La matematica e lo spazio
I modelli geometrici

Scheda 1
Traslazioni, vettori e distanze

0. Introduzione
1. Il piano cartesiano
2. Traslazioni e vettori
3. Distanza euclidea e distanza urbanistica
4. Formule e figure geometriche
5. Geometria e realtà
6. Esercizi
Sintesi

 

0. Introduzione

    Generalizzando le considerazioni svolte nella prima scheda dell'u.d. Per strada, non mi riferirò più a carte stradali, a posizioni in una città, a movimenti lungo una strada, … ma a superfici generiche, a punti, a linee generate da un punto in movimento, …. In altre parole voglio considerare uno spazio astratto, considerare definizioni e proprietà svincolate da particolari situazioni,…  Ciò avrÓ un duplice vantaggio.
    Da una parte, potrò ragionare più liberamente, ad es. senza tener conto dei problemi di approssimazione, del fatto che le strade possono non essere perfettamente piane, della presenza di piccole asperità,…
    Dall'altra, le proprietà studiate potranno essere applicate a molte altre situazioni, non solo alle cartine stradali.

1. Il piano cartesiano

    Per ora vogliamo considerare solo posizioni, movimenti, … che avvengono su superfici piane. Ma che vuol dire superficie piana? Quando usiamo questo termine abbiamo in mente dei prototipi, come la parte superiore di un tavolo, una piazza piatta e con il fondo liscio, la parete di un muro, la superficie di uno stagno, ….  E` questo il modo in cui impariamo il significato di gran parte delle parole che usiamo.
    Provate a cercare su un dizionario il significato di piano, piatto, ….  Troverete delle spiegazioni insoddisfacenti o che rimandano l'una all'altra, oltre, appunto, a qualche esempio chiarificatore, che funge da prototipo. Un dizionario non può definire tutto, ma si deve servire di un certo numero di parole il cui significato viene assunto come conosciuto dall'utente.
    Consideriamo ad esempio un particolare dizionario della lingua inglese. Alla fine del dizionario è riportato come "The defining vocabulary" un elenco di circa 2000 parole conoscendo le quali è possibile comprendere le spiegazioni dei significati di tutte le altre.

−  Se ad esempio cerco prune trovo «dried plum».
−  Cerchiamo dried e troviamo «past participle of dry».
−  Il significato di participle, di past e di of non è descritto esaurientemente dal dizionario (ci sono dei "giri di parole" e degli esempi); infatti si tratta di parole che fanno parte del "defining vocabulary" (sono nodi finali nel grafo a fianco). I loro corrispondenti italiani sono participio, passato e di.
−  Per il verbo dry troviamo «make dry».
−  Il verbo make e l'aggettivo dry fanno parte del "defining vocabulary". I loro corrispondenti italiani sono il verbo fare (rendere, …) e l'aggettivo secco.
PRUNE —— DRIED —— PAST
     |         —— PARTICIPLE
     |         —— OF
     |         —— DRY —— MAKE
     |                —— DRY
      —— PLUM —— RED
              —— BLUE
              —— YELLOW
              —— STONE
              —— OR
              —— WITH
              —— A
              —— IN
              —— IT

−  Per plum trovo «red, blue-red or yellow fruit with a stone in it». Le parole presenti nelle descrizione fanno tutte parte del "defining vocabulary". La traduzione è «frutto rosso, blu-rosso o giallo con dentro un nocciolo».

 1 
   Hai capito il significato di prune? Come tradurresti in italiano prune?

 

    Per definire il mio generico spazio piano in modo non ambiguo abbandono il dizionario e utilizzo i numeri, oggetti matematici di cui, ormai, ho precisato in modo abbastanza chiaro il significato.  Ho già considerato la retta dei numeri come modello matematico delle traiettorie rettilinee (di cui ho come prototipi i raggi di luce, la traiettoria di un sasso lasciato cadere da una certa altezza, un filo teso, …): un punto, cioè una posizione della traiettoria, viene identificato con un numero reale ( scheda 2 de I numeri).
    Ora posso definire come modello matematico delle superfici piane l'insieme delle coppie (x, y) di numeri reali, che chiamerò piano numerico o, più semplicemente piano.

    L'idea è abbastanza naturale: non è altro che una generalizzazione dell'uso delle coordinate nelle carte geografiche.  Come alla retta numerica ho associato l'idea intuitiva di una scala graduata su cui posso tracciare tacche man mano più fitte, così al piano numerico associo l'idea intuitiva di un reticolato su cui, con lenti man mano più potenti, posso andare a scoprire quadrettature di lato man mano più piccolo.
    Nella figura 1 sono raffigurate localizzazioni man mano più precise del punto (x, y) con x=2.8763… e y=1.1635…. Con lenti opportunamente potenti posso conoscere quante cifre voglio di x e di y.


