La matematica tra gioco e realtà
Strategie, regole, scelte, fenomeni casuali, e matematica
0. Introduzione
1. Giochi algebrici e geometrici
2. Successioni e definizioni per ricorsione
3. Calcolo combinatorio
4. Dalla statistica alla probabilità
5. Esercizi
Sintesi
0. Introduzione
In molti giochi e in molti sport è presente più o meno
esplicitamente la matematica; la matematica interviene quasi sempre nella
descrizione delle regole del gioco, nelle determinazione dei punteggi,
;
spesso si ricorre a conoscenze matematiche per scegliere mosse, strategie,
La matematica che
interviene è la stessa che si impiega anche per affrontare situazioni
"reali": per descrivere fenomeni, per valutare grandezze, per
risolvere problemi,
. Del resto i giochi non sono tutti immaginari:
molti hanno forti analogie con situazioni reali o riproducono in piccolo
fenomeni reali.
Fate e discutete esempi di giochi con le
diverse caratteristiche sopra indicate.
La matematica ha un ruolo fondamentale anche nella realizzazione dei videogiochi:
la simulazione sia di giochi tradizionali (solitari con le carte, filetto, puzzle, scacchi,
) che di nuovi giochi o sport o situazioni "serie" (sci,
calcio, giochi d'avventura, guida di automobile, guida di aereo,
)
richiede la traduzione di figure, movimenti, comportamenti,
in termini
algebrici e numerici "comprensibili" al calcolatore.
In questa scheda affronteremo questa problematica rivedendo e ampliando l'uso di strumenti
matematici già incontrati e introducendo nuovi concetti matematici.
1. Giochi algebrici e geometrici
Il calcolo letterale, oltre che per rappresentare mediante equazioni, sistemi, fenomeni reali, può essere usato anche per inventare o affrontare giochi. Nel quesito e2 della scheda Algebra elementare è illustrato e spiegato il "trucco" per avere successo in un gioco del tipo "indovino il numero che hai pensato".
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Spiega la strategia per aver successo nel gioco
«pensa tre numeri naturali consecutivi, fanne il prodotto e aggiungi il
numero centrale; dimmi quanto ottieni e ti so dire quali sono i tre
numeri». [traccia: • indica con x il numero centrale; • indica con h il risultato fornito dalla persona che ha pensato i numeri (prodotto dei tre numeri aumentato del numero centrale); • esprimi h in funzione di x tenendo conto che il primo e il terzo numero sono x−1 e x+1: h= • risolvi questa equazione rispetto a x (e, poi, calcola x−1 e x+1)] |
Vediamo, ora, un gioco in cui si indovinano due numeri.
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Andrea dice a Marco: «scegli due numeri
naturali uno divisibile esattamente per l'altro, dimmi il quoziente e la
differenza tra i due numeri, ti dirò quali numeri hai pensato».
Andrea trova i numeri in questo modo (dove con Q e D abbiamo indicato il
quoziente e la differenza): − divide D per Q−1 ottenendo il più piccolo dei due numeri pensati − moltiplicando tale numero per Q ottiene l'altro numero pensato. (1) Verifica con qualche prova che il trucco funziona. (2) Per spiegare perché il trucco funziona, avendo indicato con A e B i due numeri e tradotto i calcoli fatti da Marco nel sistema seguente: A/B = Q AND A−B = D |
Alcuni giochi si basano non sulla risoluzione di equazioni o sistemi, ma su dimostrazioni di proprietà dei numeri naturali. Consideriamo ad esempio il gioco seguente.
Gianni
dice a Carla:
«Metti di nascosto un numero dispari di monete in una
mano e un numero pari di monete nell'altra;
moltiplica per 2 il numero di monete che hai nella mano sinistra e per 3 il numero di quelle
che hai nella mano destra; somma tra loro i due numeri trovati.
Se mi dici quanto hai ottenuto io indovino in quale mano hai il numero dispari di
monete e in quale mano hai il numero pari.»
Gianni
"indovina" con questo trucco:
il numero nella mano
destra è della stessa "parità" (pari o dispari) del numero finale ottenuto da Carla.
