La matematica e lo spazio
I modelli geometrici
Scheda 1
Traslazioni, vettori e distanze
0. Introduzione
1. Il piano cartesiano
2. Traslazioni e vettori
3. Distanza euclidea e distanza urbanistica
4. Formule e figure geometriche
5. Geometria e realtà
6. Esercizi
Sintesi
0. Introduzione
Generalizziamo le considerazioni svolte nella prima scheda dell'u.d.
Per strada.
Non ci riferiremo più a carte stradali, a posizioni in una città,
a movimenti lungo una strada,
ma a superfici generiche, a punti, a linee
generate da un punto in movimento,
.
In altre parole vogliamo considerare uno spazio astratto, considerare definizioni e
proprietà svincolate da particolari situazioni,
Ciò avrà un duplice vantaggio.
Da una parte, potremo ragionare più liberamente, ad esempio senza tener
conto dei problemi di approssimazione, non preoccupandoci del fatto che le strade possono non
essere perfettamente piane, trascurando la presenza di piccole asperità,
Dall'altra, le proprietà studiate potranno essere applicate a molte altre
situazioni, non solo alle cartine stradali.
1. Il piano cartesiano
Per
ora vogliamo considerare solo posizioni, movimenti, … che avvengono su
superfici piane. Ma che vuol dire superficie piana?
Quando usiamo questo termine abbiamo in mente dei prototipi,
come la parte superiore di un tavolo, una piazza
piatta e con il fondo liscio, la parete di un muro, la superficie di uno
stagno, …. E`
questo il modo in cui impariamo il significato di gran parte delle parole che
usiamo.
Provate a cercare su un dizionario il significato di piano,
piatto, ….
Troverete delle spiegazioni insoddisfacenti o che
rimandano l'una all'altra, oltre, appunto, a qualche esempio chiarificatore,
che funge da prototipo. Un dizionario non può definire tutto, ma si deve
servire di un certo numero di parole il cui significato viene assunto come
conosciuto dall'utente.
Consideriamo
ad esempio un particolare dizionario della lingua inglese. Alla fine del
dizionario è riportato come "The defining vocabulary" un
elenco di circa 2000 parole conoscendo le quali è possibile comprendere
le spiegazioni dei significati di tutte le altre.
− Se
ad esempio cerchiamo prune troviamo «dried plum». − Cerchiamo dried e troviamo «past participle of dry». − Il significato di participle, di past e di of non è descritto esaurientemente dal dizionario (ci sono dei "giri di parole" e degli esempi); infatti si tratta di parole che fanno parte del "defining vocabulary" (sono nodi finali nel grafo a fianco). I loro corrispondenti italiani sono participio, passato e di. − Per il verbo dry troviamo «make dry». − Il verbo make e l'aggettivo dry fanno parte del "defining vocabulary". I loro corrispondenti italiani sono il verbo fare (rendere, …) e l'aggettivo secco. |
PRUNE DRIED PAST | PARTICIPLE | OF | DRY MAKE | DRY PLUM RED BLUE YELLOW STONE OR WITH A IN IT |
− Per plum troviamo «red, blue-red or yellow fruit with a stone in it». Le parole presenti in questa definizione fanno tutte parte del "defining vocabulary". La traduzione è «frutto rosso, blu-rosso o giallo con dentro un nocciolo».
| Hai capito il significato di prune? Come tradurresti in italiano prune? |
Per definire il nostro
generico spazio piano in modo non ambiguo abbandoniamo il dizionario e
utilizziamo i numeri, oggetti matematici di cui, ormai, abbiamo precisato in
modo abbastanza chiaro il significato.
Abbiamo già
considerato la retta dei numeri come modello matematico delle traiettorie rettilinee
(di cui abbiamo come prototipi i raggi di luce, la traiettoria di un sasso lasciato cadere da una
certa altezza, un filo teso, …): un punto, cioè una posizione
della traiettoria, viene identificato con un numero reale
( scheda 2 de I numeri).
Ora possiamo definire
come modello matematico delle superfici piane l'insieme delle coppie (x,
y) di numeri reali, che
chiameremo piano numerico
o, più semplicemente piano.
L'idea è abbastanza naturale:
non è altro che una generalizzazione dell'uso delle coordinate nelle
carte geografiche. Come alla retta
numerica abbiamo associato l'idea intuitiva di una scala graduata su cui si
possono tracciare tacche man mano più fitte, così al piano
numerico associamo l'idea intuitiva
di un reticolato su cui, con lenti man mano più potenti, si possono
andare a scoprire quadrettature di lato man mano più piccolo.
Nella figura 1 sono raffigurate localizzazioni man mano più
precise del punto (x, y) con x=2.8763…
e y=1.1635…. Con lenti opportunamente potenti possiamo
conoscere quante cifre vogliamo di x
e di y.
figura 1
La retta graduata orizzontale di ordinata 0 viene chiamata asse x.
La retta graduata verticale di ascissa 0 viene chiamata asse y.
Il punto (0,0), che sta all'incrocio di queste due rette, viene chiamato origine.
A
volte il piano numerico viene chiamato piano cartesiano, a ricordo di Cartesio,
matematico e filosofo francese vissuto nel XVII
secolo che inventò l'uso delle coordinate per dare una descrizione
matematica del concetto di spazio.
La retta e il piano vengono
chiamati anche, rispettivamente, spazio a 1 dimensione
(un punto è individuato da un
numero reale, cioè da una coordinata) e spazio
a 2 dimensioni
(un punto è
individuato da due numeri reali,
cioè da due coordinate).
Se,
invece, vogliamo considerare posizioni e movimenti che non stanno su una
traiettoria rettilinea o su una superficie piana (ad esempio il volo di un
aereo) dobbiamo ricorrere a tre
coordinate. Ad esempio per indicare la posizione in cui si trova un
sommergibile o un aereo possiamo usare due numeri x e y
per individuare la posizione sulla superficie del mare e un numero z
per individuare la profondità o
l'altitudine. Lo spazio
tridimensionale è l'insieme
delle terne (x, y, z) di numeri reali.
2. Traslazioni e vettori
Nel seguito spesso useremo la seguente convenzione.
Se nel corso di un
ragionamento indichiamo un punto con P, con P1,
con P2,
, allora indichiamo le sue
coordinate rispettivamente con x, y, x1,
x2,
Se invece indichiamo un punto con una lettera diversa, ad esempio con A, con B,
, allora indichiamo le sue coordinate con xA,
xB,
Consideriamo
i cambiamenti di posizione.
figura 3 |
Spostandosi da A a B, da C a D o da O a N (figura 3) si compie lo stesso cambiamento di posizione.
Intuitivamente possiamo descrivere ciò dicendo che le tre frecce
da A a B, da C a D e da O ad N hanno la stessa direzione e la
stessa lunghezza. In fisica la freccia che rappresenta il cambiamento di posizione per andare da A a B viene chiamata spostamento e viene indicata con una freccia sovrapposta ad AB, come nel disegno a lato. Due spostamenti vengono considerati uguali quando sono frecce con la stessa direzione e la stessa lunghezza. |
[Nota. In qualche libro di fisica invece di direzione si parla di direzione orientata e si usa la parola direzione come sinonimo della parola inclinazione. In particolare di due spostamenti che hanno direzioni opposte, come quello che porta A in B e quello che porta D in C (è la "freccia" CD invertita), si dice che hanno la stessa direzione e verso opposto]
Ma che cos'è una freccia?
Per ricondurci a concetti matematici possiamo rappresentare gli spostamenti, invece
che parlando di frecce, riferendoci alle coordinate dei punti di partenza e di
arrivo.
Lo spostamento da A a B può essere descritto indicando la variazione
orizzontale
[Δx sta per "d ifferenza
delle x"; infatti Δ è la lettera greca "delta"
maiuscola, che si legge come la lettera italiana D]
Nel primo caso della figura 4 abbiamo Δx>0 e Δy>0: spostandosi da A a B aumentano sia la ascissa che l'ordinata. Nel secondo caso abbiamo Δx>0 e Δy<0: spostandosi da P a Q aumenta la ascissa ma diminuisce l'ordinata. | figura 4 |
figura 5
Possiamo
descrivere il cambiamento di posizione che fa variare la coordinata orizzontale
di Δx e la coordinata verticale di Δy come una funzione che dato un
punto (x,y) gli associa il punto
|
Nel
caso a sinistra di fig. 4 abbiamo applicato la funzione
(x,y) → (x+8, y+4). Dal punto A = (1,3) si passa al
punto B = (1+8,3+4) = (9,7). Anche nel caso a destra abbiamo
applicato a C la stessa funzione: C = (4,1) → D = (4+8,1+4) = (12,5)
Nel caso di fig. 5 abbiamo invece applicato la funzione
(x,y) → (x−8,y−4).
Rispetto alla precedente, questa funzione rappresenta il cambiamento di
posizione opposto: (9,7) viene
riportato in (1,3).