figura 1

    Rappresentando graficamente dati relativi a fenomeni di vario genere (→ figura 2, dove un punto (x,y) del grafico rappresenta il fatto che "nell'anno x il record in vigore era y centimetri": scheda 2 di Le statistiche), spesso a divisioni orizzontali e verticali uguali vengono associati intervalli numerici di diversa ampiezza, cioè la scala orizzontale e quella verticale vengono scelte differentemente.
    Invece, quando su un foglio di carta millimetrata o quadrettata voglio rappresentare semplicemente delle figure geometriche (punti che rappresentano solo posizioni, linee o altri insiemi di punti che non rappresentano relazioni tra grandezze ma solo traiettorie o altre parti di spazio) la graduazione orizzontale e quella verticale le scandisco con la stessa "unità di misura": in figura 1 l'intervallo [0,1] è rappresentato da divisioni uguali sia sulle rette graduate verticali che sulle rette graduate orizzontali.
 
figura 2

    La retta graduata orizzontale di ordinata 0 viene chiamata asse x.  La retta graduata verticale di ascissa 0 viene chiamata asse y.  Il punto (0,0), che sta all'incrocio di queste due rette, viene chiamato origine.
    A volte il piano numerico viene chiamato piano cartesiano, a ricordo di Cartesio, matematico e filosofo francese vissuto nel XVII secolo che inventò l'uso delle coordinate per dare una descrizione matematica del concetto di spazio.
    La retta e il piano vengono chiamati anche, rispettivamente, spazio a 1 dimensione (un punto è individuato da un numero reale, cioè da una coordinata) e spazio a 2 dimensioni (un punto è individuato da due numeri reali, cioè da due coordinate).
    Se, invece, voglio considerare posizioni e movimenti che non stanno su una traiettoria rettilinea o su una superficie piana (ad es. il volo di un aereo) devo ricorrere a tre coordinate. Ad es. per indicare la posizione in cui si trova un sommergibile o un aereo posso usare due numeri x e y per individuare la posizione sulla superficie del mare e un numero z per individuare la profondità o l'altitudine.  Lo spazio tridimensionale è l'insieme delle terne (x, y, z) di numeri reali.

 2 
   A fianco è raffigurata una porzione di superficie marina su cui è stato fissato un sistema di riferimento x,y. I numeri associati agli assi rappresentano centinaia di metri

La nave chiara raffigurata ha coordinate x=4, y=2 (dista 400 m dalla linea assunta come asse y e 200 m dalla linea assunta come asse x). Viene usata anche una retta graduata verticale per rappresentare livelli diversi dal livello del mare: asse z. Ad esempio il sommergibile raffigurato, che sta esattamente sotto alla nave chiara, ha, come questa, x=4 e y=2; ha poi z = −5 (500 m sotto il livello marino).  Completa la tabella che segue.
    mezzo         x     y     z 
 nave chiara      4     2     …
 sommergibile     4     2    −5
 aeroplano        …     …     …
 nave scura       …     …     …

  
[clicca l'immagine per ingrandirla]

2. Traslazioni e vettori

    Nel seguito spesso useremo la seguente convenzione.
    Se nel corso di un ragionamento indico un punto con P, con P1, con P2, …, allora indico le sue coordinate rispettivamente con x, y, x1, x2, …  Se invece indico un punto con una lettera diversa, ad es. con A, con B, …, allora indico le sue coordinate con xA, xB, …
    Consideriamo i cambiamenti di posizione.

   
figura 3
    Spostandomi da A a B, da C a D o da O a N (figura 3) compio lo stesso cambiamento di posizione. Intuitivamente posso descrivere ciò dicendo che le tre frecce da A a B, da C a D e da O ad N hanno stessa direzione e stessa lunghezza.
    In fisica la freccia che rappresenta il cambiamento di posizione per andare da A a B viene chiamata spostamento e viene indicata con una freccia sovrapposta ad AB, come nel disegno a lato. Due spostamenti vengono considerati uguali quando sono frecce con la stessa direzione e la stessa lunghezza.

[Nota.  In qualche libro di fisica invece di direzione si parla di direzione orientata e si usa la parola direzione come sinonimo della parola inclinazione. In particolare di due spostamenti che hanno direzioni opposte, come quello che porta A in B e quello che porta D in C (è la "freccia" CD invertita), si dice che hanno la stessa direzione e verso opposto]

    Ma che cos'è una freccia?
    Per ricondurmi a concetti matematici posso rappresentare gli spostamenti, invece che parlando di frecce, riferendomi alle coordinate dei punti di partenza e di arrivo.
    Lo spostamento da A a B può essere descritto indicando la variazione orizzontale xB−xA, che indicherò anche con Δx, e la variazione verticale yB−yA, che indicherò anche Δy.
[Δx sta per "d ifferenza delle x"; infatti Δ è la lettera greca "delta" maiuscola, che si legge come la lettera italiana D]

    Nel primo caso della figura 4 ho Δx>0 e Δy>0: spostandosi da A a B aumentano sia la ascissa che l'ordinata. Nel secondo caso ho Δx>0 e Δy<0: spostandosi da P a Q aumenta la ascissa ma diminuisce l'ordinata.   
figura 4

  

figura 5

 3 
   Quanto valgono Δx e Δy nel caso a sinistra?

    Posso descrivere il cambiamento di posizione che fa variare la coordinata orizzontale di Δx e la coordinata verticale di Δy come una funzione che dato un punto (x,y) gli associa il punto (x+Δx, y+Δy).