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• Verifica con qualche prova che il trucco funziona. • Completa in modo che siano vere le seguenti proposizioni (se possibile con "qualunque", altrimenti con "pari" o con "dispari"): |
(a) se moltiplico per 2 un numero naturale
...
ottengo un numero pari
(b) se moltiplico per 3 un numero naturale
...
ottengo un numero pari
(c) se moltiplico per 3 un numero naturale
...
ottengo un numero dispari
(d) se sommo un numero pari e un numero
...
ottengo un numero dispari
(e) se sommo un numero pari e un numero
...
ottengo un numero pari
Nelle rubriche di enigmistica spesso sono proposti anche giochi di tipo geometrico. Vediamone uno.
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Disegna un triangolo i cui lati passino per i punti indicati a lato in modo che ogni
punto sia equidistante dai vertici del lato su cui si trova.
Traccia. Per individuare un procedimento con cui costruire il triangolo conviene ragionare a "ritroso": partire da un triangolo ABC qualsiasi e tracciare tre punti X, Y e Z in modo che tra questo triangolo e i punti valgano le condizioni richieste (i lati siano tagliati a metà dai tre punti, cioè questi siano i loro punti medi); trovare una relazione che associ ai tre punti il triangolo, utilizzabile poi per costruire un analogo triangolo a partire da tre altri punti qualunque (e, quindi, anche dai punti assegnati dall'esercizio). |
2. Successioni e definizioni per ricorsione
In un cosiddetto "test di intelligenza" si trova la seguente domanda:
«Questi sono i primi sei numeri di una successione di numeri generati con una certa regola. Metti al posto dei puntini i numeri mancanti»
1 2 8 16
Per gli autori del test la risposta è: 1 2 4 8 16 32, cioè la "regola" sarebbe:
(1) scrivi 1 | (2) scrivi il doppio del numero precedente | (3) vai a (2) |
Se indico gli elementi
della successione con la variabile indiciata
Con un'applicazione informatica posso procedere in vari modi. Ad esempio, per mettere in
x<- vector(length=10); x[1]<- 1; for(n in 1:9) x[n+1]<- x[n]*2
da cui con print(x) ottengo:
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512.
Anche fuori da un linguaggio di programmazione, posso descrivere sinteticamente la successione così:
x(1)=1 AND x(n+1) = x(n)·2 (n intero positivo) |
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x(1)=1, x(n+1)=x(n)·2 |
dove la seconda e la terza espressione sono "abbreviazioni convenzionali" in cui l'utente deve capire il ruolo che, in questo caso, hanno la parentesi "{" o la virgola "," e deve sottointenedere che n è una variabile che varia sugli interi positivi. Molto spesso si usa far variare gli indici della successione a partire da 0 invece che da 1, ossia sull'insieme dei numeri naturali.
| Scrivi i primi 10 elementi della successione: y(1)=1, y(2)=2, y(3)=3, y(n+3)=y(n)·8 (n intero positivo) |
Quest'esercizio fa capire che non c'è un'unica regola per generare una successione che sia un completamento di: 1 2 8 16 , anzi se ne possono inventare infinite. Molto "intelligente" il test forse non è!
La prima successione (1, 2, 4, 8, 16, 32, ) può essere descritta più sinteticamente mediante un'unica formula: x(n) = 2n−1 (20=1, 21=2, 22=4, ). Ciò non accade, invece, per la seconda successione.
Consideriamo il
seguente problema:
«In
un certo allevamento di animali il numero dei capi ogni anno aumenta mediamente
di metà. Si vuole studiare l'aumento del numero di capi al passare del
tempo (escludendo che si vendano o eliminino capi)».
Per matematizzare il problema indichiamo con:
− H il numero iniziale di capi,
− n il numero d'ordine dell'anno
− P(n) la popolazione (cioè il numero dei capi) nell'anno n-esimo.
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Completa il sistema seguente in modo che sia un modello matematico del nostro problema. P(1) = AND P(n+1) = P(n)·(1 + /100) |
Ovviamente questo modello matematico non rappresenta fedelmente la realtà: suppone che ogni anno l'aumento sia esattamente del 50% e che le condizioni dell'allevamento si mantengano inalterate senza limitazioni di tempo (non vi siano epidemie, non vi sia esaurimento delle risorse alimentari, ).
Alcuni
batteri in particolari condizioni si riproducono aumentando del 100%
(cioè raddoppiando) ogni T minuti (con T numero fissato).
Se indichiamo con H il
numero iniziale di batteri, con n il
numero degli intervalli di tempo di ampiezza T trascorsi
(quindi n=1 dopo T minuti, n=2 dopo T·2 minuti,
)
e con
P(0) =
AND P(n+1) = P(n)·2.
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Invece del sistema precedente avremmo potuto utilizzare la formula:
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Riferendoti all'allevamento considerato in
precedenza, completa la seguente formula in modo che sia equivalente al sistema
che hai completato nel quesito 6.
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Le funzioni del tipo x → ax (con a > 0)
vengono dette esponenziali.
Quindi
Per questo, una popolazione P che, all'aumentare del numero n
di anni (o altri intervalli di tempo) trascorsi,
cresca seguendo più o meno una relazione del tipo
Le funzioni a input in N (o in N*, i numeri
naturali escluso lo 0, o nell'insieme dei numeri naturali maggiori di un certo numero fissato),
che sono rappresentabili, come abbiamo
visto, mediante variabili indiciate,
vengono chiamate anche successioni (come anche noi abbiamo già fatto più
volte). Abbiamo visto che si
possono definire funzioni di questo tipo oltre che mediante equazioni (
x(1) = 1, x(n+1) = x(n)·2 z(0) = 1, z(n+1) = z(n)+2 P(0) = H, P(n+1) = P(n)·2
Definizioni di quest'ultimo genere vengono chiamate definizioni per ricorsione o definizioni ricorsive.
La parola ricorsione deriva dal fatto che questi sistemi contengono, oltre
a equazioni (come
Come abbiamo visto (successione del quesito 5) non tutte le successioni definibili per ricorsione sono definibili anche mediante una sola equazione.
3. Calcolo combinatorio
Abbiamo visto nella scheda
Modelli Matematici per l'Economia il concetto di fattoriale.
Volendo
scegliere l'ordine con cui passare per 4 diverse località ho
4 possibilità per la località "1", ho poi 3 possibilità per la
località "2", 2 altre possibilità per la
località "3", e, infine, ho 1 sola
possibilità per la "4". Le 4 località posso
raggiungerle in 4·3·2·1 (= 24) percorsi diversi.
Questo numero viene indicato con 4!.
Analogamente posso disporre 5 commensali
attorno a un tavolo in 5! = 5·4·3·2·1 (= 120) modi, le
classifiche possibili tra 8 concorrenti sono 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 (= 40 320),
.
La funzione che a n, numero naturale, associa la quantità
Quindi: 1! = 1, 2! = 2·1 = 2, 3! =
3·2·1 = 6, 4! = 4·3·2·1 = 24
Poiché nel caso di un insieme
costituito da 0 oggetti, cioè nel caso dell'insieme vuoto,
l'unica sequenza realizzabile è la sequenza vuota, pongo anche
0! = 1.
La funzione fattoriale può essere definita ricorsivamente così:
0! = 1, (n+1)! = n!·(n+1).
I modi in cui posso ordinare n oggetti, cioè le sequenze di lunghezza n che posso realizzare con n oggetti, vengono spesso chiamati anche permutazioni di n oggetti (il nome deriva dal fatto che nel linguaggio comune "permutare" è sinonimo di "riordinare"). Quindi le permutazioni di n oggetti sono n!.
| Una società sportiva organizza un torneo provinciale di pallavolo; prevede 10 squadre partecipanti. Sceglie un torneo "a classifica" (ogni squadra sostiene un incontro con ciascuna delle altre squadre e sulla base degli esiti degli incontri, dei punteggi, … viene stabilita una graduatoria senza ex aequo), articolato in 9 giornate. Quante sono le possibili classifiche finali complete, dal 1° al 10° posto? |
| Nel caso del torneo del quesito precedente, quanti sono i modi in cui possono essere vinte le medaglie d'oro, d'argento e di bronzo, cioè quante sono le possibili terne (1ª classificata, 2ª classificata , 3ª classificata) a cui possono dare luogo le 10 squadre partecipanti? |
Più in generale, con n oggetti posso costruire
n·(n1)·(n2)
sequenze di lunghezza 3: infatti ho n possibilità
per la scelta del 1° oggetto, |
| |||||||||||
Ancora più in generale, se ho n oggetti la quantità di sequenze di lunghezza k che posso costruire è: | ||||||||||||
n · (n1) · (n2) ·
· (nk+1) k fattori |
Tale prodotto viene in genere indicato con
Dn,k o con D(n,k).
Viene usata la lettera "D" in quanto le sequenze di lunghezza k
realizzabili con n oggetti vengono chiamate anche disposizioni
di n oggetti k a k: ogni sequenza è
interpretabile come uno dei modi in cui posso "disporre" k
oggetti scelti tra n. Tenendo conto che c'è solo la sequenza vuota costituita da 0 elementi,
si pone
| Quanto vale D(n,n)? |
| Quante stringhe di lunghezza 4 formate da caratteri diversi posso realizzare con le 52 lettere {a, b,..., z, A,..., Z} di una tastiera? E quelle realizzabili usando sole le lettere maiuscole? |
In un torneo a 11 di un particolare sport le prime 3 squadre classificate passano
l'anno dopo al torneo regionale. Le possibili terne
In altre parole tra le possibili terne (1a, 2a, 3a) ogni terzetto di squadre è
conteggiato 3! volte. Quindi il numero dei terzetti è:
n° totale delle terne 11·10·9 = = 11·5·3 = 165 n° terne costituibili con un terzetto 3·2·1 |
Più in generale il numero dei sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi è pari al numero delle sequenze di k elementi che posso formare diviso per il numero dei modi in cui posso ordinare queste sequenze, cioè:
n° sequenze di k elementi n·(n-1)· ·(n-k+1) = n° permutazioni di una sequenza k·(k-1)· ·1 |
n n-1 n-k+1 = ·· · k k-1 1 |
[il rapporto tra il prodotto dei primi k numeri interi positivi a scalare da n e il prodotto di quelli a scalare da k]
I sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi vengono chiamati anche combinazioni di n elementi k a k. | |||||
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|
| Una fabbrica produce 10 tipi di cioccolatini e li confeziona in scatole di 32 cioccolatini disposti su 4 file. In ciascuna fila colloca cioccolatini dello stesso tipo; in file diverse colloca cioccolatini di tipi diversi. In quanti diversi assortimenti di gusto potrebbe confezionare i cioccolatini? |
Quanti sono gli insiemi di 10 carte che si possono fare con le 13 carte di picche?
(cioè, a ramino, quanti sono i modi di fare colore di picche?)
È il numero degli insiemi di 10 elementi che si possono fare con 13 elementi, cioè
13/10·12/9·11/8·10/7·9/6·8/5·7/4·6/3·5/2·4/1;
posso fare un po' di semplificazioni: "/10" e "·10" si annullano, e così "/9" e "·9", "/8" e "·8", , "/4" e "·4", per cui alla fine rimane:
13·12·11/3/2/1 (=13·2·11 = 286), che equivale a C(13,3).
La cosa non deve stupire: scegliere 10 carte tra 13 equivale a sceglierne 3 da scartare:
Con la CT e con vari programmi si possono calcolare i fattoriali e i coefficienti
binomiali, ma solo entro certi limiti. Ad esempio con R, attraverso le funzioni
factorial e choose, si possono calcolare al massimo 170! e
Ho 6 oggetti, chiamiamoli A, B, C, D, E e F. Voglio fare una confezione contenente alcuni di questi oggetti. In quanti modi posso farla? Potrei fare una confezione vuota. Potrei fare una confezione contenente solamente A o solamente B o . Oppure una confezione contenente A e B o A e C o . O potrei fare una confezione che li contiene tutti. Quante sono le possibili confezioni? Una strategia per trovare quante sono è la seguente:
per ognuno dei 6 elementi ho 2 possibilità: lo metto nella confezione o non ce lo metto:
| | | | | | |
2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | quindi in tutto ho 26 possibilità. |
Più in generale i possibili sottoinsiemi di un insieme di n elementi sono 2n.
Quante sequenze costituite da 3 cifre decimali posso scrivere? Ho 10 possibiltà per la prima cifra, poi 10 per la seconda e, infine, 10 per la terza. Le possibilità sono dunque 10·10·10 = 103 = 1000; del resto i numeri, da 000 a 999, sono 1000. Quante sono le possibili coppie di uscite che si possono ottenere lanciando due dadi? 6 possibilità per il primo dado, 6 per il secondo; in tutto 6·6 = 62. Quante sequenze di carte da un mazzo da 40 posso ottenere con 3 alzate? 40·40·40 = 403. Più in generale:
| | | | ||
n | n | n | n | le possibili sequenze di k simboli tratti da un alfabeto di n elementi sono n·n·n· ·n = nk. | |
Queste sequenze vengono spesso chiamate anche disposizioni con ripetizione di n elementi k a k, in quanto, rispetto alle disposizioni, ammettono la possibilità di utilizzare lo stesso elemento più volte nella stessa sequenza (in "999" il "9" compare tre volte). |
| Quanti sono e quali sono i sottoinsiemi di {1, 2, 3, 4}? |
La branca della matematica che si occupa dei modi in cui si possono formare nuovi oggetti (sequenze, insiemi,
) "combinando" gli elementi di un insieme finito viene chiamata matematica combinatoria (o calcolo combinatorio).
4. Dalla statistica alla probabilità
Nei giochi e nella realtà spesso si hanno da fare scelte di cui non si sanno prevedere esattamente le conseguenze (quale carta conviene scartare? in quale orario conviene partire per incontrare meno traffico in autostrada? …) o, comunque, si hanno da affrontare fenomeni di cui non si sa prevedere esattamente lo sviluppo (l'uscita di un dado, l'evolvere del tempo atmosferico, …). Abbiamo già incontrato alcune situazioni di questo genere nella scheda 3 de Le statistiche e nella scheda Modelli matematici per l'economia. In una prossima scheda affronteremo lo studio degli strumenti matematici che permettono di razionalizzare le interpretazioni dei (e le scelte di fronte ai) fenomeni casuali, cioè di affrontarle ricorrendo alla ragione invece che affidandosi a pregiudizi, a superstizioni o al fato, come spesso accade.
Prima di proseguire rileggi le voci degli Oggetti Matematici da distribuzione a campionamento.
Consideriamo la situazione:
(A)
Sto giocando a sette e mezzo e sono il primo
di mano. Ho
Sette e mezzo è giocato con un mazzo da 40,
le figure valgono mezzo punto, le altre carte hanno il valore usuale; alla regina di cuori
| Secondo voi, se chiedo carta è più probabile che sballi oppure che non sballi? |
Consideriamo ora una situazione diversa.
(B) Un amico mi dà un dado. Lo lancio. Esce 6. Posso ritenere che, se lo rilancio, l'uscita più probabile sia un altro 6?
| Discutete questo problema. |
Per verificare le opinioni emerse nel corso della discussione facciamo un esperimento.
|
Ritaglia lo sviluppo del dado a cui puoi accedere cliccando
qui, e che vedi riprodotto in piccolo a lato.
Poi incolla le linguette e costruisci il dado. Infine
(per impedirne l'apertura durante i lanci) applica delle striscette di scotch
sugli spigoli indicati, corrispondenti alle linguette. Effettua almeno una trentina di lanci (tira
il dado con una certa forza, in modo che rotoli più volte) registrando
le uscite in una tabella. Raccogliete i dati registrati da tutti gli alunni in un'unica tabella, calcolatene la distribuzione percentuale e riportate i valori nella tabella seguente. Costruite, quindi, il relativo istogramma e discutete quanto ottenuto. |
U = 1 | U = 2 | U = 3 | U = 4 | U = 5 | U = 6 | |||||||||||||
freq. assoluta |
| |||||||||||||||||
freq. relativa |
Abbiamo indicato con U l'uscita del dado; quindi sotto a "U=1" scrivete la frequenza con cui si verifica l'eventualità che l'uscita sia 1, sotto a "U=2" scrivete |
5. Esercizi
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Tre fratellini dormono nella loro stanza. Durante la notte uno di loro si sveglia,
si alza e sul tavolo della cucina trova un vassoio di cioccolatini, ne mangia
un terzo e torna a dormire. Poco dopo si sveglia un altro fratello che, andato
in cucina e visti i cioccolatini rimasti, ne mangia un terzo e ritorna a letto.
Anche il terzo fratello si sveglia e si comporta come gli altri due: mangia un
terzo dei cioccolatini che ha trovato in cucina. Al mattino nel vassoio vi sono
8 cioccolatini. Quanti ve n'erano la sera prima? Prova a risolvere l'indovinello e, poi, confronta la strategia che hai impiegato con quelle usate dai tuoi compagni. |
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In vari libri medioevali si trovano "problemi del
travaso" simili al seguente: «Un oste dispone solo di due mestoli
"misuratori", uno da 1/4 di litro, l'altro da 1/5 di litro.
Può, mediante uno o più travasi eseguiti mediante i mestoli,
trasferire 3/10 di litro dalla botte in un altro recipiente?» Ai nostri giorni affrontiamo il problema così: − indichiamo con M e N la quantità di travasi eseguiti, rispettivamente, con il 1° e con il 2° mestolo, conteggiando positivamente i travasi dalla botte al recipiente e negativamente quelli in senso opposto (ad esempio M=3 e − il quesito si traduce nella questione se l'equazione 1/4·M+1/5·N=3/10 ha soluzioni, cioè se esistono coppie Il problema ha soluzioni? [per rispondere trasforma l'equazione in un'altra più "comoda" da esaminare] In caso negativo motiva la risposta, in caso affermativo esplicita una soluzione e stabilisci se ce ne sono altre. |
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Alberto vuole misurare l'altezza di un palo.
Si pone davanti ad esso in modo che la sua ombra e quella del palo finiscano nello stesso punto P del terreno.
Alberto misura la lunghezza della propria ombra (circa 2 m), poi quella del palo (circa 8 m) e conclude che il palo è alto circa 7 m.
• Qual è la strategia impiegata da Alberto? • Quale altro dato ha utilizzato per ottenere la altezza del palo? • Qual è il valore di questo dato? • Questo metodo vale sia nel caso che la luce provenga dal sole che in quello in cui sia prodotta da un lampione? |
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Luigi per conoscere l'altezza di un muro procede così: − pone uno specchio per terra tra sé e il muro e arretra fino a che vede riflessa nello specchio la sommità del muro; − sa che i propri occhi sono all'altezza di circa 170 cm da terra, che lo specchio è a circa 120 cm dal muro e che lui dista dallo specchio circa 70 cm; − utilizzando queste informazioni riesce a stimare l'altezza del muro. Come ha fatto? Quanto è alto il muro? |
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Considera le successioni così definite: x(0) = A, x(n+1) = √x(n) y(0) = 1, y(n+1) = (y(n) + A/y(n)) / 2 Usando una calcolatrice, calcola un po' di elementi delle successioni che si ottengono assegnando ad A i valori seguenti: 4, 2, 100, 0.25. Che cosa puoi congetturare dalle uscite che ottieni? |
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Per realizzare con il Lego una scaletta alta 5 mattoncini nel modo raffigurato a
lato devo impiegare 5+4+3+2+1= 15 mattoncini. Indichiamo con |
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La successione consì definita: Q(1)=1, Q(2)=1, Q(N+2)=Q(N)+Q(N+1) illustrata a fianco nota come successione di Fibonacci è stata presentata nel "Liber abaci" da Leonardo Pisano (vissuto a cavallo del 1200 e noto come Fibonacci) come modello matematico del seguente "problema dei conigli": |
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«quante coppie di conigli verranno
prodotte in N mesi a partire da un'unica coppia se ogni mese ogni coppia
dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal
secondo mese di vita?». Q(N) rappresenta la quantità di coppie presenti dopo N mesi. Completa l'elenco dei termini della successione fino a |
| 3 ragazze e 2 ragazzi si siedono al cinema in 5 posti consecutivi della stessa fila. In quanti modi possono occupare i posti, tenendo conto che ogni femmina vuole avere a fianco almeno un maschio (e viceversa)? |
| Disponendo di stoffe di 8 colori differenti quante bandiere tricolori a bande verticali (di dimensioni uguali e colori tutti e tre diversi) puoi realizzare? |
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Un ristorante propone un menu turistico a prezzo fisso composto da un primo, a scelta tra 3, un secondo,
a scelta tra 4, una "varia" (bevande o dolce), a scelta tra 5.
Tra quanti pasti diversi si può scegliere? A un prezzo di poco superiore è prevista la possibilità di prendere, a piacere, un'ulteriore varia. Tra quanti pasti si può scegliere con questo prezzo? |
1) Segna con l'evidenziatore, nelle parti della scheda indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei seguenti termini: funz. esponenziale (§2), successione (§2), disposizioni (§3), combinazioni (§3), matematica combinatoria (§3). 2) Su un foglio da "quadernone", nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato. 3) Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefono") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso"). |