La matematica e lo spazio

I modelli geometrici

Scheda 1

Traslazioni, vettori e distanze

0.   Introduzione

1.   Il piano cartesiano

2.   Traslazioni e vettori

3.   Distanza euclidea e distanza urbanistica

4.   Formule e figure geometriche

5.   Geometria e realtà

6.   Esercizi

0. Introduzione

     Generalizziamo le considerazioni svolte nella prima scheda dell'u.d. Per strada. Non ci riferiremo più a carte stradali, a posizioni in una città, a movimenti lungo una strada, … ma a superfici generiche, a punti, a linee generate da un punto in movimento, …

     In altre parole vogliamo considerare uno spazio astratto, considerare definizioni e proprietà svincolate da particolari situazioni, … .

     Ciò avrà un duplice vantaggio.

     Da una parte, potremo ragionare più liberamente, ad esempio senza tener conto dei problemi di approssimazione, non preoccupandoci del fatto che le strade possono non essere perfettamente piane, trascurando la presenza di piccole asperità, …

     Dall'altra, le proprietà studiate potranno essere applicate a molte altre situazioni, non solo alle cartine stradali.

1. Il piano cartesiano

     Per ora vogliamo considerare solo posizioni, movimenti, … che avvengono su superfici piane. Ma che vuol dire superficie piana? Quando usiamo questo termine abbiamo in mente dei prototipi, come la parte superiore di un tavolo, una piazza piatta e con il fondo liscio, la parete di un muro, la superficie di uno stagno, … .

     E` questo il modo in cui impariamo il significato di gran parte delle parole che usiamo.

     Provate a cercare su un dizionario il significato di piano, piatto, … .

Troverete delle spiegazioni insoddisfacenti o che rimandano l'una all'altra, oltre, appunto, a qualche esempio chiarificatore, che funge da prototipo. Un dizionario non può definire tutto, ma si deve servire di un certo numero di parole il cui significato viene assunto come conosciuto dall'utente.

     Consideriamo ad esempio un particolare dizionario della lingua inglese. Alla fine del dizionario è riportato come "The defining vocabulary" un elenco di circa 2000 parole conoscendo le quali è possibile comprendere le spiegazioni dei significati di tutte le altre.

   Se ad esempio cerchiamo prune troviamo «dried plum».

   Cerchiamo dried e troviamo «past participle of dry».

   Il significato di participle, di past e di of non è descritto esaurientemente dal dizionario (ci sono dei "giri di parole" e degli esempi); infatti si tratta di parole che fanno parte del "defining vocabulary" (sono nodi finali nel grafo a fianco). I loro corrispondenti italiani sono participio, passato e di.

   Per il verbo dry troviamo «make dry».

   Il verbo make e l'aggettivo dry fanno parte del "defining vocabulary". I loro corrispondenti italiani sono il verbo fare (rendere, …)  e l'aggettivo secco.

   Per  plum  troviamo  «red,  blue-red  or  yellow  fruit  with  a

stone in it». Le parole presenti in questa definizione fanno tutte parte del "defining vocabulary". La traduzione è «frutto rosso, blu-rosso o giallo con dentro un nocciolo».

   Hai capito il significato di prune? Come tradurresti in italiano prune?

     Per definire il nostro generico spazio piano in modo non ambiguo abbandoniamo il dizionario e utilizziamo i numeri, oggetti matematici di cui, ormai, abbiamo precisato in modo abbastanza chiaro il significato.

     Abbiamo già considerato la retta dei numeri come modello matematico delle traiettorie rettilinee (di cui abbiamo come prototipi i raggi di luce, la traiettoria di un sasso lasciato cadere da una certa altezza, un filo teso, …): un punto, cioè una posizione della traiettoria, viene identificato con un numero reale (®scheda 2 de I numeri).

     Ora possiamo definire come modello matematico delle superfici piane l'insieme delle coppie (x,y) di numeri reali, che chiameremo piano numerico o, più semplicemente piano.  L'idea è abbastanza naturale: non è altro che una generalizzazione dell'uso delle coordinate nelle carte geografiche.

     Come alla retta numerica abbiamo associato l'idea intuitiva di una scala graduata su cui si possono tracciare tacche man mano più fitte, così al piano numerico associamo l'idea intuitiva di un reticolato su cui, con lenti man mano più potenti, si possono andare a scoprire quadrettature di lato man mano più piccolo.

     Nella figura 1 sono raffigurate localizzazioni man mano più precise del punto (x,y) con x=2.8763… e y=1.1635… . Con lenti opportunamente potenti possiamo conoscere quante cifre vogliamo di x e di y.

 

A

figura 1

B 

C

     Rappresentando graficamente dati relativi a fenomeni di vario genere (®figura 2, dove un punto (x,y) del grafico rappresenta il fatto che "nell'anno x il record in vigore era y centimetri":®scheda 2 di Le stati-stiche), spesso a divisioni orizzontali e verticali uguali vengono associati intervalli numerici di diversa ampiezza, cioè la scala orizzontale e quella verticale vengono scelte differentemente.

     Invece, quando su un foglio di carta millimetrata o  quadrettata si vogliono rappresentare semplicemente delle figure geometriche (punti che rappresentano solo posizioni, linee o altri insiemi di punti che non rappresentano relazioni tra grandezze ma solo traiettorie o altre parti di spazio) la graduazione orizzontale e quella verticale vengono scandite con la stessa "unità di misura": in figura 1 l'intervallo [0,1] è rappresentato da divisioni uguali sia sulle rette graduate verticali che sulle rette graduate orizzontali.

figura 2

     La retta graduata orizzontale di ordinata 0 viene chiamata asse x.

     La retta graduata verticale di ascissa 0 viene chiamata asse y.

     Il punto (0,0), che sta all'incrocio di queste due rette, viene chiamato origine.

     A volte il piano numerico viene chiamato piano cartesiano, a ricordo di Cartesio, matematico e filosofo francese vissuto nel XVII secolo che inventò l'uso delle coordinate per dare una descrizione matematica del concetto di spazio.

     La retta e il piano vengono chiamati anche, rispettivamente, spazio a 1 dimensione (un punto è individuato da un numero reale, cioè da una coordinata) e spazio a 2 dimensioni (un punto è individuato da due numeri reali, cioè da due coordinate).

     Se, invece, vogliamo considerare posizioni e movimenti che non stanno su una traiettoria rettilinea o su una superficie piana (ad esempio il volo di un aereo) dobbiamo ricorrere a tre coordinate. Ad esempio per indicare la posizione in cui si trova un sommergibile o un aereo possiamo usare due numeri x e y per individuare la posizione sulla superficie del mare e un numero z per individuare la profondità o l'altitudine.  Lo spazio tridimensionale è l'insieme delle terne (x,y,z) di numeri reali.