    Nel caso a sinistra di fig. 4 ho applicato la funzione (x,y) → (x+8, y+4). Dal punto A = (1,3) passo al punto B = (1+8,3+4) = (9,7).  Anche nel caso a destra ho applicato a C la stessa funzione: C = (4,1) → D = (4+8,1+4) = (12,5)
    Nel caso di fig. 5 ho invece applicato la funzione (x,y) → (x−8,y−4). Rispetto alla precedente, questa funzione rappresenta il cambiamento di posizione opposto: (9,7) viene riportato in (1,3).

    Queste funzioni vengono dette traslazioni (dal latino translatio, che significa "trasporto", "trasferimento"). Più in generale, dati due numeri h e k, viene detta traslazione di passi h,k la funzione che associa al punto (x,y) il punto (x+h, y+k).

    I passi di una traslazione non sono altro che le variazioni Δx (passo "orizzontale") e Δy (passo "verticale") delle coordinate tra i punti in input e i punti in output.
    La traslazione che porta da un punto A a un punto B ha passi: Δx = xB−xA, Δy = yB−yA. La coppia (Δx,Δy) viene indicata più in breve con AB con sovrapposta una freccia, come visto in fig.3, o con la scrittura B−A (il "meno" indica che è una specie di differenza: la "variazione" per andare da A a B), ed è chiamata vettore AB.

    In figura 1 sono raffigurati il punto A, il punto C e l'origine O e i punti che si ottengono da essi con la traslazione di passi 8, 4:  A = (2,3) → B = (2+8,3+4) = (10,7),  C = (4,−2) → D = (4+8,−2+4) = (12,2),  O = (0,0) → N = (0+8,0+4) = (8,4).
    I vettori AB, CD e ON sono uguali: sono diversi modi per indicare la traslazione di passi 8,4:  xB−xA = xD−xC = xN−xO = 8,  yB−yA = yD−yC = yN−yO = 4.

[La parola vettore nel linguaggio comune significa "portatore" (ad esempio la persona che effettua la consegna di una merce viene chiamata "il vettore", il razzo impiegato per mettere in orbita un satellite artificiale viene chiamato "razzo vettore", …); deriva dal verbo latino vehere, che significa "portare" (dallo stesso verbo derivano: vettura, veicolo, …). E` evidente il motivo per cui è stato scelto questo nome per i passi delle traslazioni]

    Se v è il vettore (h,k), indicheremo con Tv o con T h,k la traslazione di passi h,k, che chiameremo anche traslazione determinata da v o traslazione di vettore v. Indicheremo con Tv(x,y) il traslato del punto (x,y), cioè il punto (x+h,y+k). Vedi la figura sottostante a sinistra.
    I numeri h e k vengono chiamati le componenti di v. Il nome deriva dal fatto che Tv può essere vista come il frutto della composizione di una traslazione orizzontale di passo h e una traslazione verticale di passo k, o, viceversa, di una traslazione verticale di passo k e una traslazione orizzontale di passo h.

  

   Nella figura a fianco, a destra, è rappresentato un punto P e i punti ottenuti da esso applicando prima T8,4 (punto Q) e poi T3,−6 (punto R).

 4 
   Qual è la traslazione che porta da P a R? Che relazione c'è tra i suoi passi e quelli delle altre due traslazioni?

    Come abbiamo già visto nella scheda 1 di Per Strada (quesito e1), la traslazione complessiva ha come Δx la somma dei Δx delle traslazioni successivamente applicate e come Δy la somma dei loro Δy.  Nel caso del quesito precedente la composizione di T8,4 e di T3,−6 è la traslazione determinata dal vettore (8+3, 4+(−6)) = (11, −2).  Per rappresentare (8+3, 4+(−6)) in forma più compatta si usa scrivere:  (8,4)+(3,−6).  Quindi posso scrivere: (8,4)+(3,−6) = (11,−2).

    Cioè si definisce addizione tra vettori la funzione che a due vettori v1 = (h1,k1) e v2 = (h2,k2) associa il vettore (h1+h2, k1+k2), che è indicato v1+v2 e chiamato somma di v1 e v2.
    Posso, perciò, dire che la traslazione frutto della composizione di due traslazioni è determinata dal vettore che è la somma dei vettori delle due traslazioni successivamente applicate.
    Sommare vettori si traduce nel fare l'addizione delle prime componenti e l'addizione delle seconde componenti. Poiché queste addizioni possono essere riordinate senza cambiare risultato, posso concludere che cambiando l'ordine con cui sommo più vettori il vettore risultante rimane immutato.
  

 5 
   A fianco sono raffigurati tre vettori a, b e c (clicca l'immagine per ingrandirla) e l'esito della loro successiva applicazione, cioè dell'applicazione di a+b+c, al punto A. Si ottiene il punto B.
    A conferma di quanto osservato sopra, anche l'applicazione di c+a+b sposta A in B.
    Verifica che pure c+b+a e b+a+c spostano A in B.
  

    Data la traslazione Th,k la traslazione T−h,−k viene detta sua traslazione opposta. Se v è il vettore (h,k), il vettore (−h,−k) viene indicato con −v e chiamato vettore opposto di v.
    Ad es. i vettori rappresentati in fig.4 (a sinistra) e in fig.5 sono l'uno l'opposto dell'altro: B−A = −(A−B).

 6 
   Completa la figura a fianco (cliccala per ingrandirla), cioè trova qual è la traslazione che occorre far seguire alla traslazione di vettore (10,5) per ottenere complessivamente la traslazione di vettore (6,9).  In altre parole, trova che cosa occorre mettere al posto di "?" in v + ? = u.   

       Il vettore w del quesito precedente è quanto occorre aggiungere a v per ottenere u. In analogia al caso dei numeri (vedi figura a fianco), si dice che w è il vettore differenza tra v e u. Si scrive anche w = u−v (u "meno" v).  Le sue componenti sono la differenza delle componenti di v e u.  Se u = (h1,k1) e v = (h2,k2), allora u−v = (h1−h2, k1−k2).

3. Distanza euclidea e distanza urbanistica

    Generalizzando il concetto di distanza in linea d'aria visto nella scheda 1 dell'u.d. Per strada definiamo distanza euclidea tra due punti P1 e P2 il numero:

(3.1 d(P1, P2) = √((Δx)2+(Δy)2) = √((x2−x1)2+(y2−y1)2)

 7 
   Calcola (e arrotonda a 5 cifre) la distanza euclidea tra i punti P e R del quesito 4.   d(P, R) = …

    L'aggettivo euclidea deriva dal nome (Euclide) del matematico dell'antica Grecia (vissuto nel III secolo a.C.) a cui è dovuto il primo trattato organico di geometria astratta.  In realtà ai tempi di Euclide non era ancora stato inventato l'uso delle coordinate e, quindi, lui non esprimeva la distanza come in (3.1).  L'aggettivo è stato aggiunto poiché oltre a questa distanza ne possono essere definite altre.

    Se voglio considerare un modello matematico per studiare le situazioni in cui ci si può muovere solo in verticale e in orizzontale, come nel caso di Otto Bus ( scheda 1 di Per strada), quando va a piedi dalla fermata dell'autobus a scuola, cioè in cui, se A e B sono le posizioni a fianco raffigurate, non ci sono percorsi più brevi per andare da A a B di p, q o r o di traiettorie simili, posso definire:  

(3.2 d(P1, P2) = |Δx| + |Δy| = |x2−x1| + |y2−y1|

    Nel caso raffigurato ho:  d(A,B) = |xB−xA| + |yB−yA| = 8+4 = 12

    La distanza definita dalla relazione (3.2) viene chiamata distanza urbanistica. Il nome deriva dal fatto che essa rappresenta la distanza tra due incroci in una città in cui le strade sono tutte disposte orizzontalmente o verticalmente.

    Il programma in JS allegato calcola la distanza euclidea e la distanza urbanistica tra due punti del piano. Sotto ne è riprodotto un esempio d'uso.

 8 
   Un particolare robot si può muovere solo in due direzioni perpendicolari e nelle direzioni opposte. Rappresento il pavimento con il sistema di riferimento a fianco, in cui l'asse orizzontale e l'asse verticale rappresentano le direzioni in cui il robot si può muovere e l'origine rappresenta il punto in cui è collocato inizialmente il robot. Con il lato di un quadretto rappresento 1 m.  Per valutare la strada che il robot deve percorre per spostarsi da una posizione a un'altra posso impiegare la distanza urbanistica.
    Sono già stati raffigurati quattro tra i punti più lontani che il robot può raggiungere percorrendo 10 m. Come sono disposti gli altri punti che (con la distanza urbanistica) distano 10 m dall'origine?
  

   Approfondimenti.  Per il robot del quesito 8 tutti i punti del segmento ST raffigurato a fianco (in un ingrandimento della figura di sopra) hanno uguale distanza dal punto O.
    Per un robot che invece possa muoversi in ogni direzione sembra che il punto A = (5,5) sia più vicino a O di ogni altro punto di ST. Provo a dimostrare questa "congettura" usando (3.1):  per questo robot, infatti, posso usare la distanza euclidea.
    Sia P un generico punto di ST, ottenuto traslando A di x metri a destra e x metri in basso. Calcolo e confronto d(O,P) e d(O,A).
  d(O,A) = √(52+52) = √50    d(O,P) = √((x+5)2+(x−5)2)

    Per confrontare con √50 il termine √((x+5)2+(x−5)2) mi conviene sviluppare (x+5)2 e (x−5)2 ( termini equivalenti in Gli oggetti matematici).  Per fare ciò uso il fatto che (vedi quesito e11):

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

 9 
   Applica la riscrittura  (a+b)2 → a2 + 2ab + b2  a  (x+5)2  e a  (x+(−5))2.
        (x+5)2 = …             (x−5)2 = (x+(−5))2 = …

    Dunque (riprendendo la dimostrazione sospesa prima del quesito 9):

d(O,P) = √((x+5)2+(x−5)2) = √(x2+10x+25+x2−10x+25) = √(2x2+50) ≥ √50 = d(O,A).

    In conclusione, (secondo la distanza euclidea) A è effettivamente più vicino a O di ogni altro punto del segmento ST.

    Si è visto che, per un robot che possa muoversi solo orizzontalmente e verticalmente, i punti che "distano" 10 m sono disposti nel modo raffigurato a fianco. Per un robot che, invece, possa muoversi in tutte le direzioni, solo i 4 punti posti sugli assi "distano" 10; gli altri hanno distanza inferiore.
    Posso determinare quali sono per il secondo robot i punti che distano 10, cioè calcolare le coordinate dei punti più lontani in cui si può arrivare partendo dall'origine e percorrendo 10 m.
  

    Oppure posso far fare questo calcolo direttamente al computer e fargli rappresentare graficamente i punti corrispondenti. Inizio ad osservare che √(x2+y2) = 10 equivale a x2+y2 =100.
    Posso procedere con una applicazione che trasforma le formule in rappresentazioni grafiche, come RQui trovi alcuni dei vari modi in cui possiamo ottenere una rappresentazione grafica simile a quella a destra:  come grafico di una equazione di 2 variabili,  come unione di due grafici di funzione ad 1 input,  o usando direttamente un comando per tracciare i cerchi.
  

       Con GeoGebra posso comandare, con il mouse, il tracciamento del cerchio di centro (0,0) e raggio 10. Il programma mi fornisce anche l'equazione ad esso corrispondente.
    Con programmi analoghi potrei anche trovare le coordinate dei vari punti del cerchio. Ecco, ad es., come si potrebbe trovare con R l'ordinata del punto di ascissa 3 raffigurato sotto a sinistra (il comando uniroot trova la x - tra 0 e 10 - che verifica l'equazione f(x)=0):

g <- function(x) sqrt(100-x^2); f <- function(x) g(x)-3
plot(g,-10,10,n=1e4,asp=1);abline(h=axTicks(2),v=axTicks(1),lty=3)
uniroot(f,c(0,10))$root
  9.539392
points(uniroot(f,c(0,10))$root,3)
   

 10 
   Trova, a mano, le coordinate del punto precedente e quelle degli altri punti evidenziati sopra a destra (ottenuti con opportuni ribaltamenti).

4. Formule e figure geometriche

    Nel seguito, a meno di indicazioni contrarie, quando parleremo di distanza intenderemo sempre la distanza euclidea.

  
figura 6
    Ho visto che l'insieme dei punti che distano 10 dall'origine assume la forma di un cerchio. In effetti, presi un punto C del piano e un numero positivo r, il cerchio di centro C e raggio r viene definito come l'insieme dei punti che distano r da C.
    Ho poi osservato che la figura ottenuta può essere descritta come l'insieme dei punti (x,y) che rendono vera l'equazione x2+y2 = 100.
    Invece di scrivere l'insieme degli α tali che sia vera la condizione Γ si possono usare le abbreviazioni:
         t.c.  Γ}  o  {α : Γ}  o  {α / Γ}.
    Quindi il cerchio centrato nell'origine e di raggio 10 può essere descritto come:
            { (x,y) :  x2+ y2 = 100 }

 11 
   Traccia in figura 6 l'insieme di punti descrivibile come { (x,y) : x2+ y2 = 25 }.

    Il cerchio di figura 6 lo avrei ottenuto anche tracciando il grafico in [−10, 10] della funzione x → √(100−x2) e della funzione x → −√(100−x2)

    Nel quesito 8 ho visto che l'insieme dei punti che distano 10 dall'origine secondo la distanza urbanistica ha la forma di un quadrato.  La distanza urbanistica di P = (x,y) da O è |x|+|y|. Non è altro che la somma dei valori assoluti delle componenti del vettore P−0. Ad es. il punto (6,−4) dista 10 da (0,0) in quanto per spostarmi orizzontalmente da x=0 a x=6 devo variare la x di 6, per spostarmi da y=0 a y=−4 devo variare la y di −4, cioè di 4 in meno: la somma dei valori assoluti delle variazioni è 10. Posso dunque dire che il quadrato rappresentato a lato è:  { (x,y) : |x|+|y| = 10 }   

    Se non avessi scelto un sistema monometrico ( pendenza in Gli oggetti matematici) avrei potuto ottenere, per il nostro cerchio e il nostro quadrato, le rappresentazioni seguenti:

    L'aspetto non è più quello di un "cerchio" o di un "quadrato": se misuro "fisicamente" le distanze con un righello, i punti della figura a sinistra non hanno la stessa distanza dal punto (0,0) e le due diagonali della seconda figura non hanno la stessa lunghezza. Ma dal punto di vista "matematico", riferendomi al piano cartesiano e alla distanza euclidea, sono di fronte, anche in questi casi, a un "cerchio" e a un "quadrato". Ho già fatto una analoga distinzione tra "pendenza stradale" e "pendenza dei grafici" ( pendenza in Gli oggetti matematici).

    Come posso descrivere "numericamente" (cioè mediante una formula numerica) la parte interna al cerchio di figura 6, cioè all'insieme degli (x,y) che rendono vera l'equazione x²+ y² = 100?  Si tratta dei punti che hanno distanza d da O inferiore a 10, cioè tali che d² <100. Quindi questa figura può essere descritta con la disequazione x²+ y² < 100:  { (x,y) : x²+ y² < 100 }

 12 
   Come descriveresti numericamente la parte interna al quadrato della figura successiva al ques. 12?

 13 
   Come descriveresti numericamente il quadrato punteggiato nella successiva figura (1) (i quadretti hanno lato 1)?

    Nel piano cartesiano molte figure possono essere descritte mediante equazioni (x2+ y2= 100, |x|+|y| = 10, …) o mediante disequazioni (x2+ y2< 100, |x|+|y| < 10, …) o mediante combinazioni di equazioni e disequazioni.
    Ad esempio la figura dell'ultimo quesito era descrivibile come: {(x,y) : −5≤x≤5, −5≤y≤5}.  Nel caso dell'illustrazione (2) la figura tratteggiata è una croce i cui bracci suppongo si prolunghino senza fine. Essa comprende tutta la striscia di piano che va dalla ordinata −5 alla ordinata 5 e tutta la striscia di piano che va dalla ascissa −5 alla ascissa 5. Posso perciò descriverla come: {(x,y) : −5≤x≤5 o −5≤y≤5}.
    Nello scrivere {(x,y) : −5≤x≤5, −5≤y≤5} ho inteso che la condizione sia vera quando siano vere −5≤x≤5 e −5≤y≤5, cioè quando siano vere entrambe contemporaneamente.

    Si è già osservato ( ques. e4 della scheda 1 di Per strada) che la congiunzione "e" nel linguaggio comune non è sempre impiegata con questo significato. Ad esempio nella frase «l'uso di questo medicinale è sconsigliato alle persone con età minore di 5 anni e maggiore di 70 anni» non si intendono indicare le età che siano contemporaneamente minori di 5 e maggiori di 70 anni – tali età non esistono! – ma si intende: « … alle persone con età minore di 5 anni e a quelle con età maggiore di 70 anni».
    Nello scrivere  { (x,y) : −5≤x≤5 o −5≤y≤5 }  ho inteso che la condizione sia vera quando sia vera almeno una tra le due condizioni −5≤x≤5 e −5≤y≤5.
    Nel linguaggio comune invece un "o" tra due condizioni spesso viene usato per indicare che deve essere vera una sola tra le due condizioni.
    Volendo evitare ambiguità con gli usi delle congiunzioni nel linguaggio comune posso ricorrere agli operatori logici OR, AND e NOT. Quindi posso descrivere le due figure con:

{ (x,y) : −5≤x≤5 OR −5≤y≤5 }     { (x,y) : −5≤x≤5 AND −5≤y≤5 }

    Ecco le rappresentazioni grafiche di A OR B e di A AND B.

 14 
   Descrivi la figura (3) (dopo il ques.14).

Nota.  Cerchio o circonferenza? Il quadrato è solo il contorno? …   In vari testi di geometria italiani ciò che qui abbiamo chiamato cerchio viene chiamato circonferenza mentre con il nome cerchio si intende comprendere anche la parte interna. Ad esempio x2+ y2 = 100 descriverebbe una circonferenza, x2+ y2 ≤ 100 un cerchio.  Analogamente, nel caso della figura successiva al ques. 12, c'è chi chiama quadrato solo il contorno (|x|+|y|=10) e chi chiama quadrato il contorno con la parte interna (|x|+|y|≤10). Questioni analoghe valgono per i triangoli, le sfere (solo la superficie o anche la parte interna?), …
    Noi non "sposeremo" una posizione particolare. Il contesto man mano chiarirà a quale figura ci riferiremo.

5. Geometria e realtà

    I modelli matematici considerati in questa scheda (punti, traslazioni, vettori, figure, …) vengono studiati in un'area della matematica chiamata geometria.
    Questo nome è di origine greca (deriva da ghé e metron che in greco significavano «terra» e «misura») e, come primo significato, indicava le tecniche per la misura dei campi, per la suddivisione dei terreni in parti di forme opportune, …. In questo senso è sopravvissuta la parola geometra, con cui viene indicato il professionista che fa rilevamenti topografici e si occupa di altre questioni riguardanti il territorio: strade, piccole costruzioni, … (all'università vengono chiamati geometri anche i matematici che si occupano di geometria; ma questa è una terminologia per "addetti ai lavori").
    Ora di questi aspetti si occupano, appunto, i geometri, gli architetti, gli ingegneri, …. Il matematico studia in generale i modelli matematici per rappresentare lo spazio, senza legarsi a una particolare situazione (forme ed estensioni di terreni, oggetti, …, movimenti di pianeti, macchine, elettroni, …, disposizioni delle parti che compongono un edificio, un animale, una molecola chimica, …).

    Abbiamo visto, ad esempio, che per il matematico la distanza − (3.1) o (3.2)) − è un numero senza l'indicazione di una unità di misura.
    È quando il piano viene visualizzato su un foglio di carta che si stabilisce una unità grafica con cui rappresentare, ad esempio, le unità o le decine. Oppure è quando si associa al nostro piano astratto una situazione concreta che si stabilisce l'unità di misura con cui esprimere le distanze.

    Quando, "facendo matematica", consideriamo un cerchio disegnato con un compasso (il centro è la posizione in cui è stata messa la punta del compasso, il raggio è la distanza tra mina e punta), non ci preoccupiamo del colore con cui è stato tracciato o del colore e del tipo di foglio impiegato; non ci preoccupiamo neanche, troppo, dello spessore della linea tracciata. Cerchiamo, cioè, di astrarre solo la figura geometrica, cioè l'insieme dei punti (cioè di posizioni "esatte") che con quel disegno si vorrebbe rappresentare.

    Quando di un oggetto reale consideriamo la figura geometrica che esso forma facciamo un'astrazione non solo perché trascuriamo colore, materiale, … dell'oggetto, ma anche perché, in genere, la sua forma è solo una approssimazione della figura geometrica considerata.

    Ad esempio anche se diciamo che un tavolo è rotondo in realtà la superficie di base del tavolo non ha rigorosamente la forma di un cerchio: comunque si cerchi di fissare un centro C non si avrà mai che tutti i punti del bordo sono "esattamente" equidistanti da C. Impiegando strumenti di misura man mano più precisi prima o poi si trovano delle differenze. Infatti il bordo presenta inevitabilmente qualche irregolarità, per quanto piccola possa essere.

    Anche quando usiamo il concetto di piano facciamo una astrazione.
    Ad esempio quando diciamo che un territorio è piano in realtà trascuriamo le piccole asperità che, comunque, il terreno presenta.
    Quando, poi, considerassimo una rappresentazione cartografica del territorio e cercassimo di trovare la distanza tra due punti mediante la formula (3.1), se il territorio è molto ampio troveremmo un valore abbastanza diverso da quello che troveremmo usando la scala riportata sulla cartina; ed entrambi questi due valori sarebbero diversi da quello che si otterrebbe con una misura diretta.
    La superficie della terra infatti è sferica: solo piccole porzioni di essa (il territorio di una città, quello di una provincia) possono essere approssimate abbastanza fedelmente con delle parti di piano. Per territori più ampi, comunque si fissi un sistema di coordinate non si riesce a trovare una corrispondenza tra le distanze calcolate con (3.1) e quelle misurate direttamente ( scheda 1 de La matematica e i suoi modelli).

    Non esistono confini netti tra la geometria e le altre aree della matematica.
    Ad esempio per fare geometria si usano anche i numeri, le funzioni, le equazioni, … .
    Viceversa, per analizzare i valori di una grandezza che varia nel tempo o il modo in cui si distribuisce una serie di dati o …, si ricorre spesso alla rappresentazione grafica dei valori numerici e allo studio della forma della figura che così si ottiene. Anche i grafi e i diagrammi di flusso in qualche modo ricorrono a dei concetti di tipo geometrico.
    I modelli geometrici servono, dunque, non solo per rappresentare lo spazio fisico, ma anche per visualizzare altri modelli matematici (funzioni, equazioni, statistiche, …).

    Anche in altre discipline i modelli geometrici vengono impiegati non solo per rappresentare figure, traiettorie, …, ma pure altre situazioni. Consideriamo ad esempio il concetto di vettore.
    Noi abbiamo introdotto i vettori per descrivere i cambiamenti di posizione e la somma di vettori per descrivere l'effetto complessivo di due successivi cambiamenti di posizione: se una formica si sposta di a lungo un foglio e se poi il foglio viene spostato di b sul tavolo, possiamo descrivere lo spostamento complessivo della formica con la somma a+b dei vettori corrispondenti ai due spostamenti. Si può dimostrare che lo spostamento complessivo è lo stesso se i due movimenti sono contemporanei.

    

    Oltre agli spostamenti in fisica vengono rappresentati con vettori anche le velocità, le forze e varie altre grandezze. Si tratta di grandezze di cui si può dare una descrizione completa indicando, oltre alla loro misura (intensità), la loro direzione. Ad esempio un peso di 15 kg può essere rappresentato con un vettore lungo 15 (vettore che trasla un punto in una posizione distante 15). Più precisamente, si parla di un «vettore di modulo 15».  Infatti, dato un vettore v = (h, k) si chiama modulo di v la distanza dalla posizione iniziale alla posizione dopo l'applicazione della traslazione Tv, cioè √(h2+k2).
    Si può, inoltre, dimostrare che la composizione di due di esse [la composizione di due velocità, la composizione di due forze, …] dà luogo alla grandezza [una velocità, una forza, …] rappresentata dal vettore che è la somma dei vettori che rappresentano le due grandezze composte, come si vede nella figura soprastante, a destra.

    Grandezze di questo genere (caratterizzate da intensità e direzione e che si compongono secondo la "regola del parallelogramma", ossia dando luogo ad un vettore somma che si dispone lungo la diagonale del parallelogramma che ha per lati le frecce che rappresentano i vettori sommati), vengono dette grandezze vettoriali.  In fisica, quindi, oltre ai vettori-spostamento, si considerano i vettori-forza, i vettori-velocità, … . Il modello matematico "vettore" viene, dunque, impiegato per rappresentare molte più situazioni, e non solo geometriche, rispetto a quelle da cui siamo partiti nell'u.d. Per strada.

6. Esercizi

 e1 
   Quali sono le coordinate dei punti evidenziati nella figura a fianco? Esprimile approssimate ai decimi, ammettendo che sul valore indicato ci possa essere, al peggio, un errore di un decimo in più o in meno (ad esempio scrivi xD = 1.8 anche se dal disegno puoi solo dedurre che xD = 1.8±0.1).   

 e2 
   A partire da un punto al centro di un foglio di carta quadrettata rappresenta i punti intermedi e il punto finale in cui si arriva applicando successivamente le traslazioni T7,2, T3,−4 e T−10,2.

 e3 
   A fianco è raffigurato un labirinto, al cui interno, nel punto segnato con un cerchietto, c'è il signor Kappa. La crocetta rappresenta l'uscita ("clicca" l'immagine per ingrandirla):
(a)  Trova la traiettoria più breve con cui Kappa può uscire dal labirinto.
(b)  Utilizzando le graduazioni tracciate e tenendo conto che ogni divisione rappresenta 1 m, trova lo "spostamento" complessivo con cui Kappa raggiungerebbe l'uscita.
(c)  Se Kappa avesse scelto la traiettoria più lunga (senza percorrere più volte lo stesso pezzo di strada), quale sarebbe stato lo spostamento complessivo?
(d)  Calcola la distanza in linea d'aria tra posizione di Kappa e uscita
  

 e4 
   Due località A e B sono separate da un fiume dal letto molto ampio. Viene deciso di congiungere A e B con una strada, comprendente un ponte, che, per motivi tecnici, deve essere costruito perpendicolarmente al corso del fiume. Sotto sono illustrati tre progetti per la costruzione di questa strada ("clicca" l'immagine per ingrandirla). Sapresti stabilire senza fare calcoli quale dei tre progetti rende A e B più vicine (nel senso della "distanza lungo la strada")?
[Traccia.  Su un foglio quadrettato riproduci la strada che si otterrebbe da ciascun progetto componendo diversamente i vettori che rappresentano i tre tratti rettilinei: prima il tratto del ponte, poi il tratto da A al letto del fiume, poi il tratto dal letto del fiume a B]
  

 e5 
   Ricordando che √(x2) = |x|, dimostra che la distanza euclidea e la distanza urbanistica tra due punti A e B coincidono se i due punti hanno la stessa ascissa o la stessa ordinata.

 e6 
   A fianco è tacciato il grafico di x → |x| per x che varia nell'intervallo [−10,10]. Prova a tracciare, senza fare calcoli, i grafici di x → |x|−10 e di x → −|x|.
[traccia : i punti del primo sono ottenibili dai punti del grafico di x → |x| abbassandone l'ordinata di 10, cioè applicando la traslazione verticale di passo Δy=−10; i punti del secondo sono ottenibili dallo stesso grafico cambiando il segno dell'ordinata]
  

    
 e7 
   Descrivi le figure tratteggiate nelle forma:  { (x,y) : condizione }.

 e8 
   Disegna su carta quadrettata la figura {(x,y) : NOT 9 < x2+y2 < 25}

 e9 
   Disegna su carta quadrettata le figure:
  (1)  {(x,y) : x−1 = 0 OR y−2 = 0}       (2)  {(x,y) : x−1 = 0 AND y−2 = 0}
  (3)  {(x,y) : (x−1)·(y−2) = 0}       (4)  {(x,y) : (x−1)2+(y−2)2 = 0}

 e10 
   Una macchina automatica deve fare un foro in un parallelepipedo di metallo (vedi la figura a fianco; clicca qui per ingrandirla). Nel programmare la macchina, in quale dei seguenti modi descriveresti il foro?
(1)   6 ≤ x ≤ 8  AND  3 ≤ y ≤ 7  AND  0 ≤ z ≤ 3
(2)   6 ≤ x ≤ 8  AND  3 ≤ z ≤ 7  AND  0 ≤ y ≤ 3
(3)   6 ≤ x ≤ 8  AND  3 ≤ z ≤ 7  AND  1 ≤ y ≤ 4
  

 e11 
   Per giustificare "fisicamente" l'equivalenza  (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 osserva la figura a fianco e completa quanto segue.   

 e12 
   Utilizzando un ragionamento "fisico" analogo a quello impiegato nel quesito e11, giustifica l'equivalenza di a2− b2 a  (a+b)(a−b). Verifica questa equivalenza anche con metodi algebrici.

 e13 
   Mediante la CT calcola (√3 + √2)(√3 − √2). Che cosa ottieni?
Trasforma il termine usando l'equivalenza discussa nel quesito precedente (con a = √3, …) e calcola il nuovo termine.

 e14 
   Utilizza opportunamente l'equivalenza discussa in e12 per calcolare mentalmente 97·103.

 e15 
   Le figure a lato sono un "cerchio" e un "quadrato", ma non sono rappresentate in un sistema monometrico. Assegna valori alle tacche in modo che, nel sistema di riferimento che ottieni, tali figure siano effettivamente un cerchio e un quadrato.

 

1) Segna con l'evidenziatore, nelle parti della scheda indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei seguenti termini:

piano numerico (prima di fig.1)     spazio a … dimensioni (prima di es.2)     traslazione (dopo es.3)     vettore (dopo es.3)     distanza euclidea (paragrafo 3)     distanza urbanistica (paragrafo 3)     cerchio (paragrafo 4)     modulo di un vettore (paragrafo 5)     grandezza vettoriale (paragrafo 5)

2) Su un foglio da "quadernone", nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato.

3) Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefono") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso").