Più in generale il numero dei sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi è pari al numero delle sequenze di k elementi che posso formare diviso per il numero dei modi in cui posso ordinare queste sequenze, cioè:

=  =  · · … ·

     I sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi vengono chiamati anche combinazioni di n elementi k a k.

     Il numero di tali combinazioni viene indicato  Cn,k  o  C(n,k)  o  .

   20 Una fabbrica produce 10 tipi di cioccolatini e li confeziona in scatole di 32 cioccolatini disposti su 4 file. In  ciascuna fila colloca cioccolatini dello stesso tipo. In quanti diversi assortimenti potrebbe confezio-nare i cioccolatini?

     Due persone giocano a ramino con un mazzo da 54 carte distribuendo 10 carte a testa e ammettendo il "colore" (cioè avere 10 carte tutte dello stesso seme) come condizione di "chiusura".

     Quanti sono gli insiemi di 10 carte di uno stesso seme, ad esempio del seme di cuori?

     Sono  C(13,10) = · · · · · · · · · .    Come mi conviene fare questo calcolo?

     A mano conviene, prima di eseguire operazioni, effettuare eventuali semplificazioni e manipolazioni (il risultato sappiamo che deve essere un numero intero in quanto rappresenta una quantità):

 · · · · · · · · · =  · · = 13·2·11 = 286

     Nel primo passaggio abbiamo semplificato i primi 7 numeri a denominatore con gli ultimi 7 numeri a numeratore, trasformando in pratica C(13,10) in C(13,3).

     Semplificazioni analoghe si possono fare anche in altri casi. Ad esempio C(20,16) può essere trasformato in C(20,4).

     Con una CT dotata del tasto  potrei calcolare immediatamente il prodotto dei numeri a denominatore in quanto è 10!, ma cosa potrei fare per i numeri a numeratore?  Un'idea è la seguente:

13·12·11·10·9·8·7·6·5·4 = =

In definitiva posso calcolare: 13! / 3! / 10!

   21 Quali tasti batteresti per calcolare C(20,16) con una CT di questo genere?

     Se calcolo C(82,30) con la CT, introdotto 82! ottengo un messaggio di overflow.  Per capire il perché calcolo alcuni valori della funzione fattoriale con grafun. Introdotta questa funzione (indicata con @F), tabulandola (con l'opzione "calc") ottengo:

     69 è il massimo numero di cui una CT riesce a calcolare il fattoriale: 70! ha ordine di grandezza superio-re a 100 e quindi richiede 3 cifre di esponente, eccedendo la capacità dei registri della CT. Grafun riesce a calcolare al massimo 142! (i valori di n! calcolati da grafun per n>50 sono approssimati con 4 cifre significative: vedi l'help).

     Un modo alternativo per calcolare C(n,k) è la costruzione del triangolo di Tartaglia (®Funzioni ed equazioni, scheda 2, ques.26). Ad esempio C(5,2) è il valore al posto 2 della riga 5 (k=2, n=5). Per la dimostrazione dell'equivalenza tra questo procedimento e i precedenti vedi il paragrafo Esercizi.

   22 Un antico quesito sul gioco degli scacchi chiede in quanti modi si possono disporre 8 regine su una scacchiera in modo che nessuna di esse risulti "attaccata" da un'altra (nessuna regina deve trovarsi sulla stessa riga o colonna o diagonale di un'altra regina). Noi lo semplifichiamo considerando, invece di 8 regi-

ne e di un'usuale scacchiera 8´8, 4 regine e una scacchiera  4´4.

   Per risolvere il problema potremmo provare (a mano o con un programma) a collocare sulla scacchiera le 4 regine in tutti i modi possibili e, via via, veri-ficare se sono soddisfatte le condizioni richieste. Ma questo procedimento sa-rebbe lungo. Infatti i modi in cui posso scegliere i 4 posti in cui collocare le regine sono molti. Quanti sono?

     Quante sarebbero nel caso del quesito originale?

   Provate, con tentativi ragionati, a risolvere il quesito (a lato è già indicata una collocazione accettabile delle 4 regine).

     La branca della matematica che si occupa dei modi in cui si possono formare nuovi oggetti (sequenze, insiemi, …) "combinando" gli elementi di un insieme finito viene chiamata matematica combinatoria (o calcolo combinatorio).

4. Dalla statistica alla probabilità

     Nei giochi e nella "realtà" spesso si hanno da fare scelte di cui non si sanno prevedere esattamente le conseguenze (quale carta conviene scartare? in quale orario conviene partire per incontrare meno traffico in autostrada? …) o, comunque, si hanno da affrontare fenomeni di cui non si sa prevedere esattamente lo sviluppo (l'uscita di un dado, l'evolvere del tempo atmosferico, …).   Abbiamo già incontrato alcune situa-zioni di questo genere nella scheda 3 de Le statistiche e nella scheda Modelli matematici per l'economia.

     In questo e nei prossimi paragrafi affronteremo lo studio degli strumenti matematici che permettono di razionalizzare le interpretazioni dei (e le scelte di fronte ai) fenomeni casuali, cioè di affrontarle ricorrendo alla ragione invece che affidandosi a pregiudizi, a superstizioni o al fato, come spesso accade.

     Prima di proseguire, rileggi le voci de Gli oggetti matematici da distribuzione a campionamento.

     Consideriamo la situazione:

(A)   Sto giocando a sette e mezzo e sono il primo di mano. Ho 1¨ e 3§. Mi conviene chiedere carta?

Sette e mezzo è giocato con un mazzo da 40, le figure valgono mezzo punto, le altre carte hanno il valore usuale; alla regina di cuori Q© (matta) il giocatore può assegnare, a piacere, un qualunque punteggio: 1, 2, …, 7 o mezzo punto. Ogni giocatore può chiedere una o più carte. Vince chi ottiene il punteggio più vicino (ma non superiore) a 7 e mezzo.