  A fianco è raffigurata una porzione di superfi-cie marina su cui è stato fissato un sistema di ri-ferimento x,y. I numeri associati agli assi rap-presentano centinaia di metri. La nave chiara raffigurata ha coordinate x=4, y=2 (dista 400 m dalla linea assunta come asse y e 200 m dalla linea assunta come asse x).

       Viene usata anche una retta graduata verticale  per  rappresentare livelli diversi dal livello del mare: asse z. Ad esem-pio il sommergibile raf-

 

 

mezzo

x

y

z

 

nave chiara

4

2

 

sommergibile

4

2

–5

 

aeroplano

 

nave scura

 

 

 

figurato, che sta esattamente sotto alla nave chiara, ha, come questa, x=4 e y=2; ha poi z=–5 (500 m sotto il li-vello marino). 

     Completa la tabella a fianco.

2. Traslazioni e vettori

     Nel seguito spesso useremo la seguente convenzione.

     Se nel corso di un ragionamento indichiamo un punto con P, con P1, con P2, , allora indichiamo le sue coordinate rispettivamente con x,y, con x1,y1, con x2,y2, …

     Se invece indichiamo un punto con una lettera diversa, ad esempio con A, con B, , allora indichiamo le sue coordinate con xA,yA, con xB,yB, .

     Consideriamo i cambiamenti di posizione.

figura 3

     Spostandosi da A a B e da C a D (®figura 3) si compie lo stesso cambiamento di posizione. Intuitivamente possiamo descrivere ciò dicendo che le due frecce da A a B e da C a D hanno la stessa direzione e la stessa lunghezza.

     In fisica la freccia che rappresenta il cambiamento di posizione per andare da A a B viene chiamata spostamento e viene indicata con

[Nota. In qualche libro di fisica invece di direzione si parla di direzione orientata e si usa la parola direzione come sinonimo della parola inclinazione. In particolare di due spostamenti che hanno direzioni opposte, come

 

     Ma che cos'è una freccia?

     Per ricondurci a concetti matematici possiamo rappresentare gli spostamenti, invece che parlando di frecce, riferendoci alle coordinate dei punti di partenza e di arrivo.

     Lo spostamento da A a B può essere descritto indicando la variazione orizzontale  xB-xA, che indicheremo anche con ∆x, e la variazione verticale  yB-yA, che indicheremo anche ∆y [®fig.4,(a)].

[∆x sta per "differenza delle x"; infatti ∆ è la lettera greca "delta" maiuscola, che si legge come la lettera italiana D]

     Nel caso (a) di figura 4 abbiamo ∆x>0 e ∆y>0: spostandosi da A a B aumentano sia la ascissa che l'ordinata. Nel caso (b) abbiamo ∆x>0 e ∆y<0: spostandosi da P a Q aumenta la ascissa ma diminuisce l'ordinata.

   Quanto valgono ∆x e ∆y nel caso (c)?

figura 4             

     Possiamo descrivere il cambiamento di posizione che fa variare la coordinata orizzontale di ∆x e la coordinata verticale di ∆y come una funzione che dato un punto (x,y) gli associa il punto (x+∆x,y+∆y).

     Nel caso (a) di fig. 4 abbiamo applicato la funzione:   (x,y)  (x+8,y+4). Dal punto A=(1,3) si passa al punto B=(1+8,3+4) = (9,7).

     Anche nel caso della figura 3 abbiamo applicato al punto C la stessa funzione: C=(4,1)  D= (4+8,1+4)=(12,5).

     Nel caso (c) di fig. 4 abbiamo invece applicato la funzione:  (x,y)  (x-8,y-4). Rispetto alla prece-dente, questa funzione rappresenta il cambiamento di posizione opposto: (9,7) viene riportato in (1,3).

     Queste funzioni vengono dette traslazioni (dal latino translatio, che significa "trasporto", "trasferi-mento"). Più in generale, dati due numeri h e k, viene detta traslazione di passi h,k la funzione che associa al punto (x,y) il punto (x+h,y+k).

     I passi di una traslazione non sono altro che le variazioni ∆x (passo "orizzontale") e ∆y (passo "verticale") delle coordinate tra i punti in input e i punti in output.

     La traslazione che porta da un punto A a un punto B ha passi: x=xB-xA, y=yB-yA. La coppia (∆x,∆y) viene indicata più brevemente con

figura 5

   In figura 5 sono raffigurati il punto A, il punto C e l'origine O e i punti che si ottengono da essi con la traslazione di passi 8,4:

A=(2,3)  B=(2+8,3+4)=(10,7),  C=(4,-2)  D=(4+8,-2+4)=(12,2), O=(0,0)  Q=(0+8,0+4)=(8,4).

   I vettori

 

[La parola vettore nel linguaggio comune significa "portatore" (ad esempio la persona che effettua la consegna di una merce viene chiamata "il vettore", il razzo impiegato per mettere in orbita un satellite artificiale viene chiamato "raz-

zo vettore", …); deriva dal verbo latino vehere, che significa "portare" (dallo stesso verbo derivano: vettura, veicolo, …). E` evidente il motivo per cui è stato scelto questo nome per i passi delle traslazioni]

     Se v è il vettore (h,k), indicheremo con Tv o con  Th,k la traslazione di passi h,k, che chiameremo anche traslazione determinata da v o traslazione di vettore v.   Indicheremo con Tv(x,y) il traslato del punto

(x,y), cioè il punto (x+h,y+k).

     I numeri h e k vengono chiamati le componenti di v. Il nome deriva dal fatto che Tv può essere vista come il frutto della composizione di una traslazione orizzontale di passo h e una traslazione verticale di passo k, o, viceversa, di una traslazione verticale di passo k e una traslazione orizzontale di passo h.

figura 6

         In figura 6 è rappresentato un punto P e i punti che si ottengono da esso applicando prima la traslazione T8,4 (punto Q) e poi la traslazione T3,-6 (punto R).

    Qual è la traslazione che porta da P a R? Che relazione c'è tra i suoi passi e quelli delle altre due traslazioni?

 

     Come avevamo già visto nella scheda 1 di Per Strada (®quesito 19(b), quesito 22), la traslazione complessiva ha come ∆x la somma dei ∆x delle traslazioni successivamente applicate e come ∆y la somma dei loro ∆y.

     Nel caso di fig. 6 la composizione di T8,4 e T3,-6 è la traslazione determinata dal vettore (8+3,4+–6)=(11,–2).  Per rappresentare (8+3,4+–6) in forma più compatta si usa scrivere:  (8,4)+(3,–6).  Quindi possiamo scrivere:

     Cioè si definisce come addizione tra vettori la funzione che a due vettori v1=(h1,k1) e v2=(h2,k2)

associa il vettore (h1+h2,k1+k2), che viene indicato v1+v2 e chiamato somma di v1 e v2.

     Possiamo, perciò, dire che la traslazione frutto della composizione di due traslazioni è determinata dal vettore che è la somma dei vettori delle due traslazioni successivamente applicate.

     Sommare vettori (h1,k1), (h2,k2), … si traduce nel fare la addi-zione delle componenti h1, h2, … e l'addizione delle componenti k1, k2, … . Poiché queste addizioni possono essere riordinate senza

cambiare risultato, possiamo concludere che cambiando l'ordine con cui sommiamo più vettori il vettore risultante rimane immutato.

   A fianco sono raffigurati tre vettori a, b e c e l'esito della loro successiva appli-cazione, cioè dell'applica-zione di a+b+c, al punto A.  Si ottiene il punto B.

        A conferma di quanto osservato sopra, anche l'ap-plicazione di c+a+b sposta A in B.

        Verifica che pure c+b+a e b+a+c spostano A in B.

     Data la traslazione Th,k, la traslazione T-h,-k viene detta sua traslazione opposta. Se v è il vettore (h,k), il vettore (-h,-k) viene indicato con -v e viene chiamato vettore opposto di v.

     Ad esempio, i vettori rappresentati in fig.4-(a) [vettore (8,4)] e fig.4-(c) [vettore (–8,–4)] sono l'uno

l'opposto dell'altro: = .

   Completa la figura a fianco, cioè trova qual è la traslazione che occorre far seguire alla traslazione di vettore (10,5) per ottenere complessivamente la traslazione di vettore (6,9). In altre parole, trova che cosa occorre mettere al posto di "?" in v+?=u

 

     Il vettore w del quesito precedente rappresenta quanto occorre aggiungere a v per ottenere u. In analogia al caso dei numeri (vedi figura a fianco), si dice che w è il vettore differenza tra v e u. Si scrive anche w=uv (u "meno" v).  Le sue componenti sono la diffe-

renza delle componenti di v e u.  Se u=(h1,k1) e v=(h2,k2),  allora uv=(h1-h2,k1-k2).

3. Distanza euclidea e distanza urbanistica.

     Generalizzando il concetto di distanza in linea d'aria visto nella scheda 1 dell'u.d. Per strada definiamo distanza euclidea tra due punti P1 e P2 il numero:

   (3.1)                                    d(P1,P2) = =

   Calcola (e arrotonda a 7 cifre) la distanza euclidea tra i punti P e R della figura 6.

         d(P,R) =

     L'aggettivo euclidea deriva dal nome (Euclide) del matematico dell'antica Grecia (vissuto nel III secolo a.C.) a cui è dovuto il primo trattato organico di geometria astratta. In realtà ai tempi di Euclide non era ancora stato inventato l'uso delle coordinate e, quindi, lui non esprimeva la distanza come in (3.1).

     L'aggettivo è stato aggiunto poiché oltre a questa distanza ne possono essere definite altre.

     Se vogliamo considerare un modello matematico per studiare le situazioni in cui ci si può muovere solo  in verticale e in orizzontale, come nel caso di Otto Bus (®scheda 1 di Per strada), quando va a piedi dalla

fermata dell'autobus a scuola,  cioè in cui, se A e B sono le posizioni a fianco raffigurate, non ci sono percorsi più brevi per andare da A a B di 1, 2 o 3 o di traiettorie simili, possiamo definire:

                (3.2)              d(P1,P2) = |∆x|+|∆y| = |x2-x1|+|y2-y1|

     Nel caso raffigurato abbiamo:  d(A,B)=|xB-xA|+|yB-yA|= 8+4 = 12

     La distanza definita dalla relazione (3.2) viene chiamata distanza urbanistica. Il nome deriva dal fatto che essa rappresenta la distanza tra due incroci in una città in cui le strade sono tutte disposte orizzon-talmente o verticalmente.

     I due programmi seguenti calcolano, rispettivamente, la distanza euclidea e la distanza urbanistica tra due punti del piano. Al loro fianco sono riprodotti degli esempi d'uso.

 

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

' Calcolo della distanza euclidea tra due punti

10 PRINT

INPUT ; "x1,y1"; x1,y1 : INPUT "      x2,y2"; x2,y2

dx=x2-x1 : dy=y2-y1 : distanza=SQR(dx*dx+dy*dy)

PRINT "d(P1,P2)="; distanza

GOTO 10

 

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

' Calcolo della distanza urbanistica tra due punti

10 PRINT

INPUT ; "x1,y1"; x1,y1 : INPUT "      x2,y2"; x2,y2

dx=x2-x1 : dy=y2-y1 : distanza=ABS(dx)+ABS(dy)

PRINT "d(P1,P2)="; distanza

GOTO 10

   Un particolare robot si può muovere solo in due direzioni perpendicolari e nelle direzioni opposte. Rappresentiamo il pavimento con il sistema di riferimento a fianco, in cui l'asse orizzontale e l'asse verticale rappresentano le direzioni in cui il robot si può muovere e l'origine rappresenta il punto in cui è collocato inizialmente il robot. Con il lato di un quadretto rappresentiamo 1 m.

         Per valutare la strada che il robot deve percorre per spostar-si da una posizione a un'altra possiamo impiegare la distanza urbanistica.

         Sono già stati raffigurati quattro tra i punti più lontani che il robot può raggiungere percorrendo 10 m. Come sono disposti gli altri punti che (con la distanza urbanistica) distano 10 m dall'origine?

 

     Per il robot del quesito 8 tutti i punti del segmento ST raffi-gurato a fianco (in un ingrandimento della figura di sopra) hanno uguale distanza dal punto O.

     Per un robot che invece possa muoversi in ogni direzione sem-bra che il punto A=(5,5) sia più vicino a O di ogni altro punto di ST. Proviamo a dimostrare questa "congettura" usando (3.1): per questo robot, infatti, possiamo usare la distanza euclidea.

      Sia P un generico punto di ST, ottenuto traslando A di x metri a destra e x metri in basso. Calcoliamo e confrontiamo d(O,P) e d(O,A).

                  d(O,A)= = =

                  d(O,P)= =

     Per confrontare con il termine  ci conviene sviluppare (®termini equivalenti in Gli oggetti matematici) (x+5)2 e (x–5)2.  Vediamo più in generale come si sviluppa (a+b)2 usando un'appli-cazione in grado di svolgere calcoli simbolici (®scheda 3 di La automazione). Sotto lo sviluppo è stato eseguito con Derive; il comando azionato è Sviluppa (Expand nella versione inglese) dal menu Semplifica. (nella finestra di dialogo che compare appaiono diverse opzioni; qualunque sia la scelta, in quetso caso si ottiene lo stesso sviluppo).

     Abbiamo, dunque:  .

   Per giustificare "fisicamente" l'equivalenza (a+b)2=a2+2ab+b2 osserva la figura a fianco e completa quanto segue.

  

     Vediamo, ora, come questa trasformazione può essere ottenuta attraverso regole di riscrittura più elementari:

(1)   (a+b)2 sta per (a+b)(a+b).

(2)   Per sviluppare questo termine devo applicare più volte la distribuzione della moltiplicazione rispetto alla addizione in modo da eliminare le parentesi:

(a+b)·(a+b)    =    (a+b)·a+(a+b)·b    =    aa+ba+(a+b)·b    =    aa+ba+ab+bb

                                  

(3)   Raggruppo i prodotti:  aa+ba+ab+bb  =  a2+ab+ab+b2       [®Gli oggetti matematici]

(4)   Raggruppo la somma:  a2+ab+ab+b2  =  a2+2ab+b2

Applica la riscrittura   (a+b)2=a2+2ab+b2  a  (x+5)2 (a=x, b=5)  e a  (x+5)2 (a=x, b=–5):

      (x+5)2 = …                                                   (x–5)2 = (x+5)2 =

     Dunque (riprendendo la dimostrazione sospesa alla fine della pagina precedente):

d(O,P)= = = =

2x2+50 è sicuramente maggiore o uguale a 50 (perché?), quindi:

d(O,P)= = d(O,A)

     In conclusione, (secondo la distanza euclidea) A è effettivamente più vicino a O di ogni altro punto del segmento ST.

     Abbiamo visto che, per un robot che possa muoversi solo orizzontalmente e verticalmente, i punti che "distano" 10 m sono disposti nel modo raffigurato a fianco. Per un robot che, invece, possa muoversi in tutte le direzioni, solo i 4 punti posti sugli assi "distano" 10; gli altri hanno distanza inferiore.

     Vediamo, dunque, quali sono per il secondo robot i punti che distano 10, cioè calcoliamo le coordinate dei punti più lontani in cui si può arrivare partendo dall'o-rigine e percorrendo 10 m.

     Se P=(x,y) è il punto di arrivo, poiché l'origine O ha coordinate (0,0), la condizione che deve essere verificata è:  d(P,O)=10. Poiché per il secondo robot la distanza è quella euclidea, abbiamo:

d(P,O) = = =

     Un punto P che disti 10 dall'origine ha, dunque, come coordinate i numeri x e y che rendono vera la seguente equazione:         = 10

     La radice quadrata di x2+y2 è 10 quando x2+y2 è 100. Quindi la precedente equazione equivale a:

                                 (3.3)                               x2+y2 = 100

     In figura 8 sono già stati tracciati alcuni punti (x,y) che verificano questa equazione. Vediamo come sono stati calcolati. Iniziamo con i punti di ascissa 3.

     Si è preso x=3 e si sono cercati i valori da dare a y affinché l'equazione (3.3) diventi vera. Cioè si è risolta rispetto a y l'equazione 32+y2 = 100.   Vediamo come si è proceduto.

         L'idea è cercare di trasformare

       (3.4)         32+y2 = 100

in una o più equazioni del tipo y=… che ci permettano di calcolare il valore di y.

     Calcolo 32 e riordino la somma:

       (3.5)         y2+9 = 100

     Per ridurre il membro a sinistra a y2 applico "9" a entrambi i membri dell'equazione e ottengo:

       (3.6)         y2 = 100–9,   cioè:    y2 = 91

     Una soluzione è:

       (3.7)         y = = 9.539392…

     Ma 9.539392… ha lo stesso quadrato di 9.539392; quindi c'è anche la soluzione:

figura 8

       (3.8)         y = = 9.539392…

     In questo modo abbiamo trovato i punti (3,9.539392…) e (3,-9.539392…)

Segna con un circoletto questi due punti sulla figura 8.

     In figura 8 sono già tracciati i punti:

         (0,1)         (1,0)         (0,-1)         (-1,0)        (3,9.53…)       (3,-9.53…)

Osservando la figura, completa le coordinate degli altri punti tracciati (cerca di stimare anche la cifra di posto -1, cioè la cifra dei decimi).

         (   ,3)          (    ,3)          (-3,    )        (-3,    )       (    ,-3)          (    ,-3)

     Dopo aver trovato che l'equazione  x2+y2 = 100  è verificata per x=3 e y=9.539392… potevamo concludere subito che è verificata anche per x=3 e y=-9.539392,  per x=-3 e y=9.539392…,  per x=-3 e y=-9.539392.  Infatti cambiando segno a un numero il suo quadrato non cambia.

     Inoltre il valore di  x2+y2  non si modifica se scambio i valori di x e di y.  Quindi potevo concludere che l'equazione è verificata anche per x=9.539392… e y=3,  per x=9.539392… e y=-3,  per x=-9.539392… e y=3,  per x=-9.539392… e y=-3.

Risolvendo rispetto a x l'equazione  x2+62 = 100  trova i punti di ordinata 6 che distano 10 dall'origine e tracciali in figura 8.  Dalla conoscenza di questi punti puoi dedurre le coordinate di altri punti che distano 10 dall'origine?   A che figura ti sembra che dia luogo l'insieme di tutti i punti che distano 10 dall'origine?

     Invece che risolvere le singole equazioni 32+y2 = 100, x2+92 = 100, x2+62 = 100, … possiamo risolvere rispetto a y l'equazione x2+y2 = 100 lasciando x variabile, in modo da esprimere y in funzione di x. In questo modo potremo trovare facilmente per ogni x il corrispondente y.

     Invece di fare il calcolo a mano ricorriamo al computer, ad esempio usando Derive.

     Scelto Crea, introduco l'equazione.

     Poi, con Risolvi-Algebricamente, comando la risoluzione di tale equazione, specificando che intendo risolverla rispetto alla variabile y.

     Si ottengono due soluzioni: y=e  y=.

     Poi, per trovare i valori di y corrispondenti, per esempio, a x=6 posso, evidenziata la riga 2, azionare Sostituisci-Variabili da Semplifica e, nella finestra di dialogo, specificare il modo in cui voglio eventualmente modificare ciascuna variabile.  Se batto 6 come valore da rimpiazzare a x ottengo la riga #4 sopra riportata.

     Azionando Semplifica-Base ottengo y=8 e y=–8 (Derive ha semplificato l'espressione eseguendo i calcoli con numeri interi che non richiedono approssimazioni: 62=36, 100–36=64, =8).

     Se avessi operato la sostituzione x=7 avrei ottenuto y=; per avere una approssimazione del valore di y avrei dovuto azionare Semplifica-Approssima, ottenendo y=7.14142…

4. Formule e figure geometriche

     Nel seguito, a meno di indicazioni contrarie, quando parleremo di distanza intenderemo sempre la distanza euclidea.

figura 10

     Nel quesito 13 abbiamo visto che l'insieme dei punti che distano 10 dall'origine assume la forma di un cerchio. In effetti, presi un punto C del piano e un numero positivo r,  il cerchio di centro C e raggio r viene definito come l'insieme dei punti che distano r da C.

     Abbiamo poi osservato che la figura ottenuta può essere descritta come l'insieme dei punti (x,y) che rendono vera l'equazione x2+y2 = 100.

     Invece di scrivere l'insieme degli a tali che sia vera la condizione G si possono usare le abbreviazioni:

{ a t.c. G }  o  { a : G }  o  { a / G }.

     Quindi il cerchio centrato nell'origine e di raggio 10 può essere descritto come:

{ (x,y) : x2+y2 = 100 }

Traccia in figura 10 l'insieme di punti descrivibile come { (x,y) : x2+y2 = 25 }.

     Il procedimento con cui abbiamo tracciato i punti del cerchio in figura 8 può essere eseguito automatica-mente usando grafun (o un'altra applicazione che consenta di tracciare grafici di funzioni).  Basta far tracciare i grafici di  y=e di  y=–.

     In figura 11 è riprodotto lo stato dello schermo dopo il tracciamento di una prima serie di punti del grafi-co di y=. Tracciando altri punti si arriva a ottenere una sequenza di pixel attaccati, senza "buchi".

     Tracciando anche il grafico di y=–si può arrivare allo stato dello schermo riprodotto in figura 12.

     Si noti che, poiché la parte dello schermo che è stata riservata ai grafici ha forma quadrata, per ottenere una rappresentazione monometrica (®sistema monometrico, in Gli oggetti matematici) abbiamo scelto gli intervalli [x1,x2] e [y1,y2] di uguale ampiezza (sono entrambi ampi 40). Come si vede, si sono ottenute divisioni orizzontali e verticali uguali (in modo che la reticolatura ha assunto la forma di una quadrettatura) e sia alle divisioni orizzontali che a quelle verticali sono stati associati intervalli numerici di ampiezza 5.

figura

11

figura

12

 

     Come intervallo [a,b] non si è preso tutto [x1,x2], cioè [–20,20], ma solo [–10,10]. Infatti se x cadesse fuori da questo intervallo il termine risulterebbe indefinito. Ad es. per x=11 si dovrebbe calcolare la radice quadrata di 100-121, cioè di -21, che non è definita. Comunque GRAFUN avrebbe visualizzato il messaggio "fuori dominio" (ricordiamo che dominio è un sinonimo di insieme di definizione).

     Nel quesito 8 abbiamo visto che l'insieme dei punti che distano 10 dall'origine secondo la distanza urbani-stica ha la forma di un quadrato.

     La distanza urbanistica di (x,y) da O è |x|+|y|. Non è altro che la somma dei valori assoluti delle componenti del vettore

figura

13

{ (x,y) : |x|+|y|=10 }

     Se non avessimo scelto un sistema monometrico avremmo potuto ottenere, per il nostro cerchio e il nostro quadrato, le rappresentazioni seguenti:

       

     L'aspetto non è più quello di un "cerchio" o di un "quadrato": se misuriamo "fisicamente" le distanze con un righello, i punti della figura a sinistra non hanno la stessa distanza dal punto (0,0) e le due diagonali della seconda figura non hanno la stessa lunghezza. Ma dal punto di vista "matematico", riferendosi al piano cartesiano e alla distanza euclidea, siamo di fronte, anche in questi casi, a un "cerchio" e a un "qua-drato". Abbiamo già fatto una analoga distinzione tra "pendenza stradale" e "pendenza dei grafici" (®pen-denza, in Gli oggetti matematici).

     Come possiamo descrivere "numericamente" (cioè mediante una formula numerica) la parte interna al cerchio di figura 10, cioè all'insieme degli (x,y) che rendono vera l'equazione x2+y2 = 100? Si tratta dei punti che hanno distanza d da O inferiore a 10, cioè tali che d2<100. Quindi questa figura può essere descritta con la disequazione x2+y2 < 100:

{ (x,y) : x2+y2 < 100 }

Come descriveresti numericamente la parte interna al quadrato di figura 13?

Come descriveresti numericamente la figura tratteggiata nel disegno a fianco, compreso il bordo (i quadretti hanno lato 1)?

 

    Nel piano cartesiano molte figure possono essere descritte mediante equazioni (x2+y2 = 100, |x|+|y|=10, … ) o mediante disequazioni (x2+y2 < 100, |x|+|y|<10, …) o mediante combi-nazioni di equazioni e disequazioni.

    Ad esempio la figura dell'ultimo quesito era descrivibile come:   { (x,y) : -5≤x≤5, -5≤y≤5 }.

    Nel caso a fianco la figura tratteggiata è una croce i cui bracci supponiamo si prolunghino senza fine. Essa comprende tutta la striscia di piano che va dalla ordinata -5 alla ordinata 5 e tutta la striscia di piano che va dalla ascissa -5 alla ascissa 5. Possiamo perciò descriverla come:   { (x,y) : -5≤x≤5 o -5≤y≤5 }.

 

     Nello scrivere { (x,y) : -5≤x≤5, -5≤y≤5 } abbiamo inteso che la condizione sia vera quando siano vere  -5≤x≤5 e -5≤y≤5, cioè quando siano vere entrambe contemporaneamente.

     Abbiamo già osservato (®scheda 1 di Per strada, quesito 25) che la congiunzione "e" nel linguaggio comune non è sempre impiegata con questo significato. Ad esempio nella frase «l'uso di questo medicinale è sconsigliato alle persone con età minore di 5 anni e maggiore di 70 anni» non si intendono indicare le età che siano contemporaneamente minori di 5 e maggiori di 70 anni – tali età non esistono! – ma si intende: « … alle persone con età minore di 5 anni e a quelle con età maggiore di 70 anni».

