La matematica e lo spazio
I modelli geometrici
Scheda 3
Trasformazioni geometriche
1. Poligoni
2. Simmetrie, isometrie, similitudini e trasformazioni di scala
3. Altre figure
4. Alcuni teoremi
5. Esercizi
Sintesi
1. Poligoni
Dati tre punti A, B e C non allineati (cioè tali che non esista una retta a cui appartengano tutti e tre), il triangolo ABC è (vedi figura sotto a sinistra) l'unione dei segmenti AP al variare di P su BC. Ovvero (vedi figura al centro) è l'intersezione dei tre semipiani (1), (2) e (3) delimitati rispettivamente dalle rette AB, BC e CA e contenenti rispettivamente C, A e B. I tre angoli di vertici A, B e C generati dalle rotazioni di AB su AC (quella della figura a sinistra), di BC su BA e di CA su CB sono gli angoli del triangolo. I segmenti AB, BC ed AC sono i lati del triangolo.
figura 1 |
Gli altri poligoni ( "figure dai molti angoli", dalle parole greche polís, molto, e gonia, angolo) sono ottenibili a partire da un triangolo mediante successive, opportune, unioni di nuovi triangoli: aggiungendo un triangolo ad un triangolo che abbia con esso un solo lato in comune posso ottenere un quadrangolo (se nessuno degli altri due lati è allineato ad un lato del primo triangolo); aggiungendo un altro triangolo (vedi figura sopra a destra) posso ottenere un pentagono, e così via. Ogni volta ottengo due nuovi lati e ne perdo uno (il lato che il poligono originale ha in comune col triangolo aggiunto). E ogni volta, come si vede nella figura sopra a destra, sostituisco ai due angoli delimitati dal lato soppresso (∠BAD e ∠ADC) tre nuovi angoli (∠BAE, ∠EDC e ∠AED).
I punti di un poligono non appartenenti al contorno sono detti suoi punti interni. A volte viene chiamato poligono ciò che qui abbiamo chiamato contorno del poligono; dal contesto si capisce, in genere, il modo in cui viene usato questo termine.
2. Simmetrie, isometrie, similitudini e trasformazioni di scala
Definte le rotazioni, possiamo completare il discorso lasciato
in sospeso alla fine della §2
della scheda 2 di questa unità didattica. Abbiamo
visto che le traslazioni conservano la distanza (se traslo un segmento la sua
lunghezza non cambia) e non modificano l'orientamento delle figure (se traslo
una semiretta la sua direzione non cambia).
Le rotazioni possono modificare l'orientamento
di una figura, ma, anch'esse, conservano la distanza.
Ciò è facilmente
verificabile per alcune rotazioni, ad es. quelle attorno a (0,0) ampie
90° e 180°, come è illustrato nella figura 2 a sinistra.
Ma la cosa può essere dimostrata in generale.
figura 2 |
Se definisco movimento piano ogni trasformazione ottenibile componendo traslazioni e rotazioni, sono dunque certo che i movimenti piani conservano la distanza e, quindi, sono una buona rappresentazione matematica di come può essere spostato un oggetto rigido approggiato su una superficie piana.
Abbiamo visto che vi
sono trasformazioni che, pur conservando le distanze, non sono movimenti piani:
per essere realizzate "fisicamente" necessitano di un ribaltamento,
di un movimento che esce dal piano.
Di questo genere è, ad esempio, la trasformazione
Se applico lo stesso movimento piano sia all'asse y che ad a
e b ottengo una retta e due nuovi segmenti, che vengono detti simmetrici
rispetto a questa nuova retta. Sopra a destra sono raffigurati due esempi:
• il primo è la traslazione Δx=1,
Δy=0; il nuovo asse di simmetria è la retta x=1;
• il secondo è una rotazione di 30° attorno all'origine.
Sotto a sinistra è raffigurata una figura A e la figura B ad essa simmetrica
rispetto alla retta r. Data A, come può essere tracciata B?
Basta considerare r come nuovo asse y e, come se si fosse
tracciato un nuovo asse x, usando una squadra, associare a ogni punto P di A
il punto P' che rispetto al nuovo sistema di riferimento abbia:
− uguale ordinata (cioè stia sulla perpendicolare a r pasante per P) e
− ascissa opposta (cioè stia nel semipiano delimitato da r
opposto a quello di P e − vedi figura − sia tale che
figura 3 |
Nota. Si usa dire, anche, che una figura è simmetrica se è dotata di un asse di simmetria, cioè se esiste una retta che divide la figura in due parti simmetriche rispetto ad essa. Sopra sono tracciate tre figure simmetriche: una ha un solo asse di simmetria, una ne ha 4, l'altra ne ha infiniti.
| I quattro sistemi di riferimento sottostanti sono monometrici; il lato di un quadretto della griglia vale 5. |
(A) Nel sistema a sinistra la trasformazione F che trasforma il pesce in alto in quello
in basso è una traslazione, una rotazione o una simmetria?
Sai descrivere F(x,y)?
(B) Nel secondo sistema la trasformazione che trasforma il pesce in alto in quello in basso
è una simmetria. Trovate come individuare e tracciare
(con squadra e riga millimetrata) l'asse di simmetria.
(C) Nel terzo sistema lo stesso pesce del caso (A) è stato trasformato in due diverse
figure: un pesce più piccolo ottenuto moltiplicando le coordinate dei
punti del pesce originale per un numero h minore di 1 (i punti del pesce
rimpicciolito distano dall'origine meno dei corrispondenti punti del pesce
originale), e un pesce più grande ottenuto moltiplicando le coordinate
dei punti del pesce originale per un numero k maggiore di 1. Quanto valgono h e
k?
(D) Nell'ultimo sistema lo stesso pesce è sottoposto a un altro tipo di trasformazione.
Provate a descriverla a parole e mediante una opportuna funzione a 2 input e 2
output (
Le trasformazioni piane ottenibili componendo movimenti e ribaltamenti, cioè componendo traslazioni, rotazioni e simmetrie, conservano la distanza. Si può dimostrare che non vi sono altre trasformazioni piane che conservano la distanza. Queste trasformazioni vengono anche chiamate isometrie (in greco ìsos vuol dire "uguale" e métron vuol dire "misura").
Le isometrie oltre a conservare la distanza conservano: • l'allineamento tra punti: se C sta sulla retta AB (vedi figura a fianco) ed A', B' e C' sono ottenuti da A, B e C mediante una traslazione ed una rotazione, anche C' sta sulla retta A'B'; • l'ampiezza degli angoli: l'angolo DAC, sottoposto ad una traslazione ed una rotazione, viene trasformato in un angolo D'A'C' della stessa ampiezza. | ||
Anche le trasformazioni illustrate nel punto (C) del quesito 1, • (x,y) → 1/2·(x,y) = (x/2,y/2), che ha rimpicciolito il pesce in scala 1/2, |
• (x,y) → 2·(x,y) = (2x,2y),
che ha ingrandito il pesce in scala 2,
conservano l'allineamento e l'ampiezza degli angoli. Sono casi particolari di similitudini,
cioè di funzioni che trasformano le figure
in figure ad esse simili.
Più in generale, si chiama similitudine ogni trasformazione che moltiplica la distanza tra una qualunque coppia di punti per un fissato numero positivo k (se k>1 è un ingrandimento, se k<1 è un rimpicciolimento, se k=1 è una isometria).
Le similitudini del tipo (x,y) → k(x,y) non modificano l'orientamento delle figure (il pesce del punto (C) del ques. 1 rimane orizzontale, le pinne mantengono la stessa inclinazione, ). Componendo queste similitudini con rotazioni e traslazioni si possono ottenere le altre similitudini; ad esempio il pesce in alto della figura (B) del ques. 1 con un movimento piano può essere trasformato nel pesce al centro della figura (C) e poi, con una trasformazione di scala 1/2, nel pesce in basso della stessa figura: il pesce inziale e quello finale sono simili. Esse vengono chiamate anche trasformazioni di scala monometriche in quanto possono essere pensate come il frutto di uno stesso cambiamento delle due scale del sistema di riferimento: se sull'asse x e sull'asse y tracciassi le tacche più vicine tra loro, a distanza dimezzata, otterrei una rappresentazione del pesce A più piccola, uguale a quella che, col sistema attuale, si è ottenuta per il pesce X.
Le trasformazioni di scala con
moltiplicatori delle x e delle y diversi non conservano, evidentemente, la
distanza e la ampiezza angolare. Mantengono, invece,
l'allineamento dei punti: segmenti vengono trasformati in segmenti.
Mantengono anche il parallelismo: segmenti paralleli vengono trasformati in segmenti tra loro
paralleli.
Qui puoi trovare come realizzare con R i grafici precedenti.
Si possono considerare molti altri tipi di
trasformazioni piane, cioè di funzioni che
trasformano punti del piano in altri punti del piano.
A lato sono rappresentate F e alcune sue trasformazioni: • A ottenuta mediante un movimento piano, • B ottenuta con una trasformazione di scala, • C ottenuta con una trasformazione di scala non monometrica, • D ottenuta, invece, con una trasformazione che non conserva l'allineamento tra punti. |
figura 4 |
D, infatti, trasforma i lati del quadrato non in segmenti, ma in insiemi di punti non allineati. Conserva, comunque, altri aspetti. Ad esempio il cerchio, che non ha punti angolosi (punti in cui la curva cambia "di scatto" direzione, come accade al contorno di un angolo non piatto nel vertice dell'angolo), viene trasformato in una figura senza punti angolosi, mentre il quadrato, che ha 4 punti angolosi, viene trasformato in una figura con 4 punti angolosi.
Di trasformazioni geometriche come questa ti occuperai
negli anni prossimi, così come delle rappresentazioni
cartografiche che trasformano i punti
di porzioni della superficie terrestre in punti del piano, a cui abbiamo già
accennato nella
scheda 1 di La matematica e i suoi modelli. Ecco, sotto, qualche esempio riferito ad
alcune rappresentazioni parziali del medesimo emisfero:
• nelle cartine del tipo (B) meridiani e paralleli (e altre linee) si incontrano
formando gli stessi angoli formati sulla superficie terrestre, ma i meridiani (che sulla superficie
terrestre corrispondono a traiettorie rettilinee, cioè prive di svolte
a destra o a sinistra, non vengono rappresentati con traiettorie rettilinee;
• le cartine del tipo (C) rappresentano correttamente i meridiani (e altre
traiettorie rettilinee sulla superficie terrestre) con traiettorie
rettilinee ma deformano gli angoli;
• le cartine del tipo (A) conservano l'eguaglianza di aree
(superfici egualmente estese anche sulla cartina appaiono tali), ma deformano traiettorie
rettilinee e angoli (si veda come viene rappresentato l'Antartide).
3. Altre figure
Possiamo ora definire altre figure.
Abbiamo già visto che il cerchio di centro C e raggio r
è l'insieme dei punti che distano r da C:
{P : d(P,C) = r } = {(x,y) : (x−xC)2+ (y−yC)2 = r2}.
| Quali sono il centro e il raggio del cerchio rappresentato sotto a sinistra? Descrivi il cerchio mediante un'equazione. |
In alternativa potevamo descrivere il cerchio precedente come la figura che si
ottiene trasformando il cerchio di centro
Più in generale, tutti i cerchi sono ottenibili dal cerchio di centro
Invece le figure ottenibili dal cerchio di equazione
Le figure di equazione
y = a x2
(a
numero reale diverso da 0) e tutte quelle ottenibili da esse mediante movimenti piani vengono chiamate
parabole. Sotto a sinistra è raffigurata la parabola di equazione
y = x2
e quella ottenuta da essa mediante la rotazione di 30° attorno a
Le figure di equazione
y = a / x
(a numero reale diverso da 0) e tutte quelle ottenibili da
esse mediante movimenti piani vengono chiamate iperboli.
Sopra al centro è raffigurata l'iperbole di equazione y=1/x
e quella ottenuta da essa mediante la rotazione di 90° attorno a
Nota. Più precisamente queste figure vengono chiamate iperboli
equilatere. Infatti, più in generale, sono chiamate iperboli
anche le figure ottenute da queste applicando delle trasformazioni di scala non monometriche.
Ad esempio sopra a destra è
raffigurata l'iperbole equilatera α ottenuta ruotando di 45° l'iperbole
| Quanti assi di simmetria ha un'ellisse che non sia un cerchio? Quanti assi di simmetria ha una parabola? Quanti assi di simmetria ha un'iperbole (equilatera)? |
|
Un rettangolo è un quadrangolo con gli
angoli retti (e, quindi, con lati a 2 a 2 paralleli).
Un rombo è un
quadrangolo con i lati uguali. Che cos'è un rombo che è anche un rettangolo? Trasformando un quadrato con un lato parallelo all'asse x mediante una trasformazione di scala non necessariamente monometrica che cosa ottengo? E se ha un lato inclinato di 45°? Quanti assi di simmetria ha la figura ottenuta? Quale figura ottengo trasformando mediante lo stesso tipo di trasformazione un generico quadrato? |
Qui puoi trovare come realizzare con R i grafici precedenti.
4. Alcuni teoremi
Ricorrendo alle trasformazioni geometriche e a metodi algebrici è facile dimostrare varie proprietà (teoremi) che con altre presentazioni della geometria piana sarebbe più complicato dimostrare. Vediamo alcuni esempi. Considerazioni più generali sulle dimostrazioni in geometria le affronterai nei prossimi anni.
• Proponiamoci, ad esempio, di affrontare il seguente problema:
La somma delle ampiezze degli angoli di un poligono dipende solo dal
numero degli angoli? In caso affermativo, quanto vale?
Proviamo a risolvere il problema operativamente. Se ritagliamo da un triangolo di carta le "punte" e le riuniamo senza sovrapporle in modo che i vertici si tocchino, osserviamo che esse vengono a formare un angolo di 180°. Per avere una conferma che questo è un fatto generale possiamo ripetere la prova con altri triangoli. Ci conviene farlo al computer, con un'applicazione per l'elaborazione delle immagini: comunque tracciamo un triangolo, se, come illustrato sotto, ritagliamo e spostiamo porzioni dei suoi angoli (traslandole col mouse e facendo fare una rotazione di mezzo giro ad una delle tre), riusciamo a formare un angolo di 180°.
Gli altri poligoni, come visto all'inizio della scheda, possono essere ottenuti aggiungendo via via un triangolo. Quindi, come illustra la figura sopra a destra, sembra di poter concludere che la somma degli angoli di un quadrangolo vale 180°+180°, di un pentagono 180°+180°+180°, e, in generale, di un n-agono vale (n−2)·180°.
Questi esperimenti ci consentono di congetturare questa proprietà, ma non ce ne danno la certezza assoluta. Vediamo un'argomentazione alternativa, più semplice e più immediatamente convincente. Dato un triangolo, sia AB un segmento su un suo lato. Lo traslo lungo il lato (nella direzione AB) fino a portare B su un vertice. Compio una rotazione (di ampiezza x) del segmento attorno a tale vertice, fino a che il segmento si dispone su un nuovo lato. Proseguo con trasformazioni analoghe: traslo e ruoto di ampiezza y, traslo e ruoto di ampiezza z, fino a ottenere un segmento sovrapposto a quello iniziale, ma con gli estremi scambiati: A è stato trasportato in quella che inizialmente era la posizione di B, e viceversa. La direzione della semiretta AB è complessivamente variata di 180°, ossia x+y+z = 180°.
Naturalmente entrambe le argomentazioni valgono nel piano euclideo (cioè nel piano cartesiano dotato della distanza euclidea: scheda 1 di questa unità didattica), nel cui ambito abbiamo definito il nostro concetto di direzione. La proprietà vale, con buona approssimazione, per i triangoli tracciati su un foglio e gli angoli misurati con un goniometro e in tutte le situazioni modellizzabili con il piano euclideo. Tuttavia se tracciamo un triangolo su una grande superficie piana (cioè senza rilievi o avvallamenti, salite o discese, ), ad es. su una grande distesa piana ghiacciata, o consideriamo il triangolo individuato dalle traiettorie rettilinee di tre navi, man mano che aumentano le dimensioni di questo triangolo la somma degli angoli si allontana sempre più da 180°.
• La figura 5 richiama i cosiddetti criteri di eguaglianza per i triangoli., Il criterio lato-lato-lato (noto, specie in Italia, come "3º criterio"), che asserisce che due triangoli sono uguali se hanno uguali, ordinatamente, i tre lati, il criterio angolo-lato-angolo ("2º criterio"), che asserisce che due triangoli sono uguali se hanno uguali, ordinatamente, due angoli e il lato tra essi compreso), il criterio lato-angolo-lato ("1º criterio"), che assercisce che due triangoli sono uguali se hanno uguali, ordinatamente, due lati e l'angolo tra essi compreso), e il criterio angolo-angolo-lato (senza altro "nome"), che asserisce che sono uguali se hanno uguali, ordinatamente, due angoli ed un lato non compreso tra essi.
figura 5 |
Dimostriamo, ad esempio, il criterio lato-lato-lato.
Nel farlo sfruttiamo il fatto che i movimenti piani conservano distanze e ampiezze angolari,
per cui ci conviene collocare la figura da studiare
nel modo più comodo per lo sviluppo dei calcoli
e delle manipolazioni; le relazioni tra le sue diverse componenti che vengono individuate e
dimostrate valgono indipendentemente dalla collocazione scelta. Date le lunghezze u, v e w dei lati posso tracciare un segmento AB lungo u sull'asse x, con A=(0,0), e trovare il terzo vertice, C, comune ai due lati lunghi v e w, intersecando i cerchi di centro A e raggio w e di centro B e raggio v (basta intersecare i grafici di Gli angoli sono poi ricavabili dalle direzioni di AC e BC. Il fatto che esista un secondo punto di intersezione, C', indica che in realtà vi sono due triangoli, simmetrici, che hanno gli stessi lati. Per individuarne uno solo occorre precisare qual è l'ordine (in verso antiorario) con cui si succedono i lati di lunghezza u, v e w. |
fissate due rette r e s e
una inclinazione α diversa da quelle di r e s, la proiezione di
r su s di inclinazione α trasforma i segmenti proporzionalmente. Nella figura la situazione è stata rappresentata in modo che l'inclinazione α coincida con quella dell'asse y. La proprietà può essere tradotta così: un fascio di "raggi" paralleli proietta due qualunque segmenti di r (AA' e A'A", o OA e A'A", o ) in modo che le loro immagini (BB' e B'B", o OB e B'B", o ) su s hanno tra loro lo stesso rapporto che c'è tra i segmenti originali. La dimostrazione è facile: su ogni retta non verticale le x, le y e, quindi, anche le distanze, hanno variazioni proporzionali. In particolare se su r un segmento è doppio di un altro allora gli estremi dell'uno hanno Δx doppio del Δx degli estremi dell'altro e, quindi, anche i corrispondenti segmenti su s sono l'uno il doppio dell'altro. |
• Abbiamo visto nella scheda 2 dell'unità didattica I Numeri che l'area di un rettangolo di dimensioni l ed h è pari al prodotto l·h. Un parallelogramma, come il quadrangolo C di figura 4, ha quattro lati due a due paralleli. La figura seguente spiega come l'area di un parallelogramma sia data dal prodotto della lunghezza l di un suo lato per la sua altezza, ossia per la distanza h del lato dal lato ad esso opposto: esso, infatti, può essere trasformato, mantenendo la stessa estensione, in un rettangolo di eguale base ed uguale altezza.
| Spiega, facendo riferimento alla figura precedente, perché l'area di un triangolo può essere determinata moltiplicando la lunghezza di un suo lato per la distanza della retta su cui esso sta dal vertice ad esso opposto (distanza che viene chiamata altezza relativa a tale lato) e dividendo il risultato per due. |
5. Esercizi
|
Le similitudini conservano l'area? [tutte, nessuna o solo
alcune?] Secondo te, la trasformazione di scala (x, y) → (2x, y/2) conserva l'area? [prova a disegnare qualche poligono e la sua immagine mediante questa trasformazione] |
|
Con piano di simmetria di una figura si intende una superficie che divide la figura
in due parti speculari (se si mettesse uno specchio al posto del piano di simmetria e si
togliesse una delle due parti la visione non cambierebbe: la parte tolta ha lo stesso
aspetto dell'immagine allo specchio dell'altra parte): ad esempio quando stiamo sull'attenti
il nostro corpo è, grosso modo, simmetrico rispetto al piano che passa per naso, ombelico
e colonna vertebrale. Quanti piani di simmetria ha un cubo? quanti ne ha un parallelepipedo rettangolo? Quanti piani di simmetria ha una sfera? quanti ne ha un cono retto a base circolare? quanti un cilindro a base ellittica non circolare? |
| Supponiamo di disegnare su un vetro con un pennarello la figura sottostante a sinistra. Descrivi a parole la forma che assume l'ombra se il vetro è colpito dai raggi del sole. Descrivi a parole la forma che assume se il vetro è illuminato da una lampadina. Quali proprietà conservano le due trasformazioni geometriche che associano alla figura la sua ombra nei due casi? |
| I triangoli sono detti isosceli ("con i gambi uguali", dalle parole greche ísos, uguale, e skélos, gambo) se hanno (almeno) due lati uguali. Facendo riferimento alla figura a lato e utilizzando il criterio di eguaglianza lato-lato-lato, dimostra che un trangolo isoscele ha uguali anche i due angoli non compresi tra tali lati. |
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Ogni triangolo inscritto in un semicerchio è rettangolo.
Per confermare con l'intuizione questa proprietà si pensi all'inserimento di una scatola con
base rettangolare all'interno di una scatola con base circolare, con le scatole che si incastrino
perfettamente, come nel disegno a sinsitra: la diagonale del rettangolo corrisponde alla lunghezza massima
occupata dal rettangolo, e quindi non è altro che un diametro del cerchio. Si dimostri la cosa nel piano eucildeo, facendo riferimento alla figura seguente e utilizzando quanto visto nell'esercizio precedente. | |
| Si usa dire che una persona, nella foga di una discussione, «parte per la tangente!» quando incomincia a divagare, a perdere il filo e il controllo delle argomentazioni, proseguendo lungo la direzione che il discorso ha preso al momento. È un modo di dire figurato che trae spunto dal seguente fenomeno: |
se faccio ruotare un oggetto attaccato a un filo e ad un certo punto questo si spezza, perdo il controllo dell'oggetto ed esso prosegue (almeno nei primi momenti) con traiettoria rettilinea, lungo la direzione che aveva in quell'istante; la retta contenente tale traiettoria si dice che è tangente al cerchio lungo cui si muoveva l'oggetto prima del taglio; questa proprietà era usata dai frombolieri: essi lasciavano partire il proiettile dalla fionda quando questo, liberato, avrebbe proseguito lungo la direzione voluta, ossia quando la retta tangente alla traiettoria del proiettile coincideva con la direzione voluta. |
La parola "tangente" deriva dal latino, in cui significava "che
tocca"; infatti tale retta "tocca" il cerchio senza attraversarlo.
Si usa lo stesso termine per indicare
Determina con un goniometro la direzione dei raggi e delle
rette tangenti raffigurate nella figura sopra a destra e calcola la differenza
tra la direzione di ogni tangente e quella del relativo raggio.
Che relazione c'è tra la pendenza della retta
tangente e quella del relativo raggio?
1) Segna con l'evidenziatore, nelle parti della scheda indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei seguenti termini: triangolo, poligono (§1), movimento piano (§2), asse di simmetria (§2), isometria (§2), similitudine (§2), trasformazione di scala monometrica (§2), tangente di una direzione (§5), semiretta (§6), trasformazione di scala (§2), ellisse (§3), parabola (§3), iperbole (§3), criterio di eguaglianza lato-lato-lato (§4), teorema delle proiezioni parallele (§4), triangolo isoscele (§5). 2) Su un foglio da "quadernone", nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato. 3) Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefono") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso"). |