   Secondo voi, se chiedo carta è più probabile che sballi oppure che non sballi?

     Consideriamo un'altra situazione:

(B)   Un grande mobilificio del paese XX, rinnovando la gamma dei suoi prodotti, vuole adattare il "formato" di alcuni mobili (letti, poltroncine da scrivania, …) alle caratteristiche fisiche della popolazione attuale e, a tal fine, si avvale della consulenza della società statistica sifanstat.

    Questa utilizza come dati le misure delle altezze dei maschi ventenni rilevate alle visite di leva nel 1990 (cioè dei maschi nati nel 1970), classificate in intervalli ampi 1 cm. Nel paese XX, come accade in Italia, tutti i giovani vengono sottoposti alla visita di leva; le misure così rilevate sono gli unici dati antropometrici completi, su tutta la popolazione (maschile), di cui si può disporre per il paese XX.

     Per avere un'idea del tipo di studi che fa la sifanstat consideriamo un problema semplice. I letti ma-trimoniali prodotti finora dal mobilificio sono (internamente) lunghi 190 cm, adatti alla sistemazione como-da (tenendo conto dello spazio per il cuscino e per la rimboccatura inferiore) di un uomo alto meno di 183 cm. Utilizzando i dati sulle altezze citati, la sifanstat vuole valutare la probabilità che un potenziale cliente nato nel 1970 trovi i letti matrimoniali troppo corti.

     Sotto abbiamo riprodotto graficamente e parzialmente elaborato i dati citati, registrati nel file altxx.stf (nel directory sta).   Per esaminare i file possiamo ricorrere a un editor o esaminare i dati direttamente con il programma statfile  (attento: la tabella va letta riga per riga, non colonna per colonna).

                                                                                                            

     Le frequenze originali erano espresse percentualmente e arrotondate ai decimi (ad es. per l'intervallo [183,184) la frequenza relativa era 2.7%). Poiché statfile richiede che come frequenze siano introdotti numeri interi, i dati, nel file altxx.stf, sono stati riscritti in forma "per mille" (nel caso sopra citato si è introdotto, come frequenza assoluta, il numero 27).

     Analizzando il file otteniamo:

        

Nota.  Come numero totale dei dati il programma non visualizza 1000; ciò è dovuto al fatto che le frequenze originali erano arrotondate.

Il programma visualizza la scritta «non necessariamente di = ampiezza» per avvisare che, essendo stata scelta l'opzione "rettangoli con basi uguali", anche se gli intervalli registrati nel file avessero diverse ampiezze, il programma li rappresenterebbe con colonne di uguale larghezza (®distribuzione in Gli oggetti matematici).

     In assenza di ulteriori informazioni, la sifanstat assume che la probabilità che l'altezza cada in un dato intervallo coincida con la frequenza relativa di tale intervallo.

     Per es. assume che la probabilità che un cliente nato nel 1970 (ventenne nel 1990) sia alto 183 cm (misura troncata agli interi, cioè altezza in [183,184)) coincida con la frequenza 2.7% di tale altezza.

     Questa ipotesi presuppone, ad esempio, che i clienti non provengano da particolari regioni del paese: se nella regione AA i maschi adulti sono mediamente più alti rispetto all'intero paese, e se i clienti venissero tutti da AA, le valutazioni basate sui nostri dati sarebbero sballate. In altre parole, è come se si ipotizzasse che l'istogramma di distribuzione delle altezze dei clienti nati nel 1970 sia più o meno uguale all'istogramma relativo al totale dei maschi nati in XX in tale anno.

     Dunque, indicando con H l'altezza troncata ai centimetri di un potenziale acquirente nato nel 1970, con h un particolare numero naturale e con Pr(H=h) la probabilità che egli sia alto (troncando agli interi) h cm,  per la sifanstat:

Pr(H=h) = frequenza relativa dell'altezza h cm tra i ventenni nel 1990

     Dobbiamo calcolare  Pr(H=183 or H=184 or H=185 or ).

     Poiché la frequenza dell'unione di più classi disgiunte è, ovviamente, uguale alla somma delle frequenze delle singole classi, possiamo dire che:

Pr(H=183 or H=184 or H=185 or ) = Pr(H=183) + Pr(H=184) + Pr(H=185) +

       In altre parole devo calcolare l'area della parte tratteggiata dell'istogramma a lato, cioè la somma delle aree delle colon-ne che rappresentano le frequenze di [183,184), [184,185), …

   Utilizzando il file altxx.stf, riportato nella pagina precedente, calcola la probabilità cercata.

     Per determinare questa probabilità, in alternativa avremmo potuto, usando statfile, procedere per tentativi ricorrendo ai percentili:

     Avremmo potuto dedurre che Pr(H<183) è 87% (valore arrotondato).

  Come avremmo poi potuto calcolare Pr(H≥183)?

    A (7e) e B (mobilificio) sono situazioni in cui conosco già completamente la distribuzione delle grandezze considerate (valori delle carte o altezze).

     Ipotizzando che non ci siano motivi per cui debba venire una carta più che un'altra o per cui l'altezza di una persona abbia una qualche influenza sulla sua scelta di acquistare o no un letto presso il nostro mobi-lificio, ho assunto le frequenze relative come valutazioni di probabilità.

     Nel caso A i valori delle 38 carte rimanenti (tutte meno 1¨ e 3§) sono distribuiti secondo l'istogramma a fianco ("m" è la matta, Q©, e "f" indica il valore 1/2 attribuito alle figure diverse da Q©).

     Le carte che mi fanno sballare sono le 16 carte di valore maggiore o uguale a 4. La percentuale delle carte di valore maggiore o uguale a 4 è:

                                                                                                 =  42.1%

     Questa è la probabilità che il valore C della nuova carta sia maggiore o uguale a 4. In simboli:

Pr(C≥4)=42.1%

 x

 x

 x

 x

 x 22      16

 x

 x

 x x xxxx

 xxxxxxxx

 xxxxxxxx

xxxxxxxxx

mf1234567

     Questa è anche la probabilità di sballare. È minore del 50%. Quindi è più probabile che non sballi.

Nota. Giocando a "7e", e ad altri giochi, non si usa tuttavia solo la probabilità come criterio per decidere le mosse: ad esempio si può bluffare o, se si fanno delle scommesse, l'ammontare dell'eventuale vincita può influire sulla valutazione di che cosa è più conveniente fare.

     Anche nel caso B si sono fatte delle valutazioni probabilistiche riferite a un insieme finito (le altezze di una categoria di persone) di cui si conosceva la distribuzione percentuale.

     Consideriamo ora una situazione diversa.

(C)   Un amico mi dà un dado. Lo lancio. Esce 6. Posso ritenere che, se lo rilancio, l'uscita più probabile sia un altro 6?

  Discutete questo problema.

     Per verificare le opinioni emerse nel corso della discussione facciamo un esperimento.

  Ritaglia lo sviluppo del dado riprodotto in fondo alla pagina (dopo aver, eventualmente, fotocopiato la pagina). Poi incolla le linguette e costruisci il dado. Infine (per impedirne l'apertura durante i lanci) applica delle striscette di scotch sugli spigoli indicati, corrispondenti alle linguette. Effettua 100 lanci (tira il dado con una certa forza, in modo che rotoli più volte) registrando le uscite in una tabella.

     Raccogliete i dati registrati da tutti gli alunni in un'unica tabella, calcolatene la distribuzione percentuale e riportatela nella tabella seguente:

 

 

 

U=1

U=2

U=3

U=4

U=5

U=6

 

frequenza

assoluta

 

 

 

 

 

 

 

frequenza

relativa

%

%

%

%

%

%

 

 

 

Abbiamo indicato con U l'uscita del dado; quindi sotto a "U=1" scrivete la frequenza con cui si verifica l'eventualità che l'uscita sia 1, sotto a "U=2" scrivete …

 

     Costruite il corrispondente istogramma di distribuzione usando il sistema di riferimento a lato:

     Riprendiamo il problema C.

(1)   C'è chi sostiene che essendo già uscito 6 l'uscita successiva più probabile è di nuovo 6.

(2)   C'è chi sostiene che essendo già uscito 6 l'uscita successiva più probabile non è più 6.

(3)   C'è chi sostiene che ogni lancio fa storia a sé, per cui il fatto che sia già uscito 6 non mi dà alcuna informazione sulla maggior probabilità di un'uscita rispetto a un'altra.

     L'opinione (3) ha qualche fondamento: effettivamente ogni lancio fa storia a sé, cioè la nuova uscita non è influenzata dalla precedente. In particolare se è uscito 6 può, con la stessa probabilità del lancio pre-cedente, uscire nuovamente 6. Quindi l'opinione (2) è errata.

     Ma la seconda parte dell'opinione (3) («per cui …») non è giusta: l'uscita 6 mi dà qualche informazione. Infatti ad esempio mi permette di concludere che il dado non è truccato in modo tale che il 6 non esca mai, cioè che le uscite non si distribuiscano come nell'istogramma a fianco.

     L'opinione (3) sarebbe corretta anche nella sua conclusione se si sapesse che il dado è equo, cioè che le sue facce hanno tutte la stessa probabilità di uscita.

     Il dado dell'esperimento del quesito 27 non era equo. "Probabilmente" avrete ottenuto un istogramma somigliante a quello a fianco, che è il frutto di qualche centinaia di lanci di un dado costruito in modo analogo ai vo-stri.  L'istogramma ci fa ritenere che si tratti di un dado per cui U=6 è più probabile di U=1, U=2, …, U=5.

     Se si sapesse che il dado è equo, l'opinione (1) sarebbe scorretta. Ma non avendo alcuna informazione sul dado e non avendo fiducia sulla sua equità, è sensato "puntare" sul 6 piuttosto che su un'altra faccia.

     Come si fa a stabilire l'equità di un dado?

     Per costruire un dado equo occorre impiegare un materiale omogeneo, dargli forma regolare, … .  Il no-

stro dado è evidentemente non equo: la presenza di linguette e pezzi di scotch più su certe facce che su altre fa sì che esso non sia equilibrato.

     Per assicurarsi dell'equità di una dado occorre tuttavia fare anche una verifica sperimentale: sottoporre il dado a moltissimi lanci e controllare se l'istogramma di distribuzione delle uscite tende a stabilizzarsi su una forma come quella a lato, con 6 colonne di eguale altezza.


     In ogni caso non potremo avere una certezza assoluta dell'equità del dado. Anche se il dado è realmente equo, noi, essendo in grado di effettuare solo una quantità finita di prove, non potremo mai concludere che l'istogramma sperimentale tende effettivamente a stabilizzarsi su un insieme di colonne di altezza uguale. Potremo solo valutare la probabilità che ciò accada.

     Ad esempio, se il dado fosse equo, con 1 milione di lanci potremmo concludere che al 99% la probabilità che esca 2 è compresa tra 0.166 e 0.168, con 100 milioni potremmo concludere che al 99% è compresa tra 0.1666 e 0.1668, … , ma non arriveremo mai né alla certezza, né a tutte le cifre di 1/6=0.1.

     Nei prossimi anni studierai concetti che ti permetteranno di esprimere meglio ciò che qui si è descritto con «tende a stabilizzarsi» e a valutare la probabilità degli scarti tra valori teorici e valori sperimentali.

     Anche nel caso delle altezze di una popolazione di persone, quando non si conoscano tutti i dati, si ricorre a uno studio sperimentale della distribuzione analogo a quello visto per il dado: si effettua un campionamento (®Gli oggetti matematici) e si esamina la distribuzione delle altezze del campione. Più il campione è numeroso più l'istogramma si avvicina a (cioè meglio approssima) l'istogramma dell'intera popolazione.

     A differenza della distribuzione delle uscite del dado, il cui l'istogramma "limite" è puramente teorico (i lanci effettuabili sono infiniti, almeno se il dado non si consuma, se …), nel caso delle altezze l'istogram-ma limite corrisponde all'istogramma "sperimentale" che otterrei esaminando l'intera popolazione (esame in via di principio realizzabile in quanto la popolazione è finita).

     Un altro caso di uso di dati sperimentali per valutare delle probabilità è quello in cui si ricorre a dati relativi a come un fenomeno si è realizzato in tempi precedenti per prevedere come esso si realizzerà in un tempo futuro. Consideriamo ad esempio la seguente situazione:

(D)   Gli insegnanti di matematica e di fisica della scuola X, per programmare le attività del nuovo anno, vogliono stimare quanti studenti parteciperanno ai corsi di recupero. A tal fine chiedono alla segreteria una statistica sulle insufficienze in queste materie che vi sono state nel primo quadrimestre dell'anno passato. La segreteria fornisce le percentuali degli studenti con insufficienze in matematica (42%), in fisica (39%) e in entrambe le materie (28%). Utilizzando queste percentuali come valutazioni delle probabilità che uno studente risulti insufficiente in tali materie nel nuovo anno, come si può valutare la probabilità che uno studente debba essere coinvolto in corsi di recupero per queste materie?

  Rispondi alla domanda posta in D aiutandoti con i diagrammi seguenti (M e F indicano gli insiemi degli studenti con insufficienza in, rispettivamente, matematica e fisica).

     Consideriamo ora una valutazione probabilistica in cui non ha neanche senso porsi il problema di uno studio sperimentale:

(E)    Sta per disputarsi la partita Roma-Torino. Gigi ritiene che la Roma 30 su 100 vincerà e 40 su 100 pareggerà. Qual è la probabilità per Gigi che vinca il Torino?

  Rispondi alla domanda posta in E.

     E è una situazione diversa dalle precedenti: non abbiamo a che fare con una frequenza, anche se ci si esprime con il linguaggio "delle frequenze" («30 su 100», …).

     Infatti Gigi valuta la probabilità di vittoria in base alle sue valutazioni sullo stato di forma delle due squadre, sulle condizioni di salute dei giocatori, … e in base alle sue speranze.

     Avrebbe senso ricorrere a una valutazione basata sulle frequenze solo se non si disponesse di infor-mazioni sull'andamento del campionato, non ci si basasse sulle proprie aspettative, … e se si avessero a disposizione i risultati degli incontri precedenti tra le due squadre.

5. Che cos'è la probabilità: misure di probabilità, eventi e variabili casuali

     Riprendiamo, in breve, alcuni degli esempi visti.

   Nella situazione B come probabilità Pr(H=h) ho assunto la frequenza relativa con cui si presenta l'altezza h tra i maschi dell'età considerata. Utilizzando questi valori di probabilità ho calcolato altri valori di probabilità.  Ad esempio:

Pr(H≥183) = Pr(H=183)+Pr(H=184)+Pr(H=185)+…

     Se invece sapessi che Pr(H<183)=87% per trovare Pr(H≥183), potrei osservare che  H≥183  equivale a  not H<183  (il verificarsi di  H≥183  equivale al non verificarsi di  H<183). Quindi:

                                      Pr(H≥183) = 100% – Pr(H<183) = 100% – 87% = 13%

   La situazione E, indicando con E l'esito ("1", "2" o "X") della partita, può essere sintetizzata così:

assumendo che Pr(E="1")=30% e che Pr(E="X")=40%,  quanto deve valere Pr(E="2")?

     Poiché  Pr(E="1")+Pr(E="2")+Pr(E="X")=100%, deduco che:

Pr(E="2")=100%–Pr(E="1")–Pr(E="X")=100%–30% – 40% = 30%

   Nel caso del lancio di un dado, ritenere il dado equo significa supporre che l'uscita U abbia uguale pro-babilità di essere 1, 2, … o 6: Pr(U=1)=Pr(U=2)=…=Pr(U=6).    Sia p il valore di questa probabilità.

     Poiché  Pr(U=1)+Pr(U=2)+…+Pr(U=6)=100%=1,  ho  p+p+…+p=6p=1, da cui p=1/6.

     Cioè:  Pr(U=1)=Pr(U=2)=…=Pr(U=6)=1/6

     Per trovare la probabilità che l'uscita sia pari faccio:

Pr(U è pari) = Pr(U=2)+Pr(U=4)+Pr(U=6)= + + =  =  .

     Nelle prime due situazioni ho associato ad alcuni eventi A un numero compreso tra 0 e 1 (=100%) come Pr(A) (probabilità di A).  Nella terza situazione ho fissato delle condizioni sulla funzione A Pr(A): ho supposto che Pr(U=1)=Pr(U=2)=….

     In tutti e tre i casi ho poi dedotto le probabilità relative ad altri eventi applicando a Pr alcune delle proprietà che si erano già usate per le frequenze percentuali.

     Rivediamo più sistematicamente queste proprietà.

Pr(not A) = 100% – Pr(A)

Pr(A or not A) = 100% = 1

Pr(A and not A) = 0

Esempio:  Pr(H≥183) = Pr(not H<183) = 100% – Pr(H<183)

Pr(A1 or A2 or A3 or ) = Pr(A1) + Pr(A2) + Pr(A3) + …

          se A1, A2, A3,… sono tra loro incompatibili, cioè se due qualun-       que eventi Ai e Aj non possono essere veri contemporaneamente.

Esempio:  Pr(U è pari) = Pr(U=2 or U=4 or U=6)= Pr(U=2)+Pr(U=4)+Pr(U=6)

     Quest'ultima proprietà è nota come proprietà additiva.

Una proprietà analoga vale per le aree: se unisco dei po-ligoni l'area della figura ri-sultante è la somma delle lo-ro aree solo se essi non sono sovrapposti [®La matem. e lo spazio, scheda 2, ques. 49]

   Nel caso D, per valutare Pr(SÎM or SÎF) (probabilità che uno studente S sia tra gli studenti insuffi-cienti in matematica o tra gli studenti insufficienti in fisica), non ho potuto usare la proprietà additiva poiché si può essere insufficienti in entrambe le materie. Ho fatto:

Pr(SÎM or SÎF) = Pr(SÎM) + Pr(SÎF) – Pr(SÎM and SÎF)

     Più in generale, quando si è di fronte a valutazione del tipo Pr(evento1 or evento2) con evento1 e evento2 non incompatibili, si usa la proprietà:

Pr(A or B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A and B)

     A seconda di come si scelgono le valutazioni iniziali, per la stessa situazione si possono ottenere diverse misure di probabilità.

     Ad es. nel caso E (partita Roma-Torino) se Gigi avesse dato la vittoria della Roma al 35% e il pareggio al 50%, invece della misura di probabilità:     "1"  30%          "X"  40%                                                               "2"  30%

avremmo avuto quest'altra:                             "1"  35%          "X"  50%         "2"  15%

     Le valutazioni iniziali possono essere dedotte dall'esperienza o da considerazioni di tipo fisico o da propri convincimenti o … .

     Devono comunque essere tali da non condurre a contraddizioni: a partire da esse, applicando ripetutamente le proprietà elencate, non posso ottenere due valutazioni diverse per uno stesso evento, non posso ottenere probabilità negative o superiori al 100%, …

     Ad esempio (situazione E) non si può stimare che la Roma vincerà al 40% (Pr(E="1")=0.4) e che pareggerà al 70% (Pr(E="X")=0.7), poiché avremmo Pr(E="2")=1–(0.4+0.7)=–0.1 invece di un valore maggiore o uguale a 0.

  Dopo aver specificato che cos'è una misura di probabilità, dobbiamo precisare meglio che cosa sono gli eventi.

     Sono di fronte a un fenomeno, ad esempio il lancio di un dado, determinato da molti fattori,

alcuni dei quali (la forma del dado, il peso del dado, …) riesco a valutarli, cioè li so individuare, ho gli strumenti per misurarli, non è troppo dispendioso rilevarli, …,

altri no (l'impulso che dò al dado, la presenza di correnti d'aria, ).

     Questi ultimi fattori, per convenzione, li chiamo casuali.  È una scelta soggettiva, che dipende dallo stato di conoscenze, dal tempo e dalle risorse che voglio dedicare all'analisi del problema, … : disponendo di strumenti sofisticati potrei misurare l'impulso che dò al dado, valutare la presenza di correnti d'aria, ….

     Chiamo fenomeno (o esperimento) casuale un fenomeno di cui considero casuali alcuni fattori. Chia-mo condizioni l'insieme dei fattori che riesco a valutare. Dunque, a parità di condizioni, il fenomeno può realizzarsi diversamente; in altre parole, più prove dell'esperimento possono dar luogo a risultati diversi.

     Chiamo deterministico un fenomeno che non dipende da fattori casuali.

     Ad esempio la misura della lunghezza di un tavolo troncata ai centimetri è un fenomeno deterministico: ogni volta che ripeto la misura ottengo sempre lo stesso valore.

     Invece una misura di tempo troncata ai centesimi di secondo effettuata manualmente con un orologio di-gitale (®quesito 32 della scheda 3 de Le statistiche) è un fenomeno casuale: il valore che ottengo dipende anche dai tempi di reazione della persona, che sono casuali (variano da momento a momento in relazione alla attenzione, alla stanchezza, …).

     Nel caso della situazione B, il fenomeno casuale è l'altezza del potenziale cliente nato nel 1970 che visita il mobilificio, la condizione è l'età del cliente, i fattori casuali sono moltissimi, per es. le esigenze di arredamento, le possibilità economiche, … dei vari abitanti del paese XX.

     Nel caso del lancio di un dado le condizioni, come già osservato, sono le caratteristiche fisiche del da-do, il fatto che il dado cada sulla tavola, …, i fattori casuali sono l'altezza da cui lancio il dado, la posizione del dado nella mia mano, l'impulso che gli dò, la rugosità e l'inclinazione della superficie della tavola, la presenza di correnti d'aria, … .

     In entrambi i casi i fattori "casuali" potrebbero essere teoricamente ridotti o eliminati: nel primo caso potrei conoscere, ad esempio attraverso delle interviste telefoniche, le caratteristiche fisiche e anagrafiche delle famiglie del paese XX che intendono rinnovare l'arredamento; nel secondo caso potrei misurare l'altezza da cui lancio il dado, l'impulso del lancio, …

     Anche nel caso della situazione A potrei ridurre i fattori casuali: basterebbe aver dato una "sbirciata" alle carte degli altri giocatori (in modo da restringere l'insieme della carte "possibili") o addirittura alla prima carta del mazzo: in questo caso lo sballare o no diventerebbe un fenomeno deterministico.

     Un evento è un fatto che riguarda un fenomeno casuale; ogni volta che, a parità di condizioni, il fenomeno si realizza, l'evento può verificarsi o no.  Ad esempio:

   nel contesto del lancio di un dado, un evento può essere "esce la faccia del dado con 4 pallini";

   nel contesto del "mobilificio" un esempio di evento è "arriva un cliente alto 181 cm";

   nel contesto del lancio di una coppia di dadi possiamo considerare come evento "escono due facce contenenti complessivamente 8 pallini".

     Passando al modello matematico, rappresentiamo il fenomeno casuale individuando uno o più og-getti matematici che rappresentino le grandezze o gli aspetti attraverso cui si manifesta il fenomeno:

   nel caso dell'arrivo del cliente ci interessa rappresentare la sua altezza, e possiamo farlo considerando il numero che ne è la misura in una fissata unità;

   nel caso del lancio di una coppia di dadi possiamo considerare i due numeri che indicano le quantità dei pallini che compaiono sulle due facce che escono.

     Questi oggetti matematici li indichiamo con delle lettere o dei nomi, così come si fa per le variabili nelle formule che descrivono fenomeni deterministici, e per questo vengono chiamati variabili casuali.

     Si è già usata questa notazione negli esempi visti:

   C (a valori in {1/2,1,2,…,7}) per indicare il valore della nuova carta,

   H (a valori negli interi positivi) per indicare l'altezza del potenziale cliente nato nel 1970,

   U (a valori in {1,2,…,6}) per indicare l'uscita del dado lanciato,

   E (a valori in {"1","2","X"}) per indicare l'esito della partita,

  

     Dall'evento come fatto che riguarda il fenomeno, nel modello matematico si passa all'evento come condizione in cui compaiono variabili casuali riferite al fenomeno in questione:

                 H≤183                E="1"orE="X"              SÎM or SÎF            U= 6

  Descrivi matematicamente l'evento che lanciando due particolari dadi esca (complessivamente) 7 utilizzando le variabili casuali U1 e U2 per indicare le uscite dei singoli dadi.

          Descrivi poi, analogamente, l'evento che l'uscita del lancio dei due dadi sia pari.

10. Esercizi

Completa la seguente dimostrazione che la divisibilità per 3 di un numero intero equivale alla divisibilità per 3 della somma delle sue cifre, svolta, per semplicità, solo per il caso particolare in cui il numero abbia 4 cifre.

(1)   Sia N il numero considerato. Siano A, B, C e D le sue cifre (da sinistra verso destra), cioè sia N=A·1000+B·100+C·10+D;

(2)   Abbiamo:  N–(A+B+C+D) = A·1000+B·100+C·10+D–(A+B+C+D) = A·999+

       che è un numero divisibile per 3

(3)   Se P–Q è divisibile per 3, P e Q devono essere o entrambi divisibili per 3 o nessuno dei due divisibile per 3. Infatti:

     se Q fosse divisibile per 3, anche P, poiché sarebbe la somma di due numeri divisibili per 3 (infatti P=(P–Q)+Q), sarebbe divisibile per 3;

     se P fosse divisibile per 3 …

In vari libri medioevali si trovano "problemi del travaso" simili al seguente: «Un oste dispone solo di due mestoli "misuratori", uno da 1/4 di litro, l'altro da 1/5 di litro. Può, mediante uno o più travasi eseguiti mediante i mestoli, trasferire 3/10 di litro dalla botte in un altro recipiente?»

 

     Ai nostri giorni affrontiamo il problema così:

   indichiamo con M e N la quantità di travasi eseguiti, rispettivamente, con il 1° e con il 2° mestolo, conteggiando positivamente i travasi dalla botte al recipiente e negativamente quelli in senso opposto (ad esempio M=3 e N=–2 corrisponde a versare 3 mestoli da 1/4 nel recipiente e togliervi 2 mestoli da 1/5);

   il quesito si traduce nella questione se l'equazione 1/4·M+1/N=3/10 ha soluzioni, cioè se esistono coppie (M,N) di numeri interi che rendono vera l'equazione.

     Il problema ha soluzioni? [per rispondere trasforma l'equazione in un'altra più "comoda" da esaminare]

     In caso negativo motiva la risposta, in caso affermativo esplicita una soluzione e stabilisci se ce ne sono altre.

 

Luigi per conosce l'altezza di un muro procede così:

       pone uno specchio per terra tra sé e il muro e arretra fino a che vede riflesso nello specchio la sommità del muro;

       sa che i propri occhi sono all'altezza di circa 170 cm da terra, che lo specchio è a circa 120 cm dal muro e che lui dista dallo specchio circa 70 cm;

       utilizzando queste informazioni riesce a stimare l'altezza del muro.

         Come ha fatto? Quanto è alto il muro?

Per definire il fattoriale senza ricorrere ai puntini "…", a p.17 di Modelli matematici per l'economia abbiamo fatto ricorso a un programma. In alternativa possiamo utilizzare una definizione ricorsiva. Come?

Considera le successioni così definite:

              x(0)=A,  x(n+1)=                   y(0)=A,  y(n+1)=

     Utilizzando la CT, calcola un po' di elementi delle successioni che si ottengono assegnando ad A i valori seguenti: 4, 2, 100, 0.25. Che cosa puoi congetturare dalle uscite che ottieni?

Tra le seguenti definizioni di una successione x(.), ve ne sono di equivalenti?

 

x(0)=1, x(n+1)=x(n)+10%x(n)

x(0)=1, x(n+1)=x(n)/10

x(0)=1, x(n+1)=x(n)+x(n)

x(n)=1.1n

x(n)=2n

x(n)=10n

x(0)=1, x(n+1)=x(n1.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Per realizzare con il Lego una scaletta alta 5 mattoncini nel modo raffigurato a la-to devo impiegare 5+4+3+2+1=15 mattoncini. Indichiamo con M(n) il numero dei mattoncini necessari per realizzare una scaletta alta n (quindi M(5)=15).

     Calcola M(n) per diversi valori di n.

     Poi prova a definire M(n) ricorsivamente e, se ci riesci, mediante un'unica formula M(n)=… (per quest'ultima richiesta puoi aiutarti mettendo in relazione la quantità dei mattoncini della scaletta con la quantità dei rettangolini tratteggiati nel disegno).

 

La successione così definita:

         Q(0)=1, Q(1)=1, Q(N+2)=Q(N)+Q(N+1)

     illustrata nella figura a fianco è nota come succes-sione di Fibonacci è stata presentata nel "Liber abaci" da Leonardo Pisano (vissuto a cavallo del 1200 e noto come Fibonacci) come modello mate-matico del seguente "problema dei conigli": 

«quante coppie di conigli verranno prodotte in N mesi a partire da un'unica coppia se ogni mese ogni coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese di vita?». 

    Q(N) rappresenta la quantità di coppie presenti dopo N mesi.

    Completa l'elenco dei termini della successione fino a Q(10).

   

3 ragazze e 2 ragazzi si siedono al cinema in 5 posti consecutivi della stessa fila.               

In quanti modi possono occupare i posti, tenendo conto che ogni femmina vuole avere a fianco almeno un maschio (e viceversa)?

Disponendo di stoffe di 8 differenti colori quante bandiere tricolori a bande verticali (di dimensioni uguali e colori tutti diversi) puoi realizzare?

Un ristorante propone un menu turistico a prezzo fisso composto da un primo, a scelta tra 3, un secondo a scelta tra 4, due "varie" (bevande o dolce) a scelta tra 5. Quanti pasti diversi si possono scegliere?

Proviamo che (come annunciato a p.8) con la costruzione del triangolo di Tartaglia si può calcolare C(n,k):

  Il triangolo è costruito mettendo degli "1" sui lati obliqui; gli elementi su tali lati corrispondono ai valori di C(n,0) e di C(n,n). Dimostra, utilizzando la definizione del concetto di combinazione («sottoinsieme di k …»), che effettivamente C(n,0)=1 e C(n,n)=1.

  La costruzione degli elementi interni del triangolo corrisponde alla equaz. C(n+1,k+1)= C(n,k)+ C(n,k+1). Dimostra tale eguaglianza usando l'espressione per calcolare le combinazioni introdotta a p.7.

Sapendo che Pr(H<183)=87% e che Pr(H<170)=25% (situazione B a p.9), calcola Pr(170≤H<183).

Considera il dado non equo del quesito 42. Sia U la sua uscita. Calcola nel modo più semplice Pr(UÎ{1,3,4,5,6}). Calcola Pr("U è pari" or "U è un multiplo di 3").

Faccio il seguente esperimento: lancio una moneta ripetutamente fino a che esce testa e annoto la quantità N di lanci che ho effettuato. Quali sono i valori che può assumere la variabile casuale N? Calcola Pr(N>1).

Al gioco del Lotto sono 6 mesi che non esce 67 sulla ruota di Genova mentre 67 è uscito ieri sulla ruota di Napoli. Voglio giocare il 67 su una delle due ruote. Quale mi conviene scegliere?

 Lancio tre volte un dado equo. Qual è la probabilità di ottenere sempre la stessa faccia? Qual è la probabilità di ottenere almeno due volte la stessa faccia?

 Il 20% dei clienti dell'agenzia turistica Viaggi nell'anno X ha trascorso le vacanze all'estero. Di questi il 27% si è recato in Francia e il 33% in Spagna. Nell'anno X+1 la agenzia vuole valutare, ipotizzando che queste percentuali si mantengano, la probabilità che un cliente si rechi in vanaza in Francia. Calcola questa probabilità. In base a queste informazione sei in grado di calcolare la probabilità che un cliente non si rechi né in Francia né in Spagna?

Spesso si ritengono "strani" (e si attribuiscono a magie, miracoli, presenze extraterrestri, …) fenomeni che sono solo poco probabili o, a volte, non sono neanche poco probabili.  Illustriamo ciò con un esempio:

«Qual è la probabilità che in una classe di 25 alunni almeno 2 siano nati nello stesso giorno dell'anno?»

Rispondi (supponi per semplificare i calcoli che non ci siano alunni nati in anni bisestili) usando la traccia:

  la probabilità che gli alunni siano nati in giorni tutti diversi è Q=364/36·341/365=43%, infatti:

Sia Gn il giorno di nascita dell'alunno n-esimo nel registro di classe.

La probabilità che G2 sia diverso da G1 è 364/365 (364 possibilità su 365).

La probabilità che G3 sia diverso da G1 e da G2 è 363/365 e quella che, inoltre, G2 sia diverso da G1 è (364/365)·(363/365)=364/365·363/365

La probabilità che G25 sia diverso da G1, G2, … e G24 è 341/365 e quella che tutti i Gn (n=1,…,25) siano diversi tra loro è 364/36·341/365

  deduci da ciò la probabilità richiesta dal quesito.

Una commissione comunale è costituita da 8 persone, 4 della maggioranza e 4 della minoranza. Il presi-dente della commissione (appartenente alla maggioranza) estrae a caso (usando dei bigliettini) i 3 membri che dovranno far parte di una commissione di concorso. I tre sorteggiati appartengono tutti alla maggio-ranza. I membri della minoranza sospettano un broglio. Tu cosa ne pensi? (Calcola la probabilità che un sorteggio non truccato dia un esito di questo tipo).

Una quantità Q, inizialmente pari al valore H, che decresca seguendo una relazione del tipo Q=H·(1/2)n, dove n è il tempo trascorso espresso in una opportuna unità di misura T, è detta a decrescita esponenziale [®p.5]. Per n=1, cioè trascorso un intervallo di tempo T, Q si dimezza; per questo T è detto emivita (dal greco emi ="mezzo"). Una sostanza di un particolare farmaco è eliminata dall'organismo riducendosi se-condo una legge di questo genere con emivita di 30 ore. Dopo quanto tempo la sostanza all'interno dell'or-ganismo si riduce a 1/4? Dopo quanto a 1/16?

La successione di Fibonacci (Q(0)=Q(1)=1, Q(n+2)=Q(n+1)+Q(n) ®ques.60) coincide con la successione F(0), F(1), … dove:

F(n) =

     Verifica tale coincidenza per alcuni valori di n con Derive o con Grafun. Per avere la certezza della equivalenza tra F(n) e Q(n) verifica che F(0)=F(1)=1, F(n+2)=F(n+1)+F(n), "a mano" e con Derive.

Tra il software MaCoSa, nel directory STA, trovi il programma sperim.bas che generalizza il programma considerato a p.23. Esso contiene il sottoprogramma prova(v) in cui puoi simulare l'evento di cui vuoi valutare la probabilità e assegnare alla variabile V il valore 1 se l'evento si verifica, il valore 0 altrimenti. Ad es., per simulare l'uscita di due denari alzando due volte un mazzo da 40 (ques. 44) posso codificare con 0, 1, 2 e 3 i semi, e con 0 denari, e rappresentare l'evento con questo sottoprogramma:

seme1 = FIX(RND*4): valore1 = FIX(RND*10)+1

seme2 = FIX(RND*4): valore2 = FIX(RND*10)+1

IF seme1 = 0 AND seme2 = 0 THEN V = 1 ELSE V = 0

  Evidentemente valore1 e valore2 non entrano in gioco: il test (IF …) è fatto su seme1 e seme2; del resto mi interessa solo il seme, non il valore delle carte. Quindi posso usare più smplicemente:

seme1 = FIX(RND*4): seme2 = FIX(RND*4)

IF seme1 = 0 AND seme2 = 0 THEN V = 1 ELSE V = 0

    Utilizza il programma per studiare questo evento e confronta il risultato sperimentale con quello teorico.

Per studiare con sperim.bas (vedi ques. 75) il caso della doppia estrazione (vedi ques. 44) occorre tener conto della prima carta estratta. Si potrebbe procedere così:

seme1 = FIX(RND*4): valore1 = FIX(RND*10)+1

seme2 = FIX(RND*4): valore2 = FIX(RND*10)+1

WHILE seme1 = seme2 AND valore1 = valore2

  seme2 = FIX(RND*4): valore2 = FIX(RND*10)+1

WEND

IF seme1 = 0 AND seme2 = 0 THEN V = 1 ELSE V = 0

    Motiva questa scelta, studia sperimentalmente il caso della doppia estrazione e confronta il risultato che ottieni con quello teorico.

    Modifica il sottoprogramma usando l'istruzione LOOP (vedi l'Help), che consente una stesura più breve, anche se equivalente dal punto di vista del tempo di calcolo.

Provate (non è facilissimo) a studiare sperimentalmente e teoricamente la probabilità di avere poker (4 carte dello stesso valore tra le 5 che si sono ricevute) all'inizio di una mano di poker, giocata con 32 carte.

     [suggerimento per lo studio sperimentale: per far sì che nella simulazione le 5 carte ricevute siano tra loro diverse, nel sottoprogramma prova - vedi ques. 75 - dichiarare con DIM carta(3,8) una variabile carta a 2 indici, con l'idea di porre carta(i,j)=1 se esce la carta di seme i e valore j, e, man mano che si estraggono le 5 carte, se viene gererata la carta di seme i e valore j, controllare se carta(i,j) è già 1 e, in tal caso, rigenerare la carta; alla fine del sottoprogramma porre ERASE carta).

1)   Segna con l'evidenziatore, nelle pagine indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei termini:

   successione, p.5    funz. esponenziale, p.5      disposizioni, combinazioni, p.6, 7  proprietà additiva, p.14

   fenomeno casuale, deterministico, p.15    evento,variabile casuale, p.16     istogr. di distribuzione,p.19

   legge di distribuz., p.19,20     eventi e variabili casuali (in)dipendenti , p.27    prob. condizionata , p.28

2)    Su un foglio da "quadernone" (che poi inserirai dopo l'ultima pagina della scheda), nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato.

3)    Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefo-no") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso").

- Anticipare alcune delle considerazioni geometriche
presenti nella vecchia scheda Matem.Tra Gioco e Realta'
- rivedere es. 41
- rivedere contenuto e collocazione delle parti sulla
conservazione della pendenza e delle distanze
- mettere qualche considerazione storica legata all'uso
della suddivisione del cerchio in 360 parti
- mettere nella guida il discorso di ripresa di concetti
geometrici gia' introdotti in schede precedenti, o in classi
precedenti (retta, angolo, triangolo, ...)
- mettere domanda su relazione tra le pendenze nel caso di parallelismo
e perependicolarita'
- aumentare gli intrecci con "Automazione 4" e con l'"uso" del computer
- spezzare 8 in due parti (una sulle curve, una sui triangoli)
- rimpolpare l'eserciziario
- spezzare in due la scheda