     Nello scrivere  { (x,y) : -5≤x≤5 o -5≤y≤5 }  abbiamo inteso che la condizione sia vera quando sia vera almeno una tra le due condizioni -5≤x≤5 e -5≤y≤5.

     Nel linguaggio comune invece un "o" tra due condizioni spesso viene usato per indicare che deve essere vera una sola tra le due condizioni.

     Volendo evitare ambiguità con gli usi delle congiunzioni nel linguaggio comune possiamo ricorrere agli operatori logici or, and e not. Quindi possiamo descrivere le due figure con:

             { (x,y) : -5≤x≤5 or -5≤y≤5 }                 { (x,y) : -5≤x≤5 and -5≤y≤5 }.

Descrivi la figura a fianco  ......................................

    Nota.   Cerchio o circonferenza? Il quadrato è solo il contorno? …

    In vari testi di geometria italiani ciò che qui abbiamo chiamato cerchio viene chiamato circonferenza  mentre con il nome cerchio si intende comprendere anche la parte interna. Ad esempio x2+y2 = 100 descri-verebbe una circonferenza, x2+y2 ≤ 100 un cerchio.  Altri chiamano cir-

conferenza la lunghezza del (contorno del) cerchio.   Analogamente, nel caso della figura 13, c'è chi chiama quadrato solo il contorno (|x|+|y|=10) e chi chiama quadrato il contorno con la parte interna (|x|+|y|≤10). Questioni analoghe valgono per i triangoli, le sfere (solo la superficie o anche la parte interna?), …

    Noi non "sposeremo" una posizione particolare. Il contesto man mano chiarirà a quale figura ci riferiremo.

5. Geometria e realtà

     I modelli matematici che abbiamo considerato in questa scheda (punti, traslazioni, vettori, figure, …) vengono studiati in un'area della matematica chiamata geometria.

     Questo nome è di origine greca (deriva da ghé e metron che in greco significavano «terra» e «misura») e, come primo significato, indicava le tecniche per la misura dei campi , per la suddivisione dei terreni in parti di forme opportune, … . In questo senso è sopravvissuta la parola geometra, con cui viene indicato il professionista che fa rilevamenti topografici e si occupa di altre questioni riguardanti il territorio: strade, piccole costruzioni, … (all'università vengono chiamati geometri anche i matematici che si occupano di geometria; ma questa è una terminologia per "addetti ai lavori").

     Ora di questi aspetti si occupano, appunto, i geometri, gli architetti, gli ingegneri, … . Il matematico studia in generale i modelli matematici per rappresentare lo spazio, senza legarsi a una particolare situazione (forme ed estensioni di terreni, oggetti, …, movimenti di pianeti, macchine, elettroni, …, disposizioni delle parti che compongono un edificio, un animale, una molecola chimica, …).

     Abbiamo visto, ad esempio, che per il matematico la distanza (®(3.1) o (3.2)) è un numero senza l'indicazione di una unità di misura.

     E` quando il piano viene visualizzato su un foglio di carta che si stabilisce una unità grafica con cui rappresentare, ad esempio, le unità o le decine. Oppure è quando si associa al nostro piano astratto una situazione concreta che si stabilisce l'unità di misura  con cui esprimere le distanze.

     Quando, "facendo matematica", consideriamo un cerchio disegnato con un compasso (il centro è la posizione in cui è stata messa la punta del compasso, il raggio è la distanza tra mina e punta), non ci preoccupiamo del colore con cui è stato tracciato o del colore e del tipo di foglio impiegato; non ci preoccupiamo neanche, troppo, dello spessore della linea tracciata. Cerchiamo, cioè, di astrarre solo la figura geometrica, cioè l'insieme dei punti (cioè di posizioni "esatte") che con quel disegno si vorrebbe rappresentare.

     Quando di un oggetto reale consideriamo la figura geometrica che esso forma facciamo un'astrazione non solo perché trascuriamo colore, materiale, … dell'oggetto, ma anche perché, in genere, la sua forma è solo una approssimazione della figura geometrica considerata.

     Ad esempio anche se diciamo che un tavolo è rotondo in realtà la superficie di base del tavolo non ha rigorosamente la forma di un cerchio: comunque si cerchi di fissare un centro C non si avrà mai che tutti i punti del bordo sono "esattamente" equidistanti da C. Impiegando strumenti di misura man mano più precisi prima o poi si trovano delle differenze. Infatti il bordo presenta inevitabilmente qualche irregolarità, per quanto piccola possa essere.

     Anche quando usiamo il concetto di piano facciamo una astrazione.

     Ad esempio quando diciamo che un territorio è piano in realtà trascuriamo le piccole asperità che, comunque, il terreno presenta.

     Quando, poi, considerassimo una rappresentazione cartografica del territorio e cercassimo di trovare la distanza tra due punti mediante la formula (3.1), se il territorio è molto ampio troveremmo un valore abbastanza diverso da quello che troveremmo usando la scala riportata sulla cartina; ed entrambi questi due valori sarebbero diversi da quello che si otterrebbe con una misura diretta.

     La superficie della terra infatti è sferica: solo piccole porzioni di essa (il territorio di una città, quello di una provincia) possono essere approssimate abbastanza fedelmente con delle parti di piano. Per territori più ampi, comunque si fissi un sistema di coordinate non si riesce a trovare una corrispondenza tra le distanze calcolate con (3.1) e quelle misurate direttamente.  (®scheda 1 de La matematica e i suoi modelli)

     Non esistono confini netti tra la geometria e le altre aree della matematica.

     Ad esempio per fare geometria si usano anche i numeri, le funzioni, le equazioni, … .

     Viceversa, per analizzare i valori di una grandezza che varia nel tempo o il modo in cui si distribuisce una serie di dati o … , si ricorre spesso alla rappresentazione grafica dei valori numerici e allo studio della forma della figura che così si ottiene. Anche i grafi e i diagrammi di flusso in qualche modo ricorrono a dei concetti di tipo geometrico.

     I modelli geometrici servono, dunque, non solo per rappresentare lo spazio fisico, ma anche per visualizzare altri modelli matematici (funzioni, equazioni, statistiche, …).

     Anche in altre discipline i modelli geometrici vengono impiegati non solo per rappresentare figure, traiettorie, …, ma pure altre situazioni.  Consideriamo ad esempio il concetto di vettore.

     Noi abbiamo introdotto i vettori per descrivere i cambiamenti di posizione e la somma di vettori per descrivere l'effetto complessivo di due successivi cambiamenti di posizione: se una formica si muove dalla posizione A alla posizione B di un foglio e se poi il foglio viene spostato dalla posizione 1 alla posizione 2 del tavolo, possiamo descrivere lo spostamento complessivo della formica con la somma dei vettori corrispondenti ai due spostamenti (®figura 14).

     Si ottiene lo stesso vet-tore se la formica si muove dopo lo spostamento del foglio: le traiettorie a e b danno luogo allo stesso cambiamento di posizione della formica. Infatti la composizione di traslazio-ni è commutativa.

figura 14

     Il vettore somma può essere descritto come la freccia che parte dalla posizione iniziale e si dispone lungo la diagonale del parallelogramma raffigurato (il parallelogramma che ha per lati le frecce che rappresentano i vettori sommati). Per questo a volte il modo in cui si fa la somma di due vettori viene chiamato regola del parallelogramma.

     In geometria possiamo applicare successi-vamente due traslazioni ma non ci preoccupiamo di situazioni in cui un oggetto può essere sottopo-sto a due movimenti contemporaneamente.  Non prendiamo neanche in considerazione la velocità con cui le traslazioni vengono eseguite, ma ci preoccupiamo solo dell'effetto finale.

     In fisica, invece, si studiano anche questi aspetti.

     Ad esempio si studia la situazione in cui la for-mica e il foglio si muovono in linea retta entrambi con velocità costante. In figura 15 è raffigurata questa situazione, dallo stato iniziale (formica nella posizione A del foglio e foglio nella posizione 1

figura 15

sul tavolo) allo stato finale (la formica ha raggiunto la posizione B del foglio e, contemporaneamente, il fo-glio si è spostato fino alla posizione 2). In questo caso la traiettoria g della formica viene a coincidere con la freccia che (®figura 14) rappresenta la somma degli spostamenti.

     Con il programma FORMICA, presente tra il software del progetto, potete osservare la situa-zione in movimento.

     Dunque, in fisica, la somma di vettori viene impiegata anche per rappresentare lo spostamen-to complessivo di un oggetto il cui movimento può essere visto come l'effetto di due diversi movimenti contemporanei: si fa la somma dei vettori che rappresentano gli spostamenti a cui darebbero luogo i due singoli movimenti.

     Ciò vale anche se i due movimenti non hanno velocità costanti: in figura 16  è illustrata una situazione in cui la formica per andare da A a B prima va un po' indietro e poi va avanti, mentre il foglio viene spostato sempre nella stessa dire-

figura 16

zione. La traiettoria d descritta dalla formica sul tavolo è curvilinea, mentre lo spostamento complessivo è comunque dato dalla somma del vettore che porta da A a B e del vettore che porta dalla posizione 1 alla posizione 2 (®figura 17).

figura 17         

     Oltre agli spostamenti in fisica vengono rappresentati con vettori anche le velocità, le  forze e varie altre grandezze.

     Si tratta di grandezze di cui si può dare una descrizione completa indicando, oltre alla loro misura (intensità), la loro direzione. Ad esempio una forza di 15 kg può essere rappresentata con un vettore lungo 15 (vettore che trasla un punto in una posizione distante 15). Più precisamente, si parla di un «vettore di modulo 15».

     Infatti, dato un vettore v=(h,k), si chiama modulo di v la distanza dalla posizione iniziale alla posizio-

ne dopo l'applicazione della traslazione Tv, cioè:

 =

     Si può, inoltre, dimostrare che la composizione di due di esse [la composizione di due velocità, la composizione di due forze, …] dà luogo alla grandezza [una velocità, una forza, …] rappresentata dal vettore che è la somma dei vettori che rappresentano le due grandezze composte (®figura 18).

figura 18

Esempi di situazioni rappresentabili con la somma di due vettori:

   v1: spostamento di una formica su un foglio di carta, v2: contemporaneo spostamento del foglio di carta lungo il tavolo, v1+v2: spostamento della formica rispetto al tavolo;

   v1 e v2: le forze con cui due uomini con due funi cercano di smuovere un oggetto molto pesante, v1+v2: la forza complessiva che essi esercitano;

   v1: la velocità "teorica" di una nave (quella che dovrebbe corrispondere al numero di giri del motore e alla posizione del timone), v2: la velocità della corrente marina in cui la nave si trova, v1+v2: la velocità effettiva della nave.

     Grandezze di questo genere (caratterizzate da intensità e direzione e che si compongono secondo la "re-gola del parallelogramma"), vengono dette grandezze vettoriali.  In fisica, quindi, oltre ai vettori-spo-stamento, si considerano i vettori-forza, i vettori-velocità, … . Il modello matematico "vettore" viene, dunque, impiegato per rappresentare molte più situazioni, e non solo geometriche, rispetto a quelle da cui siamo partiti nell'u.d. Per strada.

   6. Esercizi.

Quali sono le coordinate dei punti evidenziati nella figura a fianco? Esprimile approssimate ai decimi, ammettendo che sul valore indicato ci può essere, al peggio, un errore di un decimo in più o in meno (ad esempio scrivi xD=1.8 anche se dal disegno puoi solo dedurre che xD=1.0.1).

A partire da un punto al centro di un foglio di carta quadrettata rappresenta i punti intermedi e il punto finale in cui si arriva applicando successivamente le traslazioni T7,2, T3,-4 e T-10,2 .

A fianco è raffigurato un labirinto, al cui interno, nel punto segnato con un cerchietto, c'è il signor Kappa. La crocetta rappresenta l'uscita.

    (a) Trova la traiettoria più breve con cui Kappa può uscire dal labi-rinto.

    (b) Utilizzando le graduazioni tracciate e tenendo conto che ogni divi-sione rappresenta 1 m, trova lo "spostamento" complessivo con cui Kappa raggiungerebbe l'uscita.

    (c) Se Kappa avesse scelto la traiettoria più lunga (senza percorrere più volte lo stesso pezzo di strada), quale sarebbe stato lo spostamento complessivo?

    (d) Calcola la distanza in linea d'aria tra posizione di Kappa e uscita.

Due località A e B sono separate da un fiume dal letto molto ampio. Viene deciso di congiungere A e B con una strada, comprendente un ponte, che, per motivi tecnici, deve essere costruito perpendicolarmente al corso del fiume. Sotto sono illustrati tre progetti per la costruzione di questa strada. Sapresti stabilire senza fare calcoli quale dei tre progetti rende A e B più vicine (nel senso della "distanza lungo la strada")?

[Traccia. Nel foglio quadrettato sulla destra è riprodotta la strada che si otterrebbe dal progetto (1) componendo diversamente i vettori che rappresentano i tre tratti rettilinei: prima il tratto del ponte, poi il tratto da A al letto del fiume, poi il tratto dal letto del fiume a B. Fai lo stesso per i progetti (2) e (3) e poi, sulla base del disegno, cerca di rispondere]

 

Ricordando che = |x|, dimostra che la distanza euclidea e la distanza urbanistica tra due punti A e B coincidono se i due punti hanno la stessa ascissa o la stessa ordinata.

Sotto è tracciato il grafico della funzione x  |x| per x che varia nell'intervallo [‑10,10].

     Prova a tracciare, senza fare calcoli, il grafico di  x  |x|–10 e il grafico di  x  |x|  

[traccia: i punti del primo sono ottenibili dai punti del grafico di x  |x| abbassandone l'ordinata di 10, cioè applicando la traslazione verticale di passo ∆y=-10; i punti del secondo sono ottenibili dai punti del grafico di x  |x| cambiando il segno dell'ordinata].

Sotto è tracciato il quadrato descrivibile con l'equazione  |x|+|y|=10  così come può essere ottenuto con grafun. Tenendo conto di quanto visto nel quesito 23, trova le due funzioni che sono state usate in gra-fun per ottenere la parte superiore e la parte inferiore del quadrato. Verifica la correttezza della risposta impiegando grafun.

Descrivi le figure tratteggiate nella forma:                           {(x,y) : condizione}.

  

Disegna su carta quadrettata la figura {(x,y):not 9<x2+y2<25}.

Esiste anche l'operatore logico XOR.     Se c1 e c2 sono condizioni,
c1
xor c2  equivale a  (c1 or c2) and not (c1 and c2), che potremmo tradurre con «c1 o c2 ma non entrambe»). In quali casi la condizione c1 xor c2 è vera, in quali è falsa?

    c1     c2     c1 xor c2

     V      V           

     V       F           

     F      V           

     F       F           

Disegna su carta quadrettata la figura {(x,y):-5≤x≤5 xor -5≤y≤5}.

Disegna su carta quadrettata le figure: (1) {(x,y):x–1=0 or y–2=0}   (2) {(x,y):x–1=0 and y–2=0}

                                                                 (3) {(x,y):(x–1)(y–2)=0}         (4) {(x,y):(x–1)2+(y–2)2=0}

Una macchina automatica deve fare un foro in un parallelepipedo di metallo (®figura a fianco). Nel programmare la macchina, in quale dei seguenti modi descriveresti il foro?

    (1)    6≤x≤8 and 3≤y≤7 and 0≤z≤3

    (2)    6≤x≤8 and 3≤z≤7 and 0≤y≤3

    (3)    6≤x≤8 and 3≤z≤7 and 1≤y≤4

Supponiamo che v1 e v2 in fig. 18 rappresentino le forze con cui due uomini tirano con due funi una cassa.  Se il lato dei quadretti rap-

presenta 5 kg, trova (approssimate) le intensità delle forze esercitate dai due uomini e l'intensità della forza esercitata complessivamente (utilizza le coordinate o ricorri a una "misura" diretta delle frecce).

Sotto è tracciato il cerchio descrivibile con l'equazione  x2+y2=100  così come può essere ottenuto con grafun usando direttamente l'equazione senza ricavare le due espressioni di y in funzione di x (vedi figu-re 11 e 12). Si sceglie: graf - punti - E(x,y)=0 e poi, a richiesta del programma, si descrive l'equazione E(x,y), in questo caso xx+yy-100 (infatto xx+yy=100 equivale a xx+yy–100=0). Volendo, a richiesta del programma, si può infittire ulteriormente il tracciamento. Realizza in questo modo la figura del quesito 24. Prova a realizzare entrambi questi grafici anche con derive (scrivi le equazioni nella forma E(x,y)=0, apri una finestra grafica e aziona il comando Traccia/Plot; puoi azionare questi comandi dal menu a cascata o cliccando sull'icona che rappresenta un grafico) .

   Utilizzando un ragionamento "fisico" analogo a quello impiegato nel quesito 9, giustifica l'equivalenza di a2b2 con (a+b)(a–b). Verifica questa equivalenza anche con metodi algebrici.

   Mediante la CT calcola (+ )(). Che cosa ottieni?         Trasforma il termine usando l'equivalenza discussa nel ques. 33 (con a=, …) e calcola a mano il nuovo termine.

   Utilizza opportunamente  l'equivalenza discussa nel ques. 33 per calcolare mentalmente 9103.

   Le figure seguenti sono un "cerchio" e un "quadrato", ma non sono rappresentate in un sistema mono-metrico. Assegna valori alle tacche in modo che, nel sistema di riferimento che ottieni, tali figure siano effettivamente un cerchio e un quadrato.

     

   Utilizzando il tracciamento del grafico di equazioni del tipo E(x,y)=0, con GRAFUN è possibile tracciare anche il grafico di disequazioni e combinazioni di disequazioni. Basta ricorrere alla funzione segno (rappresentata da Grafun con @S), che a x associa 1, –1, 0 a seconda che x sia positivo, negativo o nullo, o alle funzioni caratteristiche dei nuneri positivi e dei nuneri non-negativi (PO, che a x associa 1 se x>0, 0 altrimenti, e NN, che a x associa 1 se x≥0, 0 altrimenti: vedi l'help).

          Ad es. sotto, in [–10, 10]´[–10, 10], sono raffigurate la relazione { (x,y) : -5≤x≤5 or -5≤y≤5 } e la relazione 9<x2+y2<25.  Come E(x,y) si sono prese rispettivamente  (NN(5–Ax)–1)(NN(5–Ay)–1)  e  @S(25–xx–yy)+@S(xx+yy–9)–2,  ma si potevano fare anche altre scelte, ovvero si potevano rappresentare graficamente le singole disequazioni che compaiono in una relazione con colori diversi e/o forme diverse dei punti (quadratini, crocette, triangolini, punti, quadrettini più grossi).

          Motiva queste definizioni di E(x,y) e prova a rappresentare graficamente con Grafun alcune altre relazioni contenenti disequazioni tra quelle considerate in questa scheda.

          Che cosa si sarebbe ottenuto con  NN(5–Ax)NN(5–Ay)  e con  @S(25–xx–yy)+@S(xx+yy–9) ?

1)   Segna con l'evidenziatore, nelle pagine indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei termini:

         piano numerico, p.2           spazio a … dimensioni, p.2,3         traslazione, p.4

         vettore, p.4                          distanza euclidea, p.5                     distanza urbanistica, p.6

         cerchio, p.9                         modulo di un vettore, p.14              grandezza vettoriale, p.15

2)    Su un foglio da "quadernone" (che poi inserirai dopo l'ultima pagina della scheda), nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato.

3)    Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefo-no") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso").