U=1

U=2

U=3

U=4

U=5

U=6

frequenza

assoluta

frequenza

relativa

%

%

%

%

%

%

Abbiamo indicato con U l'uscita del dado; quindi sotto a "U=1" scrivete la frequenza con cui si verifica l'eventualità che l'uscita sia 1, sotto a "U=2" scrivete …

     Costruite il corrispondente istogramma di distribuzione usando il sistema di riferimento a lato:

Abbiamo pensato di spezzare la scheda in 2 parti:
una, con le stesso titolo (MGR) che dovrebbe
contenere i primi tre paragrafi della vecchia scheda
con aggiunta una prima attivita' di riflessione
sulla probabilita' riferita agli esempi del 7 e 1/2
e del dado presenti nel $4. Questa scheda potrebbe
essere impostata in 2 versioni (debole e forte).

Dovrebbe seguire una scheda specifica sul calcolo
delle probabilita', abbastanza simile, nella
intelaiatura, alla parte dal $4 in poi della attuale
MGR. Dovrebbe ridursi molto la parte di programmazione,
che dovrebbe cedere il posto ad attivita' riferire
all'uso del software R.

3. Calcolo combinatorio

   12 Una società sportiva vuole organizzare un torneo provinciale di pallavolo rivolto alle squadre delle scuole superiori. Deve decidere se scegliere un torneo a "eliminazione diretta" o un torneo "a classifica" (ogni squadra sostiene un incontro con ciascuna delle altre squadre e sulla base degli esiti degli incontri, dei punteggi, … viene stabilita una graduatoria senza ex aequo).

    Per fare ciò vuole sapere come il numero S delle squadre che possono essere ammesse dipende dal numero n delle "giornate" di durata del torneo (in una giornata vengono disputati contemporaneamente più incontri, ma ogni squadra disputa al più una partita).

    Stabilite come S varia in funzione di n nei due tipi di torneo.

   14 Se viene scelto il torneo "a classifica" articolato in 10 giornate (e quindi le squadre partecipanti sono 11) quante sono le possibili classifiche finali complete, dal 1° all'11° posto?

[osserva che, in pratica, devi trovare in quanti modi può essere ordinato un insieme di 11 elementi, e ricorda la definizione della funzione fattoriale: ®Modelli matematici per l'economia, p.17]

   16 Nel caso del torneo del quesito 14, quanti sono i modi in cui possono essere vinte le medaglie d'oro, d'argento e di bronzo, cioè quante sono le possibili terne (1ª classificata, 2ª classificata , 3ª classificata) a cui possono dare luogo le 11 squadre partecipanti?

     Il ragionamento è del tutto analogo a quello che abbiamo impiegato per introdurre la funzione fattoriale (®Modelli matematici per l'economia, p.17).

     Ancora più in generale, se ho n oggetti la quantità di sequenze di lunghezza k che posso costruire è:

n·(n–1)·(n–2)·…·(n–k+1)

k fattori

cioè il risultato della moltiplicazione che ha come fattori i primi (in ordine decrescente) k numeri interi positivi minori o uguali a n.

     Tale prodotto viene in genere indicato con Dn,k o con D(n,k) in quanto le sequenze di lunghezza k realizzabili con n oggetti vengono chiamate anche disposizioni di n oggetti k a k: ogni sequenza è interpretabile come uno dei modi in cui posso "disporre" k oggetti scelti tra n.

   17 Puoi indicare in modo più breve D(n,n)?

        I modi in cui posso ordinare n oggetti, cioè le sequenze di lunghezza n che posso realizzare con n oggetti, vengono spesso chiamati anche permutazioni di n oggetti (il nome deriva dal fatto che nel linguaggio comune "permutare" è sinonimo di "riordinare"). Quindi le permutazioni di n oggetti sono n!.

   18 Quante sono le stringhe di lunghezza 4 formate da caratteri diversi che posso realizzare con le 52 lettere (a,b, …, z, A, …, Z) della tastiera?  E quelle realizzabili usando solo le lettere minuscole?

   19 Il torneo del quesito 14 viene svolto con le stesse modalità (11 squadre, torneo a classifica) nelle altre province della regione. Le prime 3 squadre classificate in ciascuna provincia disputano poi un torneo regio-nale. Quanti sono i modi in cui, in una data provincia, si può costituire il terzetto che passa al torneo regio-nale, cioè quanti sono i possibili insiemi di 3 squadre che si possono formare con le 11 squadre parte-cipanti? [prima di provare a rispondere rileggete la nota a p.3 della scheda 1 di Funzioni e equazioni]

     Le possibili terne di squadre (prima, seconda, terza) sono 11·10·9 (®quesito 16).

     I terzetti di squadre che potrebbero passare al torneo regionale sono molto meno.

     Infatti non ci interessa la graduatoria tra le prime 3 squadre: al variare di questa le squadre che passano sono sempre le stesse.

     Lo stesso terzetto di squadre {A,B,C} può essere disposto in 3! diverse graduatorie:

(A,B,C),  (A,C,B),  (B,A,C), (B,C,A),  (C,A,B),  (C,B,A).

     In altre parole uno stesso terzetto è conteggiato 3! volte tra le possibili terne (prima, seconda, terza).

Quindi:  n° dei terzetti = = = 11·5·3 =165

     Più in generale il numero dei sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi è pari al numero delle sequenze di k elementi che posso formare diviso per il numero dei modi in cui posso ordinare queste sequenze, cioè:

=  =  · · … ·

     I sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi vengono chiamati anche combinazioni di n elementi k a k.

     Il numero di tali combinazioni viene indicato  Cn,k  o  C(n,k)  o  .

   20 Una fabbrica produce 10 tipi di cioccolatini e li confeziona in scatole di 32 cioccolatini disposti su 4 file. In  ciascuna fila colloca cioccolatini dello stesso tipo. In quanti diversi assortimenti potrebbe confezio-nare i cioccolatini?

     Due persone giocano a ramino con un mazzo da 54 carte distribuendo 10 carte a testa e ammettendo il "colore" (cioè avere 10 carte tutte dello stesso seme) come condizione di "chiusura".

     Quanti sono gli insiemi di 10 carte di uno stesso seme, ad esempio del seme di cuori?

     Sono  C(13,10) = · · · · · · · · · .    Come mi conviene fare questo calcolo?

     A mano conviene, prima di eseguire operazioni, effettuare eventuali semplificazioni e manipolazioni (il risultato sappiamo che deve essere un numero intero in quanto rappresenta una quantità):

 · · · · · · · · · =  · · = 13·2·11 = 286

     Nel primo passaggio abbiamo semplificato i primi 7 numeri a denominatore con gli ultimi 7 numeri a numeratore, trasformando in pratica C(13,10) in C(13,3).

     Semplificazioni analoghe si possono fare anche in altri casi. Ad esempio C(20,16) può essere trasformato in C(20,4).

     Con una CT dotata del tasto  potrei calcolare immediatamente il prodotto dei numeri a denominatore in quanto è 10!, ma cosa potrei fare per i numeri a numeratore?  Un'idea è la seguente:

13·12·11·10·9·8·7·6·5·4 = =

In definitiva posso calcolare: 13! / 3! / 10!

   21 Quali tasti batteresti per calcolare C(20,16) con una CT di questo genere?

     69 è il massimo numero di cui una CT riesce a calcolare il fattoriale: 70! ha ordine di grandezza superio-re a 100 e quindi richiede 3 cifre di esponente, eccedendo la capacità dei registri della CT. Grafun riesce a calcolare al massimo 142! (i valori di n! calcolati da grafun per n>50 sono approssimati con 4 cifre significative: vedi l'help).

     Un modo alternativo per calcolare C(n,k) è la costruzione del triangolo di Tartaglia (®Funzioni ed equazioni, scheda 2, ques.26). Ad esempio C(5,2) è il valore al posto 2 della riga 5 (k=2, n=5). Per la dimostrazione dell'equivalenza tra questo procedimento e i precedenti vedi il paragrafo Esercizi.

     La branca della matematica che si occupa dei modi in cui si possono formare nuovi oggetti (sequenze, insiemi, …) "combinando" gli elementi di un insieme finito viene chiamata matematica combinatoria (o calcolo combinatorio).

4. Dalla statistica alla probabilità

     Nei giochi e nella "realtà" spesso si hanno da fare scelte di cui non si sanno prevedere esattamente le conseguenze (quale carta conviene scartare? in quale orario conviene partire per incontrare meno traffico in autostrada? …) o, comunque, si hanno da affrontare fenomeni di cui non si sa prevedere esattamente lo sviluppo (l'uscita di un dado, l'evolvere del tempo atmosferico, …).   Abbiamo già incontrato alcune situa-zioni di questo genere nella scheda 3 de Le statistiche e nella scheda Modelli matematici per l'economia.

     In questo e nei prossimi paragrafi affronteremo lo studio degli strumenti matematici che permettono di razionalizzare le interpretazioni dei (e le scelte di fronte ai) fenomeni casuali, cioè di affrontarle ricorrendo alla ragione invece che affidandosi a pregiudizi, a superstizioni o al fato, come spesso accade.

     Prima di proseguire, rileggi le voci de Gli oggetti matematici da distribuzione a campionamento.

     Consideriamo la situazione:

Sette e mezzo è giocato con un mazzo da 40, le figure valgono mezzo punto, le altre carte hanno il valore usuale; alla regina di cuori Q© (matta) il giocatore può assegnare, a piacere, un qualunque punteggio: 1, 2, …, 7 o mezzo punto. Ogni giocatore può chiedere una o più carte. Vince chi ottiene il punteggio più vicino (ma non superiore) a 7 e mezzo.

   Secondo voi, se chiedo carta è più probabile che sballi oppure che non sballi?

     Consideriamo un'altra situazione:

     Per avere un'idea del tipo di studi che fa la sifanstat consideriamo un problema semplice. I letti ma-trimoniali prodotti finora dal mobilificio sono (internamente) lunghi 190 cm, adatti alla sistemazione como-da (tenendo conto dello spazio per il cuscino e per la rimboccatura inferiore) di un uomo alto meno di 183 cm. Utilizzando i dati sulle altezze citati, la sifanstat vuole valutare la probabilità che un potenziale cliente nato nel 1970 trovi i letti matrimoniali troppo corti.

     Sotto abbiamo riprodotto graficamente e parzialmente elaborato i dati citati, registrati nel file altxx.stf (nel directory sta).   Per esaminare i file possiamo ricorrere a un editor o esaminare i dati direttamente con il programma statfile  (attento: la tabella va letta riga per riga, non colonna per colonna).

…                                       …                               …                                       …

     Le frequenze originali erano espresse percentualmente e arrotondate ai decimi (ad es. per l'intervallo [183,184) la frequenza relativa era 2.7%). Poiché statfile richiede che come frequenze siano introdotti numeri interi, i dati, nel file altxx.stf, sono stati riscritti in forma "per mille" (nel caso sopra citato si è introdotto, come frequenza assoluta, il numero 27).

     Analizzando il file otteniamo:

Nota.  Come numero totale dei dati il programma non visualizza 1000; ciò è dovuto al fatto che le frequenze originali erano arrotondate.

Il programma visualizza la scritta «non necessariamente di = ampiezza» per avvisare che, essendo stata scelta l'opzione "rettangoli con basi uguali", anche se gli intervalli registrati nel file avessero diverse ampiezze, il programma li rappresenterebbe con colonne di uguale larghezza (®distribuzione in Gli oggetti matematici).

     In assenza di ulteriori informazioni, la sifanstat assume che la probabilità che l'altezza cada in un dato intervallo coincida con la frequenza relativa di tale intervallo.

     Per es. assume che la probabilità che un cliente nato nel 1970 (ventenne nel 1990) sia alto 183 cm (misura troncata agli interi, cioè altezza in [183,184)) coincida con la frequenza 2.7% di tale altezza.

     Questa ipotesi presuppone, ad esempio, che i clienti non provengano da particolari regioni del paese: se nella regione AA i maschi adulti sono mediamente più alti rispetto all'intero paese, e se i clienti venissero tutti da AA, le valutazioni basate sui nostri dati sarebbero sballate. In altre parole, è come se si ipotizzasse che l'istogramma di distribuzione delle altezze dei clienti nati nel 1970 sia più o meno uguale all'istogramma relativo al totale dei maschi nati in XX in tale anno.

     Dunque, indicando con H l'altezza troncata ai centimetri di un potenziale acquirente nato nel 1970, con h un particolare numero naturale e con Pr(H=h) la probabilità che egli sia alto (troncando agli interi) h cm,  per la sifanstat:

Pr(H=h) = frequenza relativa dell'altezza h cm tra i ventenni nel 1990

     Dobbiamo calcolare  Pr(H=183 or H=184 or H=185 or …).

     Poiché la frequenza dell'unione di più classi disgiunte è, ovviamente, uguale alla somma delle frequenze delle singole classi, possiamo dire che:

Pr(H=183 or H=184 or H=185 or …) = Pr(H=183) + Pr(H=184) + Pr(H=185) + …

     Per determinare questa probabilità, in alternativa avremmo potuto, usando statfile, procedere per tentativi ricorrendo ai percentili:

     Avremmo potuto dedurre che Pr(H<183) è 87% (valore arrotondato).

  Come avremmo poi potuto calcolare Pr(H≥183)?

    A (7e) e B (mobilificio) sono situazioni in cui conosco già completamente la distribuzione delle grandezze considerate (valori delle carte o altezze).

     Ipotizzando che non ci siano motivi per cui debba venire una carta più che un'altra o per cui l'altezza di una persona abbia una qualche influenza sulla sua scelta di acquistare o no un letto presso il nostro mobi-lificio, ho assunto le frequenze relative come valutazioni di probabilità.

     Questa è anche la probabilità di sballare. È minore del 50%. Quindi è più probabile che non sballi.

Nota. Giocando a "7e", e ad altri giochi, non si usa tuttavia solo la probabilità come criterio per decidere le mosse: ad esempio si può bluffare o, se si fanno delle scommesse, l'ammontare dell'eventuale vincita può influire sulla valutazione di che cosa è più conveniente fare.

     Anche nel caso B si sono fatte delle valutazioni probabilistiche riferite a un insieme finito (le altezze di una categoria di persone) di cui si conosceva la distribuzione percentuale.

     Consideriamo ora una situazione diversa.

  Discutete questo problema.

     Per verificare le opinioni emerse nel corso della discussione facciamo un esperimento.

  Ritaglia lo sviluppo del dado riprodotto in fondo alla pagina (dopo aver, eventualmente, fotocopiato la pagina). Poi incolla le linguette e costruisci il dado. Infine (per impedirne l'apertura durante i lanci) applica delle striscette di scotch sugli spigoli indicati, corrispondenti alle linguette. Effettua 100 lanci (tira il dado con una certa forza, in modo che rotoli più volte) registrando le uscite in una tabella.

     Raccogliete i dati registrati da tutti gli alunni in un'unica tabella, calcolatene la distribuzione percentuale e riportatela nella tabella seguente:

     Riprendiamo il problema C.

(1)   C'è chi sostiene che essendo già uscito 6 l'uscita successiva più probabile è di nuovo 6.

(2)   C'è chi sostiene che essendo già uscito 6 l'uscita successiva più probabile non è più 6.

(3)   C'è chi sostiene che ogni lancio fa storia a sé, per cui il fatto che sia già uscito 6 non mi dà alcuna informazione sulla maggior probabilità di un'uscita rispetto a un'altra.

     L'opinione (3) ha qualche fondamento: effettivamente ogni lancio fa storia a sé, cioè la nuova uscita non è influenzata dalla precedente. In particolare se è uscito 6 può, con la stessa probabilità del lancio pre-cedente, uscire nuovamente 6. Quindi l'opinione (2) è errata.

     L'opinione (3) sarebbe corretta anche nella sua conclusione se si sapesse che il dado è equo, cioè che le sue facce hanno tutte la stessa probabilità di uscita.

     Come si fa a stabilire l'equità di un dado?

     Per costruire un dado equo occorre impiegare un materiale omogeneo, dargli forma regolare, … .  Il no-

     In ogni caso non potremo avere una certezza assoluta dell'equità del dado. Anche se il dado è realmente equo, noi, essendo in grado di effettuare solo una quantità finita di prove, non potremo mai concludere che l'istogramma sperimentale tende effettivamente a stabilizzarsi su un insieme di colonne di altezza uguale. Potremo solo valutare la probabilità che ciò accada.

     Ad esempio, se il dado fosse equo, con 1 milione di lanci potremmo concludere che al 99% la probabilità che esca 2 è compresa tra 0.166 e 0.168, con 100 milioni potremmo concludere che al 99% è compresa tra 0.1666 e 0.1668, … , ma non arriveremo mai né alla certezza, né a tutte le cifre di 1/6=0.1.

     Nei prossimi anni studierai concetti che ti permetteranno di esprimere meglio ciò che qui si è descritto con «tende a stabilizzarsi» e a valutare la probabilità degli scarti tra valori teorici e valori sperimentali.

     Anche nel caso delle altezze di una popolazione di persone, quando non si conoscano tutti i dati, si ricorre a uno studio sperimentale della distribuzione analogo a quello visto per il dado: si effettua un campionamento (®Gli oggetti matematici) e si esamina la distribuzione delle altezze del campione. Più il campione è numeroso più l'istogramma si avvicina a (cioè meglio approssima) l'istogramma dell'intera popolazione.

     A differenza della distribuzione delle uscite del dado, il cui l'istogramma "limite" è puramente teorico (i lanci effettuabili sono infiniti, almeno se il dado non si consuma, se …), nel caso delle altezze l'istogram-ma limite corrisponde all'istogramma "sperimentale" che otterrei esaminando l'intera popolazione (esame in via di principio realizzabile in quanto la popolazione è finita).

     Un altro caso di uso di dati sperimentali per valutare delle probabilità è quello in cui si ricorre a dati relativi a come un fenomeno si è realizzato in tempi precedenti per prevedere come esso si realizzerà in un tempo futuro. Consideriamo ad esempio la seguente situazione:

  Rispondi alla domanda posta in D aiutandoti con i diagrammi seguenti (M e F indicano gli insiemi degli studenti con insufficienza in, rispettivamente, matematica e fisica).

     Consideriamo ora una valutazione probabilistica in cui non ha neanche senso porsi il problema di uno studio sperimentale:

  Rispondi alla domanda posta in E.

     E è una situazione diversa dalle precedenti: non abbiamo a che fare con una frequenza, anche se ci si esprime con il linguaggio "delle frequenze" («30 su 100», …).

     Infatti Gigi valuta la probabilità di vittoria in base alle sue valutazioni sullo stato di forma delle due squadre, sulle condizioni di salute dei giocatori, … e in base alle sue speranze.

     Avrebbe senso ricorrere a una valutazione basata sulle frequenze solo se non si disponesse di infor-mazioni sull'andamento del campionato, non ci si basasse sulle proprie aspettative, … e se si avessero a disposizione i risultati degli incontri precedenti tra le due squadre.

5. Che cos'è la probabilità: misure di probabilità, eventi e variabili casuali

     Riprendiamo, in breve, alcuni degli esempi visti.

•   Nella situazione B come probabilità Pr(H=h) ho assunto la frequenza relativa con cui si presenta l'altezza h tra i maschi dell'età considerata. Utilizzando questi valori di probabilità ho calcolato altri valori di probabilità.  Ad esempio:

Pr(H≥183) = Pr(H=183)+Pr(H=184)+Pr(H=185)+…

•   La situazione E, indicando con E l'esito ("1", "2" o "X") della partita, può essere sintetizzata così:

assumendo che Pr(E="1")=30% e che Pr(E="X")=40%,  quanto deve valere Pr(E="2")?

     Poiché  Pr(E="1")+Pr(E="2")+Pr(E="X")=100%, deduco che:

Pr(E="2")=100%–Pr(E="1")–Pr(E="X")=100%–30% – 40% = 30%

•   Nel caso del lancio di un dado, ritenere il dado equo significa supporre che l'uscita U abbia uguale pro-babilità di essere 1, 2, … o 6: Pr(U=1)=Pr(U=2)=…=Pr(U=6).    Sia p il valore di questa probabilità.

     Poiché  Pr(U=1)+Pr(U=2)+…+Pr(U=6)=100%=1,  ho  p+p+…+p=6p=1, da cui p=1/6.

     Cioè:  Pr(U=1)=Pr(U=2)=…=Pr(U=6)=1/6

     Per trovare la probabilità che l'uscita sia pari faccio:

Pr(U è pari) = Pr(U=2)+Pr(U=4)+Pr(U=6)= + + =  =  .

     Nelle prime due situazioni ho associato ad alcuni eventi A un numero compreso tra 0 e 1 (=100%) come Pr(A) (probabilità di A).  Nella terza situazione ho fissato delle condizioni sulla funzione A Pr(A): ho supposto che Pr(U=1)=Pr(U=2)=….

     In tutti e tre i casi ho poi dedotto le probabilità relative ad altri eventi applicando a Pr alcune delle proprietà che si erano già usate per le frequenze percentuali.

     Rivediamo più sistematicamente queste proprietà.

Esempio:  Pr(H≥183) = Pr(not H<183) = 100% – Pr(H<183)

Esempio:  Pr(U è pari) = Pr(U=2 or U=4 or U=6)= Pr(U=2)+Pr(U=4)+Pr(U=6)

     Quest'ultima proprietà è nota come proprietà additiva.

•   Nel caso D, per valutare Pr(SÎM or SÎF) (probabilità che uno studente S sia tra gli studenti insuffi-cienti in matematica o tra gli studenti insufficienti in fisica), non ho potuto usare la proprietà additiva poiché si può essere insufficienti in entrambe le materie. Ho fatto:

Pr(SÎM or SÎF) = Pr(SÎM) + Pr(SÎF) – Pr(SÎM and SÎF)

     Più in generale, quando si è di fronte a valutazione del tipo Pr(evento1 or evento2) con evento1 e evento2 non incompatibili, si usa la proprietà:

     A seconda di come si scelgono le valutazioni iniziali, per la stessa situazione si possono ottenere diverse misure di probabilità.

     Ad es. nel caso E (partita Roma-Torino) se Gigi avesse dato la vittoria della Roma al 35% e il pareggio al 50%, invece della misura di probabilità:     "1"  30%          "X"  40%                                                               "2"  30%

avremmo avuto quest'altra:                             "1"  35%          "X"  50%         "2"  15%

     Le valutazioni iniziali possono essere dedotte dall'esperienza o da considerazioni di tipo fisico o da propri convincimenti o … .

     Devono comunque essere tali da non condurre a contraddizioni: a partire da esse, applicando ripetutamente le proprietà elencate, non posso ottenere due valutazioni diverse per uno stesso evento, non posso ottenere probabilità negative o superiori al 100%, …

     Ad esempio (situazione E) non si può stimare che la Roma vincerà al 40% (Pr(E="1")=0.4) e che pareggerà al 70% (Pr(E="X")=0.7), poiché avremmo Pr(E="2")=1–(0.4+0.7)=–0.1 invece di un valore maggiore o uguale a 0.

  Dopo aver specificato che cos'è una misura di probabilità, dobbiamo precisare meglio che cosa sono gli eventi.

     Sono di fronte a un fenomeno, ad esempio il lancio di un dado, determinato da molti fattori,

•alcuni dei quali (la forma del dado, il peso del dado, …) riesco a valutarli, cioè li so individuare, ho gli strumenti per misurarli, non è troppo dispendioso rilevarli, …,

•altri no (l'impulso che dò al dado, la presenza di correnti d'aria, …).

     Questi ultimi fattori, per convenzione, li chiamo casuali.  È una scelta soggettiva, che dipende dallo stato di conoscenze, dal tempo e dalle risorse che voglio dedicare all'analisi del problema, … : disponendo di strumenti sofisticati potrei misurare l'impulso che dò al dado, valutare la presenza di correnti d'aria, ….

     Chiamo fenomeno (o esperimento) casuale un fenomeno di cui considero casuali alcuni fattori. Chia-mo condizioni l'insieme dei fattori che riesco a valutare. Dunque, a parità di condizioni, il fenomeno può realizzarsi diversamente; in altre parole, più prove dell'esperimento possono dar luogo a risultati diversi.

     Chiamo deterministico un fenomeno che non dipende da fattori casuali.

     Ad esempio la misura della lunghezza di un tavolo troncata ai centimetri è un fenomeno deterministico: ogni volta che ripeto la misura ottengo sempre lo stesso valore.

     Invece una misura di tempo troncata ai centesimi di secondo effettuata manualmente con un orologio di-gitale (®quesito 32 della scheda 3 de Le statistiche) è un fenomeno casuale: il valore che ottengo dipende anche dai tempi di reazione della persona, che sono casuali (variano da momento a momento in relazione alla attenzione, alla stanchezza, …).

     Nel caso della situazione B, il fenomeno casuale è l'altezza del potenziale cliente nato nel 1970 che visita il mobilificio, la condizione è l'età del cliente, i fattori casuali sono moltissimi, per es. le esigenze di arredamento, le possibilità economiche, … dei vari abitanti del paese XX.

     Nel caso del lancio di un dado le condizioni, come già osservato, sono le caratteristiche fisiche del da-do, il fatto che il dado cada sulla tavola, …, i fattori casuali sono l'altezza da cui lancio il dado, la posizione del dado nella mia mano, l'impulso che gli dò, la rugosità e l'inclinazione della superficie della tavola, la presenza di correnti d'aria, … .

     In entrambi i casi i fattori "casuali" potrebbero essere teoricamente ridotti o eliminati: nel primo caso potrei conoscere, ad esempio attraverso delle interviste telefoniche, le caratteristiche fisiche e anagrafiche delle famiglie del paese XX che intendono rinnovare l'arredamento; nel secondo caso potrei misurare l'altezza da cui lancio il dado, l'impulso del lancio, …

     Anche nel caso della situazione A potrei ridurre i fattori casuali: basterebbe aver dato una "sbirciata" alle carte degli altri giocatori (in modo da restringere l'insieme della carte "possibili") o addirittura alla prima carta del mazzo: in questo caso lo sballare o no diventerebbe un fenomeno deterministico.

     Un evento è un fatto che riguarda un fenomeno casuale; ogni volta che, a parità di condizioni, il fenomeno si realizza, l'evento può verificarsi o no.  Ad esempio:

–   nel contesto del lancio di un dado, un evento può essere "esce la faccia del dado con 4 pallini";

–   nel contesto del "mobilificio" un esempio di evento è "arriva un cliente alto 181 cm";

–   nel contesto del lancio di una coppia di dadi possiamo considerare come evento "escono due facce contenenti complessivamente 8 pallini".

     Passando al modello matematico, rappresentiamo il fenomeno casuale individuando uno o più og-getti matematici che rappresentino le grandezze o gli aspetti attraverso cui si manifesta il fenomeno:

–   nel caso dell'arrivo del cliente ci interessa rappresentare la sua altezza, e possiamo farlo considerando il numero che ne è la misura in una fissata unità;

–   nel caso del lancio di una coppia di dadi possiamo considerare i due numeri che indicano le quantità dei pallini che compaiono sulle due facce che escono.

     Questi oggetti matematici li indichiamo con delle lettere o dei nomi, così come si fa per le variabili nelle formule che descrivono fenomeni deterministici, e per questo vengono chiamati variabili casuali.

     Si è già usata questa notazione negli esempi visti:

–   C (a valori in {1/2,1,2,…,7}) per indicare il valore della nuova carta,

–   H (a valori negli interi positivi) per indicare l'altezza del potenziale cliente nato nel 1970,

–   U (a valori in {1,2,…,6}) per indicare l'uscita del dado lanciato,

–   E (a valori in {"1","2","X"}) per indicare l'esito della partita,

–   …

     Dall'evento come fatto che riguarda il fenomeno, nel modello matematico si passa all'evento come condizione in cui compaiono variabili casuali riferite al fenomeno in questione:

                 H≤183                E="1"orE="X"              SÎM or SÎF            U= 6

  Descrivi matematicamente l'evento che lanciando due particolari dadi esca (complessivamente) 7 utilizzando le variabili casuali U1 e U2 per indicare le uscite dei singoli dadi.

          Descrivi poi, analogamente, l'evento che l'uscita del lancio dei due dadi sia pari.

10. Esercizi

Completa la seguente dimostrazione che la divisibilità per 3 di un numero intero equivale alla divisibilità per 3 della somma delle sue cifre, svolta, per semplicità, solo per il caso particolare in cui il numero abbia 4 cifre.

(1)   Sia N il numero considerato. Siano A, B, C e D le sue cifre (da sinistra verso destra), cioè sia N=A·1000+B·100+C·10+D;

(2)   Abbiamo:  N–(A+B+C+D) = A·1000+B·100+C·10+D–(A+B+C+D) = A·999+…

       che è un numero divisibile per 3

(3)   Se P–Q è divisibile per 3, P e Q devono essere o entrambi divisibili per 3 o nessuno dei due divisibile per 3. Infatti:

–     se Q fosse divisibile per 3, anche P, poiché sarebbe la somma di due numeri divisibili per 3 (infatti P=(P–Q)+Q), sarebbe divisibile per 3;

–     se P fosse divisibile per 3 …

In vari libri medioevali si trovano "problemi del travaso" simili al seguente: «Un oste dispone solo di due mestoli "misuratori", uno da 1/4 di litro, l'altro da 1/5 di litro. Può, mediante uno o più travasi eseguiti mediante i mestoli, trasferire 3/10 di litro dalla botte in un altro recipiente?»

Per definire il fattoriale senza ricorrere ai puntini "…", a p.17 di Modelli matematici per l'economia abbiamo fatto ricorso a un programma. In alternativa possiamo utilizzare una definizione ricorsiva. Come?

Considera le successioni così definite:

              x(0)=A,  x(n+1)=                   y(0)=A,  y(n+1)=

     Utilizzando la CT, calcola un po' di elementi delle successioni che si ottengono assegnando ad A i valori seguenti: 4, 2, 100, 0.25. Che cosa puoi congetturare dalle uscite che ottieni?

Tra le seguenti definizioni di una successione x(.), ve ne sono di equivalenti?

«quante coppie di conigli verranno prodotte in N mesi a partire da un'unica coppia se ogni mese ogni coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese di vita?». 

    Q(N) rappresenta la quantità di coppie presenti dopo N mesi.

    Completa l'elenco dei termini della successione fino a Q(10).

3 ragazze e 2 ragazzi si siedono al cinema in 5 posti consecutivi della stessa fila.               

In quanti modi possono occupare i posti, tenendo conto che ogni femmina vuole avere a fianco almeno un maschio (e viceversa)?

Un ristorante propone un menu turistico a prezzo fisso composto da un primo, a scelta tra 3, un secondo a scelta tra 4, due "varie" (bevande o dolce) a scelta tra 5. Quanti pasti diversi si possono scegliere?

Proviamo che (come annunciato a p.8) con la costruzione del triangolo di Tartaglia si può calcolare C(n,k):

 • Il triangolo è costruito mettendo degli "1" sui lati obliqui; gli elementi su tali lati corrispondono ai valori di C(n,0) e di C(n,n). Dimostra, utilizzando la definizione del concetto di combinazione («sottoinsieme di k …»), che effettivamente C(n,0)=1 e C(n,n)=1.

 • La costruzione degli elementi interni del triangolo corrisponde alla equaz. C(n+1,k+1)= C(n,k)+ C(n,k+1). Dimostra tale eguaglianza usando l'espressione per calcolare le combinazioni introdotta a p.7.

Sapendo che Pr(H<183)=87% e che Pr(H<170)=25% (situazione B a p.9), calcola Pr(170≤H<183).

Considera il dado non equo del quesito 42. Sia U la sua uscita. Calcola nel modo più semplice Pr(UÎ{1,3,4,5,6}). Calcola Pr("U è pari" or "U è un multiplo di 3").

Faccio il seguente esperimento: lancio una moneta ripetutamente fino a che esce testa e annoto la quantità N di lanci che ho effettuato. Quali sono i valori che può assumere la variabile casuale N? Calcola Pr(N>1).

Al gioco del Lotto sono 6 mesi che non esce 67 sulla ruota di Genova mentre 67 è uscito ieri sulla ruota di Napoli. Voglio giocare il 67 su una delle due ruote. Quale mi conviene scegliere?

 Lancio tre volte un dado equo. Qual è la probabilità di ottenere sempre la stessa faccia? Qual è la probabilità di ottenere almeno due volte la stessa faccia?

 Il 20% dei clienti dell'agenzia turistica Viaggi nell'anno X ha trascorso le vacanze all'estero. Di questi il 27% si è recato in Francia e il 33% in Spagna. Nell'anno X+1 la agenzia vuole valutare, ipotizzando che queste percentuali si mantengano, la probabilità che un cliente si rechi in vanaza in Francia. Calcola questa probabilità. In base a queste informazione sei in grado di calcolare la probabilità che un cliente non si rechi né in Francia né in Spagna?

Spesso si ritengono "strani" (e si attribuiscono a magie, miracoli, presenze extraterrestri, …) fenomeni che sono solo poco probabili o, a volte, non sono neanche poco probabili.  Illustriamo ciò con un esempio:

«Qual è la probabilità che in una classe di 25 alunni almeno 2 siano nati nello stesso giorno dell'anno?»

Rispondi (supponi per semplificare i calcoli che non ci siano alunni nati in anni bisestili) usando la traccia:

–  la probabilità che gli alunni siano nati in giorni tutti diversi è Q=364/365·…·341/365=43%, infatti:

–  deduci da ciò la probabilità richiesta dal quesito.

Una commissione comunale è costituita da 8 persone, 4 della maggioranza e 4 della minoranza. Il presi-dente della commissione (appartenente alla maggioranza) estrae a caso (usando dei bigliettini) i 3 membri che dovranno far parte di una commissione di concorso. I tre sorteggiati appartengono tutti alla maggio-ranza. I membri della minoranza sospettano un broglio. Tu cosa ne pensi? (Calcola la probabilità che un sorteggio non truccato dia un esito di questo tipo).

Una quantità Q, inizialmente pari al valore H, che decresca seguendo una relazione del tipo Q=H·(1/2)n, dove n è il tempo trascorso espresso in una opportuna unità di misura T, è detta a decrescita esponenziale [®p.5]. Per n=1, cioè trascorso un intervallo di tempo T, Q si dimezza; per questo T è detto emivita (dal greco emi ="mezzo"). Una sostanza di un particolare farmaco è eliminata dall'organismo riducendosi se-condo una legge di questo genere con emivita di 30 ore. Dopo quanto tempo la sostanza all'interno dell'or-ganismo si riduce a 1/4? Dopo quanto a 1/16?

     Verifica tale coincidenza per alcuni valori di n con Derive o con Grafun. Per avere la certezza della equivalenza tra F(n) e Q(n) verifica che F(0)=F(1)=1, F(n+2)=F(n+1)+F(n), "a mano" e con Derive.

Tra il software MaCoSa, nel directory STA, trovi il programma sperim.bas che generalizza il programma considerato a p.23. Esso contiene il sottoprogramma prova(v) in cui puoi simulare l'evento di cui vuoi valutare la probabilità e assegnare alla variabile V il valore 1 se l'evento si verifica, il valore 0 altrimenti. Ad es., per simulare l'uscita di due denari alzando due volte un mazzo da 40 (ques. 44) posso codificare con 0, 1, 2 e 3 i semi, e con 0 denari, e rappresentare l'evento con questo sottoprogramma:

seme1 = FIX(RND*4): valore1 = FIX(RND*10)+1

seme2 = FIX(RND*4): valore2 = FIX(RND*10)+1

IF seme1 = 0 AND seme2 = 0 THEN V = 1 ELSE V = 0

  Evidentemente valore1 e valore2 non entrano in gioco: il test (IF …) è fatto su seme1 e seme2; del resto mi interessa solo il seme, non il valore delle carte. Quindi posso usare più smplicemente:

seme1 = FIX(RND*4): seme2 = FIX(RND*4)

IF seme1 = 0 AND seme2 = 0 THEN V = 1 ELSE V = 0

    Utilizza il programma per studiare questo evento e confronta il risultato sperimentale con quello teorico.

Per studiare con sperim.bas (vedi ques. 75) il caso della doppia estrazione (vedi ques. 44) occorre tener conto della prima carta estratta. Si potrebbe procedere così:

seme1 = FIX(RND*4): valore1 = FIX(RND*10)+1

seme2 = FIX(RND*4): valore2 = FIX(RND*10)+1

WHILE seme1 = seme2 AND valore1 = valore2

  seme2 = FIX(RND*4): valore2 = FIX(RND*10)+1

WEND

IF seme1 = 0 AND seme2 = 0 THEN V = 1 ELSE V = 0

    Motiva questa scelta, studia sperimentalmente il caso della doppia estrazione e confronta il risultato che ottieni con quello teorico.

    Modifica il sottoprogramma usando l'istruzione LOOP (vedi l'Help), che consente una stesura più breve, anche se equivalente dal punto di vista del tempo di calcolo.

Provate (non è facilissimo) a studiare sperimentalmente e teoricamente la probabilità di avere poker (4 carte dello stesso valore tra le 5 che si sono ricevute) all'inizio di una mano di poker, giocata con 32 carte.

     [suggerimento per lo studio sperimentale: per far sì che nella simulazione le 5 carte ricevute siano tra loro diverse, nel sottoprogramma prova - vedi ques. 75 - dichiarare con DIM carta(3,8) una variabile carta a 2 indici, con l'idea di porre carta(i,j)=1 se esce la carta di seme i e valore j, e, man mano che si estraggono le 5 carte, se viene gererata la carta di seme i e valore j, controllare se carta(i,j) è già 1 e, in tal caso, rigenerare la carta; alla fine del sottoprogramma porre ERASE carta).

- Anticipare alcune delle considerazioni geometriche
presenti nella vecchia scheda Matem.Tra Gioco e Realta'
- rivedere es. 41
- rivedere contenuto e collocazione delle parti sulla
conservazione della pendenza e delle distanze
- mettere qualche considerazione storica legata all'uso
della suddivisione del cerchio in 360 parti
- mettere nella guida il discorso di ripresa di concetti
geometrici gia' introdotti in schede precedenti, o in classi
precedenti (retta, angolo, triangolo, ...)
- mettere domanda su relazione tra le pendenze nel caso di parallelismo
e perependicolarita'
- aumentare gli intrecci con "Automazione 4" e con l'"uso" del computer
- spezzare §8 in due parti (una sulle curve, una sui triangoli)
- rimpolpare l'eserciziario
- spezzare in due la scheda