Queste
funzioni vengono dette traslazioni (dal latino translatio, che significa "trasporto",
"trasferimento"). Più in generale, dati due numeri h
e k, viene detta traslazione
di passi h,k la funzione che associa al punto (x,y) il punto
I passi di una
traslazione non sono altro che le variazioni Δx (passo
"orizzontale") e Δy (passo "verticale") delle
coordinate tra i punti in input e i punti in output.
La traslazione che porta da un punto A a un punto B ha passi:
Δx = xB−xA,
Δy = yB−yA.
La coppia
In
figura 1 sono raffigurati il
punto A, il punto C e l'origine O e i punti che si ottengono da essi con la
traslazione di passi 8, 4:
A = (2,3) → B = (2+8,3+4) = (10,7),
C = (4,−2) → D = (4+8,−2+4) = (12,2),
O = (0,0) → N = (0+8,0+4) = (8,4).
I vettori AB, CD e ON sono uguali: sono diversi modi per indicare la traslazione di
passi 8,4:
xB−xA =
xD−xC =
xN−xO = 8,
yB−yA =
yD−yC =
yN−yO = 4.
[La parola vettore nel linguaggio comune significa "portatore" (ad esempio la persona che effettua la consegna di una merce viene chiamata "il vettore", il razzo impiegato per mettere in orbita un satellite artificiale viene chiamato "razzo vettore", …); deriva dal verbo latino vehere, che significa "portare" (dallo stesso verbo derivano: vettura, veicolo, …). E` evidente il motivo per cui è stato scelto questo nome per i passi delle traslazioni]
Se v è il vettore (h,k), indicheremo con
Tv o con
I numeri h e k vengono chiamati le componenti
di v.
Il nome deriva dal fatto che Tv
può essere vista come il frutto della composizione di una traslazione orizzontale di
passo h e una traslazione
verticale di passo k, o,
viceversa, di una traslazione verticale di passo k
e una traslazione orizzontale di passo h.
Nella figura a fianco, a destra, è rappresentato un punto P e i punti ottenuti da esso applicando prima T8,4 (punto Q) e poi T3,−6 (punto R).
|
Come abbiamo già visto nella scheda 1 di Per Strada
(quesiti 19(b) ed
e1),
la traslazione complessiva
ha come Δx la somma dei Δx delle traslazioni successivamente
applicate e come Δy la somma dei loro Δy.
Nel caso del quesito precedente la composizione di
T8,4 e di T3,−6
è la traslazione determinata dal vettore
Cioè si definisce come addizione
tra vettori
la funzione che a due vettori v1 = (h1,k1)
e v2 = (h2,k2)
associa il vettore
Possiamo, perciò, dire che la traslazione frutto della composizione di due traslazioni è determinata dal vettore che è la somma dei vettori delle due traslazioni successivamente applicate. Sommare vettori si traduce nel fare l'addizione delle prime componenti e l'addizione delle seconde componenti. Poiché queste addizioni possono essere riordinate senza cambiare risultato, possiamo concludere che cambiando l'ordine con cui sommiamo più vettori il vettore risultante rimane immutato. |
|
A fianco
sono raffigurati tre vettori a,
b e c (clicca l'immagine per ingrandirla) e l'esito della loro successiva applicazione,
cioè dell'applicazione di a+b+c, al
punto A. Si ottiene il punto B. A conferma di quanto osservato sopra, anche l'applicazione di c+a+b sposta A in B. Verifica che pure c+b+a e b+a+c spostano A in B. |
Data
la traslazione Th,k la traslazione T−h,−k
viene detta sua traslazione opposta.
Se v è il vettore
Ad esempio, i vettori rappresentati in fig.4 (a sinistra) e in
fig.5 sono l'uno l'opposto dell'altro: B−A = −(A−B).
|
Completa la figura a fianco (cliccala per ingrandirla), cioè trova qual è la traslazione che occorre far
seguire alla traslazione di vettore (10,5) per ottenere complessivamente la traslazione di vettore
(6,9). In altre parole, trova che cosa occorre mettere al posto di "?" in |
Il vettore w del quesito precedente è
quanto occorre aggiungere a v per ottenere u.
In analogia al caso dei numeri (vedi figura a fianco), si dice che w
è il vettore differenza
tra v e u. Si scrive anche w =
u−v (u "meno" v).
Le sue componenti sono la differenza delle componenti di v
e u. Se u = (h1,k1) e
v = (h2,k2), allora
u−v = |
3. Distanza euclidea e distanza urbanistica
Generalizzando il concetto di distanza in linea d'aria visto nella scheda 1 dell'u.d. Per strada definiamo distanza euclidea tra due punti P1 e P2 il numero:
(3.1) | d(P1, P2) = √((Δx)2+(Δy)2) = √((x2−x1)2+(y2−y1)2) |
|
Calcola (e arrotonda a 5 cifre) la distanza euclidea tra i punti P e R del quesito 4. d(P, R) = |
L'aggettivo euclidea deriva dal nome (Euclide) del matematico dell'antica Grecia (vissuto nel III secolo a.C.) a cui è dovuto il primo trattato organico di geometria astratta. In realtà ai tempi di Euclide non era ancora stato inventato l'uso delle coordinate e, quindi, lui non esprimeva la distanza come in (3.1). L'aggettivo è stato aggiunto poiché oltre a questa distanza ne possono essere definite altre.
Se vogliamo considerare un modello matematico per studiare le situazioni in cui ci si può muovere solo in verticale e in orizzontale, come nel caso di Otto Bus ( scheda 1 di Per strada), quando va a piedi dalla fermata dell'autobus a scuola, cioè in cui, se A e B sono le posizioni a fianco raffigurate, non ci sono percorsi più brevi per andare da A a B di p, q o r o di traiettorie simili, possiamo definire: |
(3.2) | d(P1, P2) = |Δx| + |Δy| = |x2−x1| + |y2−y1| |
Nel caso raffigurato abbiamo: d(A,B) = |xB−xA| + |yB−yA| = 8+4 = 12
La distanza definita dalla relazione (3.2) viene chiamata distanza urbanistica. Il nome deriva dal fatto che essa rappresenta la distanza tra due incroci in una città in cui le strade sono tutte disposte orizzontalmente o verticalmente.
Il programma in JS allegato calcola la distanza euclidea e la distanza urbanistica tra due punti del piano. Sotto ne è riprodotto un esempio d'uso.
|
Un particolare robot si può muovere solo in due direzioni perpendicolari
e nelle direzioni opposte. Rappresentiamo il pavimento con il sistema di
riferimento a fianco, in cui l'asse orizzontale e l'asse verticale
rappresentano le direzioni in cui il robot si può muovere e l'origine
rappresenta il punto in cui è collocato inizialmente il robot. Con il
lato di un quadretto rappresentiamo 1 m.
Per valutare la strada che il robot deve percorre per spostarsi da una posizione a un'altra
possiamo impiegare la distanza urbanistica. Sono già stati raffigurati quattro tra i punti più lontani che il robot può raggiungere percorrendo 10 m. Come sono disposti gli altri punti che (con la distanza urbanistica) distano 10 m dall'origine? |
Per il robot del quesito 8 tutti i punti del segmento ST raffigurato a fianco
(in un ingrandimento della figura di sopra) hanno uguale distanza dal punto
O. Per un robot che invece possa muoversi in ogni direzione sembra che il punto A = Sia P un generico punto di ST, ottenuto traslando A di x metri a destra e x metri in basso. Calcoliamo e confrontiamo d(O,A) = √(52+52) = √50 d(O,P) = √((x+5)2+(x−5)2) |
Per confrontare con √50 il termine √((x+5)2+(x−5)2) ci conviene sviluppare (x+5)2 e (x−5)2 ( termini equivalenti in Gli oggetti matematici). Per fare ciò usiamo il fatto che:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
| Per giustificare "fisicamente" l'equivalenza (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 osserva la figura a fianco e completa quanto segue. | |||
|
Applica la riscrittura (a+b)2 → a2 + 2ab + b2
a (x+5)2 e a (x+(−5))2. (x+5)2 = (x−5)2 = (x+(−5))2 = |
Dunque (riprendendo la dimostrazione sospesa prima del quesito 9):
d(O,P) = √((x+5)2+(x−5)2) = √(x2+10x+25+x2−10x+25) = √(2x2+50) ≥ √50 = d(O,A).
In conclusione, (secondo la distanza euclidea) A è effettivamente più vicino a O di ogni altro punto del segmento ST.
Abbiamo
visto che, per un robot che possa muoversi solo orizzontalmente e
verticalmente, i punti che "distano" Possiamo determinare quali sono per il secondo robot i punti che distano 10, cioè calcolare le coordinate dei punti più lontani in cui si può arrivare partendo dall'origine e percorrendo 10 m. |
Oppure possiamo far fare questo calcolo direttamente al computer e fargli
rappresentare graficamente i punti corrispondenti. Iniziamo ad osservare che
√(x2+y2) = 10 equivale a x2+y2
=100. Possiamo procedere con una applicazione che trasforma le formule in rappresentazioni grafiche, come R. Qui trovi alcuni dei vari modi in cui possiamo ottenere una rappresentazione grafica simile a quella a destra: come grafico di una equazione di 2 variabili, come unione di due grafici di funzione ad 1 input, o usando direttamente un comando per tracciare i cerchi. |
Con GeoGebra possiamo comandare, con il mouse, il tracciamento del
cerchio di centro (0,0) e raggio 10. Il programma ci fornisce anche l'equazione
ad esso corrispondente. Con programmi analoghi potremmo anche trovare le coordinate dei vari punti del cerchio. Ecco, ad es., come si potrebbe trovare con R l'ordinata del punto di ascissa 3 raffigurato sotto a sinistra (il comando uniroot trova la x - tra 0 e 10 - che verifica l'equazione |
f <- function(x) sqrt(100-x^2)-3 uniroot(f,c(0,10))$root 9.539392 sqrt(91) 9.539392 points(uniroot(f,c(0,10))$root,3) |
| Trova, a mano, le coordinate del punto precedente e quelle degli altri punti evidenziati sopra a destra (ottenuti con opportuni ribaltamenti). |
4. Formule e figure geometriche
Nel seguito, a meno di indicazioni contrarie, quando parleremo di distanza intenderemo sempre la distanza euclidea.
figura 6 |
Abbiamo visto che l'insieme dei punti che distano 10 dall'origine
assume la forma di un cerchio. In effetti, presi un punto C del piano e un numero positivo r,
il cerchio di centro C e raggio r viene definito
come l'insieme dei punti che distano r da C. Abbiamo poi osservato che la figura ottenuta può essere descritta come l'insieme dei punti (x,y) che rendono vera l'equazione x2+y2 = 100. Invece di scrivere l'insieme degli α tali che sia vera la condizione Γ si possono usare le abbreviazioni: {α t.c. Γ} o {α : Γ} o {α / Γ}. Quindi il cerchio centrato nell'origine e di raggio 10 può essere descritto come: { (x,y) : x2+ y2 = 100 } |
| Traccia in figura 6 l'insieme di punti descrivibile come { (x,y) : x2+ y2 = 25 }. |
Il cerchio di figura 6 lo avremmo ottenuto anche tracciando il grafico
in [−10, 10] della funzione
Nel quesito 8 abbiamo visto che l'insieme dei punti che distano 10 dall'origine
secondo la distanza urbanistica ha la forma di un quadrato.
La distanza urbanistica di P = |
Se non avessimo scelto un sistema monometrico ( pendenza in Gli oggetti matematici) avremmo potuto ottenere, per il nostro cerchio e il nostro quadrato, le rappresentazioni seguenti:
L'aspetto non è più quello di un "cerchio" o di un "quadrato": se misuriamo "fisicamente" le distanze con un righello, i punti della figura a sinistra non hanno la stessa distanza dal punto (0,0) e le due diagonali della seconda figura non hanno la stessa lunghezza. Ma dal punto di vista "matematico", riferendosi al piano cartesiano e alla distanza euclidea, siamo di fronte, anche in questi casi, a un "cerchio" e a un "qua-drato". Abbiamo già fatto una analoga distinzione tra "pendenza stradale" e "pendenza dei grafici" ( pendenza in Gli oggetti matematici).
Come possiamo
descrivere "numericamente" (cioè mediante una formula
numerica) la parte interna al cerchio di figura 6, cioè all'insieme
degli (x,y) che rendono vera l'equazione
| Come descriveresti numericamente la parte interna al quadrato della figura successiva al ques. 12? |
| Come descriveresti numericamente il quadrato punteggiato nella successiva figura (1) (i quadretti hanno lato 1)? |
Nel piano cartesiano molte
figure possono essere descritte mediante equazioni (x2+ y2= 100,
|x|+|y| = 10,
) o mediante disequazioni
(x2+ y2< 100,
|x|+|y| < 10,
) o
mediante combinazioni di equazioni e disequazioni.
Ad
esempio la figura dell'ultimo quesito era descrivibile come:
{(x,y) : −5≤x≤5, −5≤y≤5}. Nel
caso dell'illustrazione (2) la figura tratteggiata è una croce i cui bracci
supponiamo si prolunghino senza fine. Essa comprende tutta la striscia di
piano che va dalla ordinata −5 alla ordinata 5 e tutta la striscia di piano
che va dalla ascissa −5 alla ascissa 5. Possiamo perciò descriverla
come:
Nello scrivere {(x,y) : −5≤x≤5, −5≤y≤5} abbiamo inteso che la condizione sia vera quando
siano vere −5≤x≤5 e −5≤y≤5,
cioè quando siano vere entrambe contemporaneamente.
Abbiamo
già osservato
( ques. e4 della scheda 1 di Per strada)
che la congiunzione "e" nel linguaggio comune non è sempre impiegata con questo
significato. Ad esempio nella frase «l'uso di questo medicinale è
sconsigliato alle persone con età minore di 5 anni e maggiore di 70 anni» non si intendono indicare
le età che siano contemporaneamente minori di 5 e maggiori di 70 anni
– tali età non esistono! – ma si intende: « … alle persone con
età minore di 5 anni e a quelle con età maggiore di 70 anni».
Nello
scrivere { (x,y) : −5≤x≤5 o −5≤y≤5 }
abbiamo inteso che la condizione sia
vera quando sia vera almeno una tra le due condizioni −5≤x≤5 e
−5≤y≤5.
Nel linguaggio comune invece un "o" tra due condizioni spesso viene usato per indicare che deve
essere vera una sola tra le due
condizioni.
Volendo
evitare ambiguità con gli usi delle congiunzioni nel linguaggio comune
possiamo ricorrere agli operatori logici OR, AND e NOT. Quindi possiamo descrivere le due figure con:
{ (x,y) : −5≤x≤5 OR −5≤y≤5 } { (x,y) : −5≤x≤5 AND −5≤y≤5 }
Ecco le rappresentazioni grafiche di A OR B e di A AND B.
| Descrivi la figura (3) (dopo il ques.14). |
Nota.
Cerchio o circonferenza? Il quadrato è solo il contorno? …
In vari testi di geometria italiani ciò che qui abbiamo chiamato cerchio
viene chiamato circonferenza mentre con il nome cerchio
si intende comprendere anche la
parte interna. Ad esempio
Noi
non "sposeremo" una posizione particolare. Il contesto man mano
chiarirà a quale figura ci riferiremo.
5. Geometria e realtà
I modelli matematici
che abbiamo considerato in questa scheda (punti, traslazioni, vettori, figure,
…) vengono studiati in un'area della matematica chiamata geometria.
Questo
nome è di origine greca (deriva da ghé e metron che in greco significavano «terra»
e «misura») e, come primo significato, indicava le tecniche per la misura dei campi, per
la suddivisione dei terreni in parti di forme opportune, …. In questo
senso è sopravvissuta la parola geometra, con cui viene indicato il professionista che fa
rilevamenti topografici e si occupa di altre questioni riguardanti il
territorio: strade, piccole costruzioni, … (all'università vengono
chiamati geometri anche i
matematici che si occupano di geometria; ma questa è una terminologia
per "addetti ai lavori").
Ora
di questi aspetti si occupano, appunto, i geometri, gli architetti, gli
ingegneri, …. Il matematico studia in generale i modelli matematici
per rappresentare lo spazio, senza legarsi a una particolare situazione
(forme ed estensioni di terreni, oggetti, …,
movimenti di pianeti, macchine, elettroni, …, disposizioni delle parti
che compongono un edificio, un animale, una molecola chimica, …).
Abbiamo visto, ad
esempio, che per il matematico la distanza −
(3.1) o (3.2)) − è un
numero senza l'indicazione di una unità di misura.
È quando il piano viene
visualizzato su un foglio di carta che si stabilisce una unità grafica
con cui rappresentare, ad esempio, le unità o le decine. Oppure è
quando si associa al nostro piano astratto una situazione concreta che si
stabilisce l'unità di misura con cui esprimere le distanze.
Quando,
"facendo matematica", consideriamo un cerchio disegnato con un
compasso (il centro è la posizione in cui è stata messa la punta
del compasso, il raggio è la distanza tra mina e punta), non ci
preoccupiamo del colore con cui è stato tracciato o del colore e del
tipo di foglio impiegato; non ci preoccupiamo neanche, troppo, dello spessore
della linea tracciata. Cerchiamo, cioè, di astrarre
solo la figura geometrica, cioè l'insieme dei
punti (cioè di posizioni "esatte") che con quel disegno si
vorrebbe rappresentare.
Quando
di un oggetto reale consideriamo la figura geometrica che esso forma facciamo
un'astrazione non solo perché trascuriamo colore, materiale, …
dell'oggetto, ma anche perché, in genere, la sua forma è solo una
approssimazione della figura geometrica considerata.
Ad esempio anche se
diciamo che un tavolo è rotondo in realtà la superficie di base
del tavolo non ha rigorosamente la forma di un cerchio: comunque si cerchi di
fissare un centro C non si avrà mai che tutti i punti del bordo sono "esattamente"
equidistanti da C. Impiegando strumenti di misura man mano più precisi
prima o poi si trovano delle differenze. Infatti il bordo presenta
inevitabilmente qualche irregolarità, per quanto piccola possa essere.
Anche
quando usiamo il concetto di piano facciamo una astrazione.
Ad esempio quando diciamo che un territorio è piano in realtà
trascuriamo le piccole asperità che, comunque, il terreno presenta.
Quando,
poi, considerassimo una rappresentazione cartografica del territorio e
cercassimo di trovare la distanza tra due punti mediante la formula (3.1), se
il territorio è molto ampio troveremmo un valore abbastanza diverso da
quello che troveremmo usando la scala riportata sulla cartina; ed entrambi
questi due valori sarebbero diversi da quello che si otterrebbe con una misura
diretta.
La superficie della
terra infatti è sferica: solo piccole porzioni di essa (il territorio di
una città, quello di una provincia) possono essere approssimate
abbastanza fedelmente con delle parti di piano. Per territori più ampi,
comunque si fissi un sistema di coordinate non si riesce a trovare una
corrispondenza tra le distanze calcolate con (3.1) e quelle misurate
direttamente
( scheda 1 de La matematica e i suoi modelli).
Non
esistono confini netti tra la geometria e le altre aree della matematica.
Ad esempio per fare
geometria si usano anche i numeri, le funzioni, le equazioni, … .
Viceversa,
per analizzare i valori di una grandezza che varia nel tempo o il modo in cui
si distribuisce una serie di dati o …, si ricorre spesso alla
rappresentazione grafica dei valori numerici e allo studio della forma della
figura che così si ottiene. Anche i grafi e i diagrammi di flusso in
qualche modo ricorrono a dei concetti di tipo geometrico.
I modelli geometrici servono, dunque, non solo per rappresentare lo spazio
fisico, ma anche per visualizzare
altri modelli matematici (funzioni, equazioni, statistiche, …).
Anche
in altre discipline i modelli geometrici vengono impiegati non solo per
rappresentare figure, traiettorie, …, ma pure altre situazioni. Consideriamo ad esempio il concetto di vettore.
Noi abbiamo introdotto i vettori per descrivere i cambiamenti di posizione e la
somma di vettori per descrivere l'effetto complessivo di due successivi cambiamenti di posizione: se una formica si
sposta di a lungo un foglio e se poi il foglio viene spostato di b sul tavolo, possiamo descrivere lo
spostamento complessivo della formica con la somma a+b dei vettori corrispondenti
ai due spostamenti. Si può dimostrare che lo spostamento complessivo è
lo stesso se i due movimenti sono contemporanei.
Oltre agli spostamenti
in fisica vengono rappresentati con vettori anche le velocità, le forze e varie
altre grandezze. Si tratta di grandezze
di cui si può dare una descrizione completa indicando, oltre alla loro
misura (intensità), la
loro direzione. Ad esempio un peso di 15 kg può essere rappresentato
con un vettore lungo 15 (vettore che trasla un punto in una posizione distante
15). Più precisamente, si parla di un «vettore di modulo
15». Infatti, dato un
vettore v =
Si può, inoltre, dimostrare che la composizione di due di esse [la
composizione di due velocità, la composizione di due forze, …]
dà luogo alla grandezza [una velocità, una forza, …]
rappresentata dal vettore che è la somma dei vettori che rappresentano
le due grandezze composte, come si vede nella figura soprastante, a destra.
Grandezze di questo genere (caratterizzate da intensità e direzione e che si compongono secondo la "regola del parallelogramma", ossia dando luogo ad un vettore somma che si dispone lungo la diagonale del parallelogramma che ha per lati le frecce che rappresentano i vettori sommati), vengono dette grandezze vettoriali. In fisica, quindi, oltre ai vettori-spostamento, si considerano i vettori-forza, i vettori-velocità, … . Il modello matematico "vettore" viene, dunque, impiegato per rappresentare molte più situazioni, e non solo geometriche, rispetto a quelle da cui siamo partiti nell'u.d. Per strada.
6. Esercizi
| Quali sono le coordinate dei punti evidenziati nella figura a fianco? Esprimile approssimate ai decimi, ammettendo che sul valore indicato ci possa essere, al peggio, un errore di un decimo in più o in meno (ad esempio scrivi xD = 1.8 anche se dal disegno puoi solo dedurre che xD = 1.8±0.1). |
| A partire da un punto al centro di un foglio di carta quadrettata rappresenta i punti intermedi e il punto finale in cui si arriva applicando successivamente le traslazioni T7,2, T3,−4 e T−10,2. |
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A fianco è raffigurato un labirinto, al cui interno, nel punto segnato con un cerchietto,
c'è il signor Kappa. La crocetta rappresenta l'uscita
("clicca" l'immagine per ingrandirla): (a) Trova la traiettoria più breve con cui Kappa può uscire dal labirinto. (b) Utilizzando le graduazioni tracciate e tenendo conto che ogni divisione rappresenta 1 m, trova lo "spostamento" complessivo con cui Kappa raggiungerebbe l'uscita. (c) Se Kappa avesse scelto la traiettoria più lunga (senza percorrere più volte lo stesso pezzo di strada), quale sarebbe stato lo spostamento complessivo? (d) Calcola la distanza in linea d'aria tra posizione di Kappa e uscita |
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Due località A e B sono separate da un fiume dal letto molto ampio.
Viene deciso di congiungere A e B con una strada, comprendente un ponte, che, per motivi tecnici, deve essere costruito perpendicolarmente al corso del fiume. Sotto sono illustrati tre progetti per la costruzione di questa strada ("clicca" l'immagine per ingrandirla). Sapresti stabilire senza fare calcoli quale dei tre progetti rende A e B più vicine (nel senso della "distanza lungo la strada")? [Traccia. Su un foglio quadrettato riproduci la strada che si otterrebbe da ciascun progetto componendo diversamente i vettori che rappresentano i tre tratti rettilinei: prima il tratto del ponte, poi il tratto da A al letto del fiume, poi il tratto dal letto del fiume a B] |
| Ricordando che √(x2) = |x|, dimostra che la distanza euclidea e la distanza urbanistica tra due punti A e B coincidono se i due punti hanno la stessa ascissa o la stessa ordinata. |
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A fianco è tacciato il grafico di x → |x| per x che varia nell'intervallo
[traccia : i punti del primo sono ottenibili dai punti del grafico di x → |x| abbassandone l'ordinata di 10, cioè applicando la traslazione verticale di passo Δy=−10; i punti del secondo sono ottenibili dallo stesso grafico cambiando il segno dell'ordinata] |
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Descrivi le figure tratteggiate nelle forma:
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| Disegna su carta quadrettata la figura {(x,y) : NOT 9 < x2+y2 < 25} |
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Disegna su carta quadrettata le figure: (1) {(x,y) : x−1 = 0 OR y−2 = 0} (2) {(x,y) : x−1 = 0 AND y−2 = 0} (3) {(x,y) : (x−1)·(y−2) = 0} (4) {(x,y) : (x−1)2+(y−2)2 = 0} |
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Una macchina automatica deve fare un foro in un parallelepipedo di metallo
(vedi la figura a fianco; clicca qui
per ingrandirla). Nel programmare la macchina, in quale dei seguenti modi descriveresti il foro? (1) 6 ≤ x ≤ 8 AND 3 ≤ y ≤ 7 AND 0 ≤ z ≤ 3 (2) 6 ≤ x ≤ 8 AND 3 ≤ z ≤ 7 AND 0 ≤ y ≤ 3 (3) 6 ≤ x ≤ 8 AND 3 ≤ z ≤ 7 AND 1 ≤ y ≤ 4 |
| Utilizzando un ragionamento "fisico" analogo a quello impiegato nel quesito 9, giustifica l'equivalenza di a2− b2 a (a+b)(a−b). Verifica questa equivalenza anche con metodi algebrici. |
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Mediante la CT calcola (√3 + √2)(√3 − √2). Che cosa
ottieni? Trasforma il termine usando l'equivalenza discussa nel quesito precedente (con a = √3, ) e calcola il nuovo termine. |
| Utilizza opportunamente l'equivalenza discussa in e11 per calcolare mentalmente 97·103. |
| Le figure a lato sono un "cerchio" e un "quadrato", ma non sono rappresentate in un sistema monometrico. Assegna valori alle tacche in modo che, nel sistema di riferimento che ottieni, tali figure siano effettivamente un cerchio e un quadrato. |
1) Segna con l'evidenziatore, nelle parti della scheda indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei seguenti termini: piano numerico (prima di fig.1) spazio a dimensioni (prima di es.2) traslazione (dopo es.3) vettore (dopo es.3) distanza euclidea (paragrafo 3) distanza urbanistica (paragrafo 3) cerchio (paragrafo 4) modulo di un vettore (paragrafo 5) grandezza vettoriale (paragrafo 5) 2) Su un foglio da "quadernone", nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato. 3) Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefono") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso"). |