Per strada

La matematica per i movimenti e i mezzi di trasporto

Scheda 2

Fuori città in bicicletta o in motorino

0.   Introduzione

1.   Le pendenze

2.   Affrontare le salite

3.   Meccanismi che trasformano i movimenti

4.   Esercizi

0. Introduzione

     Nella scheda 1 di Per strada abbiamo considerato gli spostamenti in una zona pianeggiante di piccola estensione, comprendente la casa e la scuola di Otto Bus.

     Abbiamo soffermato la nostra attenzione soprattutto sugli aspetti spaziali (distanze, cambiamenti di posizione, …), impiegando modelli di tipo geometrico (e algebrico: formule numeriche, …).  Un'analisi più completa avrebbe preso in considerazione anche i tempi di percorrenza, le diversità tra un giorno della settimana e l'altro, …, e avrebbe comportato l'impiego di ulteriori modelli matematici. Qui sotto vi viene proposta una serie di attività che approfondiscono l'analisi della situazione.

   Ciascun alunno, utilizzando una cartina o misure più o meno dirette (mediante un contachilometri - dell'auto, della moto, del bus -, utilizzando l'orario ferroviario, contando i passi - se fatti uguali -,  …), trova la distanza "lungo la strada" D della propria abitazione dalla scuola;  inoltre, per una settimana, misura ogni mattina il tempo T per raggiungere la scuola (sottraendo l'eventuale tempo speso per chiacchierare con amici e per altre soste).    Con questi dati:

(a)   si studiano con opportuni modelli matematici (di tipo grafico e di tipo numerico) il modo in cui si distribuiscono i valori di D relativi all'intera classe;

(b)   dopo che ogni alunno ha calcolato la media aritmetica TM dei valori di T rilevati durante un' intera settimana, si studia il modo in cui si distribuiscono i valori di TM relativi all'intera classe;

(c) si calcolano, poi, i valori V=D/TM dei vari alunni e si studia il modo in cui si distribuiscono;

(d)   si procede come in (c) per VS=D/TS, dove TS è il tempo impiegato al sabato;

(e) si fanno opportuni confronti tra quanto ottenuto per D, TM, V e VS.

     Ora esaminiamo una nuova situazione: una gita in bicicletta o in motorino.

1. Le pendenze

     Betta e Rina decidono di fare insieme una gita in campagna, Betta con la sua bicicletta e Rina con il suo motorino.

     Vogliono andare in una zona nuova, che non conoscono. Per sceglierla consultano alcune cartine.

     Per decidere l'itinerario cercano di tener conto anche del tempo che dovranno impiegare e delle difficoltà del percorso. Quindi prendono in considerazione non solo la lunghezza della strada, ma anche le salite che essa presenta: devono valutare se il ciclomotore di Rina e le gambe di Betta ce la faranno ad affrontarle e devono tener conto che nei tratti in salita l'andatura sarà più lenta che nei tratti in pianura.

     Alcune cartine sono del tipo di quella parzialmente raffigurata in figura 1, che presenta l'indicazione sia delle curve di livello, sia della pendenza dei tratti di strada più ripidi (oltre a quella delle quote di alcuni posti particolari, come cime, laghi, passi, paesi, …)

     Una curva di livello (o isoipsa, che in greco significa "di uguale altezza") è una linea costituita da punti che rappresentano posizioni della superficie terrestre che sono alla stessa quota sul livello del mare (altitudine).  Ad esempio il paesino Pasopra, che è alla quota di 644m, sta nella striscia compresa tra la curva di livello alla quota 625 m e la curva di livello alla quota 650 m.

     Una cartina con curve di livello è un modello cartografico che consente di farsi un'idea tridimensionale del territorio rappresentato. In figura 2, in alto, è raffigurato il plastico che si può ottenere sulla base delle curve di livello della porzione di cartina di figura 1.

figura 1     

                               figura 2

        Come si vede, si tratta di un plastico a scalini, che è solo una approssimazione della forma della super-ficie terrestre reale.

        Ad esempio la parte piana compresa tra la curva di quota 625 e la curva di quota 650 nella realtà non è piana, ma comprende una superficie che, più o meno gradualmente, passa dalla quota 625 alla quota 650. E non è detto che sia sempre in salita: ad esempio la strada dopo Pasopra potrebbe presentare un tratto in discesa per poi risalire fino alla quota 650.

        Per avere un'idea di come, nella realtà, varia l'alti-tudine, si veda in figura 2, al centro, il profilo del ri-lievo che sorge a ovest del passo; il profilo è visto se-condo una sezione che passa per il laghetto più gran-de e che è evidenziata nella parte bassa di figura 2.

Tenendo conto delle altitudini indicate (e aiutandoti con figura 2) completa figura 1 mettendo al posto dei punti interrogativi le quote delle corrispondenti curve di livello.

        La carta riprodotta in figura 1 ci dice che, prove-nendo da sud, l'ultimo tratto di strada prima del pas-so ha una pendenza che supera il 12% (>>>).  Dopo

c'è una discesa con pendenza tra il 7 e il 12% (<<);  gli "angolini" sono invertiti, a indicare che si tratta di una salita per chi proviene da nord.

     Ricordando che la pendenza è il rapporto tra variazione verticale e variazione orizzontale, possiamo dire che nell'ultimo tratto prima del passo ad ogni 100 m di avanzamento orizzontale corrisponde mediamente un aumento di quota superiore ai 12 m; nella discesa immediatamente seguente  ad ogni 100 m di avanzamento orizzontale corrisponde un abbassamento compreso tra i 7 e i 12 m.

     Proviamo a controllare la prima di queste indicazioni, cioè ">>>".

     Su una striscia di carta (®figura 3) facciamo due segni per rappresentare la strada dalla quota di 675 m al passo (che è alla quota di 692 m). Disponendo la striscia lungo la scala grafica troviamo che il tratto di strada considerato si estende orizzontalmente per circa 120 m.

     Quindi, poiché il dislivello è di  692–675 = 17 m abbiamo:

     pendenza media = = =

figura 3

= 0.1416… = 14.16…% = [arrotondando] 14%

[abbiamo arrotondato a due sole cifre;  non aveva senso considerare più cifre in quanto sia 17 che 120 sono valori approssimati; ad esempio se il valore esatto del dislivello fosse 17.4000… e quello della strada percorsa orizzontalmente fosse 117.000… avremmo ottenuto 17.4/117 = 14.87… % invece di 14.16…%]

     Ciò è in accordo con il segno ">>>".

     Osserviamo che aver trovato che la pendenza "media" del tratto considerato è del 14% non significa che in tutto il tratto ad ogni metro di avanzamento orizzontale corrispondono 14 cm di innalzamento: vi pos-sono essere pezzi di strada in cui la pendenza è inferiore e pezzi di strada in cui la pendenza è superiore.

  A fianco sono raffigurate due salite con le pendenze del 20% e del 50%. Traccia una salita con la pendenza del 100% e una con la pendenza del 200%. Utilizzando un goniometro o la porzione di cerchio graduato riprodotta (più riga e squadra) misura l'angolo di inclinazione di ciascuna di queste due salite.

  

In prossimità del passo parte un sentiero che con-duce alla cima di un monte. Stima quale pendenza si deve affrontare nell'ultimo tratto del sentiero (dalla quota 725 alla vetta).

        

   

figura 4

     Betta e Rina hanno imparato facilmente a leggere sia le curve di livello che le indicazioni del tipo ">>>". Riescono quindi a leggere e confrontare anche le cartine che hanno uno solo dei due tipi di indicazione.

     Le ragazze hanno anche comprato un libretto in cui sono suggeriti alcuni itinerari per gite in bicicletta; ogni itinerario è rappresentato con una cartina priva di curve di livello e di indicazioni di pendenza, a cui è però accoppiato un profilo altimetrico come quello illustrato in figura 4, relativo al tratto di strada che parte da Pasotto: sull'asse orizzontale è indicata la strada percorsa, su quello verticale è indicata l'altitudine (entrambe in metri).

     Come si può notare, l'inclinazione del grafico non riproduce fedelmente l'inclinazione della strada. Ad esempio l'ultimo tratto di salita, che ha una pendenza del 14%, è rappresentato più ripido della strada con pendenza del 50% raffigurata nell'illustrazione considerata nel quesito 4. Del resto nessuno di voi ha mai visto strade così  inclinate!  (®figure 9 e 10 della scheda 2 di La matematica e i suoi modelli)

  Il sistema di riferimento impiegato in figura 4 e quello della rappresentazione considerata nel quesito 4 sono monometrici?

     I profili altimetrici non riproducono fedelmente l'angolo di inclinazione di un tratto di strada, cioè l'angolo di cui la strada è ruotata verso l'alto rispetto al piano orizzontale. Del resto neanche l'indicazione numerica della pendenza ci suggerisce immediatamente un'immagine visiva dell'angolo di inclinazione: sappiamo che una pendenza del 100% corrisponde a un'inclinazione di 45°, ma ci è difficile avere un'idea degli angoli corrispondenti a pendenze diverse. Infatti, come abbiamo visto nel quesito 4, non c'è proporzionalità tra angoli di inclinazione e pendenze: al raddoppiare [dimezzare, …] della pendenza non si raddoppia [dimezza, …] l'angolo di inclinazione.

     Per trovare, ad esempio, l'angolo di inclinazione corrispondente a un tratto di strada lungo 5 m e con un dislivello di 2.5 m possiamo procedere così (®figura 5):

   fissiamo una retta orizzontale e un punto Q su di essa;

   con un compasso tracciamo un cerchio di centro Q e raggio 5 cm;

   con una riga e una squadra tracciamo una retta parallela alla retta già tracciata e distante 2.5 cm da essa, fino a incontrare il cerchio in un punto P;

   il segmento che congiunge P con Q ha l'inclina-zione voluta;

   con un goniometro possiamo trovare che l'ango-lo di inclinazione è di 30°.

figura 5

  Come si sarebbe potuto trovare P senza impiegare il compasso?

figura 6

       Possiamo ricorre a "metodi grafici" anche per i problemi inversi, ad esem-pio per trovare la pendenza che corri-sponde a un dato angolo di inclina-zione.

   Osservando figura 6 stabilisci qual è la pendenza di un tratto di strada inclinato di 20°.

figura 7

    Il goniometro verticale (®figura 7) permette di mi-surare l' angolo di inclina-zione con cui osserviamo un oggetto. Nel caso raffigurato lo sguardo è inclinato di 30°: per inquadrare la cima della montagna dobbiamo inclina-re il tubo di 30°; contempo-raneamente il filo a piombo ruota di 30°; sul cerchio gra-duato attaccato alla tavoletta possiamo leggere questa rotazione.

 

  Siamo presso un'ansa di un fiume. Per trovare a che altitudine ci troviamo consultiamo la cartina. Da essa possiamo dedurre che il monte che possiamo scorgere è alto 2437 m e, usando la scala, che la distanza in orizzontale tra noi e la cima del monte è di circa 1350 m. Utilizzando un piccolo goniometro verticale troviamo che l'angolo di inclinazione con cui vediamo la cima del monte è di 28°.

     Come possiamo calcolare il di-slivello tra noi e la cima del monte e, quindi, la nostra altitudine?

[traccia: utilizza figura 6 per tro-vare la pendenza del nostro sguar-do; quindi, da questa e dalla di-stanza in orizzontale, deduci il valore (arrotondato a 2 cifre) del dislivello in metri].

    

2. Affrontare le salite

     Rina e Betta hanno scelto un itinerario che comprende la strada che abbiamo considerato in figura 1.  Meticolose, le due ragazze vogliono programmare ogni dettaglio. Ad esempio vogliono valutare se a Betta, con la sua bicicletta, al bivio presso Pasotto convenga prendere la strada a destra o quella a sinistra.

     Esaminiamo anche noi la situazione.

     Innanzitutto confrontiamo l'avanzamento orizzontale lungo le due strade. Le cartine, infatti, riproduco-no abbastanza fedelmente l'avanzamento orizzontale lungo una strada, non la lunghezza della strada stessa: la superficie terrestre viene "spiaccicata" sul piano orizzontale, per cui si perde la dimensione verticale.

[qui, ovviamente, parlando di "orizzontale" e "verticale" non ci riferiamo al foglio di carta ma allo spazio tridimensionale]

         Per la strada a sinistra, che è quasi rettilinea, possiamo procedere come in fig. 3 e trovare che tra i due bivi intercorrono 750 (±10) metri.

         La strada a destra presenta varie curve. Per procedere possiamo approssimarla con una spezzata, cioè con una linea ottenuta concatenando più segmenti.

Singolarmente o a gruppi calcolate l'avan-

zamento orizzontale lungo questa strada in uno dei due seguenti modi: 

(a)  su una striscia di carta tracciate una sequenza di segmenti allineati lunghi quanto i segmenti che compongono la spezzata P1P2…P6  (come in fig. 3, segnate sulla striscia due tacche in corrispondenza di P1 e di P2; poi ruotate la striscia intorno a P2 in modo da poter segnare una tacca in corrispondenza di P3, e così via). Utilizzando la scala grafica trovate la lunghezza reale in metri che corrisponde alla distanza tra la prima e l'ultima tacca.

(b)  Usando una riga millimetrata trovate la distanza di P1 da P2 (arrotondata ai millimetri, cioè, posto lo "zero" della riga su P1, scegliendo la tacca dei millimetri più vicina a P2); la annotate; poi trovate la distan-za di P2 da P3 e la annotate; e così via.  Alla fine sommate le distanze e trovate, così, un valore che esprime la lunghezza della spezzata. Con la riga e la scala grafica potete poi trovare la lunghezza reale in metri.

     Confrontate e analizzate i diversi valori ottenuti e stabilite che misura prendere come avanzamento orizzontale lungo la strada di destra.

                                                                    a1  =  avanzamento lungo la strada a sinistra  =   750                                                                                                                                    m

                                                                      a2  =  avanzamento lungo la strada a destra  =                                                                                                                                         m

figura 8           

     In figura 8 sono schematizzate le due strade. s1 e s2 sono le loro lunghezze, a1 e a2 sono i corrispondenti avanzamenti, h è il dislivello da superare.

     Le due strade partono da uno stesso punto e arrivano in uno stesso punto: sono due modi differenti per superare il dislivello h.

     Vogliamo capire la diversità delle prestazioni (sforzo, fatica, …) necessarie per affrontare il dislivello con le due strade.

     Esaminiamo la situazione a partire da un esempio più semplice (®figura 9).

    In un magazzino le casse vengono sollevate su un soppalco di altezza h a volte con il dispositivo A (una carrucola fissa), a volte con il dispositivo B (taglia o paranco, che si ottiene agganciando la fune della carrucola al supporto che la regge e inserendo una rotella dotata di gancio). Sotto è illustrato meglio il dispositivo B.

                                                         figura 9

    Con A occorre tirare la fune di un tratto h, con B occorre tirare la fune di un tratto doppio: tirando la fune per 50 cm la rotella mobile si alza di soli 25 cm. Infatti il tratto di fune tirato si distribuisce su due tratti verticali.

    In ogni caso, sia col dispositivo A che col dispositivo B, l'effetto è l'innalzamento della cassa di un dislivello h.

    Se P è il peso della cassa, in fisica questo effetto viene espresso dicendo che:

è stato prodotto un lavoro pari a P·h.

     Ad esempio se la cassa pesa 40 kg e il dislivello è di 4 m, il lavoro prodotto per sollevare la cassa sul soppalco è:  44 = 160 kgm. Il simbolo kgm indica l'unità di misura chilogrammetro: è il lavoro per sollevare di 1 m un peso di 1 kg.

     Se la cassa pesasse 20 kg il lavoro prodotto sarebbe la metà: 24 = 80 kgm. Se la cassa pesasse 60 kg, cioè il 50% in più, anche il lavoro sarebbe il 50% in più, cioè 64 = 240 kgm invece di 160 kgm.

     Il lavoro varia proporzionalmente anche al dislivello: se il dislivello fosse la metà, cioè 2m, anche il lavoro sarebbe la metà; infatti 42 = 80 kgm.

     Il lavoro è stato definito come P·h proprio perché fosse proporzionale sia al peso P che al dislivello h.

   Gino, per fare uno scherzo a Luisa, la prende sotto alle ascelle e la solleva di circa 50 cm. Enrico, copione, fa lo stesso scherzo a Paola, sollevandola di circa 40 cm. Luisa pesa 54 kg, Paola 62. Quindi Enrico ha sollevato un peso maggiore. Ha anche prodotto più lavoro?

    Ritornando al magazzino, possiamo dire che con en-trambi i dispositivi il lavoro prodotto è P·h: l'intensità F2 della forza con cui viene sollevata la cassa è pari al peso P della cassa. I dispositivi non generano autonomamente il lavoro F2·h, ma trasmettono il lavoro prodotto dall'uomo.

    Nel caso A l'uomo deve tirare la fune di un tratto h. La forza F1 che applica viene trasmessa uguale dalla fune, per cui F1=F2. Il lavoro prodotto dall'uomo viene trasmesso nella stessa forma (forza di uguale intensità e traiettoria di uguale lunghezza) dal dispositivo.

     Nel caso B l'uomo deve tirare la fune di un tratto doppio, cioè pari a h·2. Quindi produce un lavoro F1·h·2.  In uscita dal dispositivo il lavoro assume la forma F2·h.

     Da  F1·h·2 = F2·h  ricaviamo:  F2 = F1·2, ovvero:  F1 = F2/2.

     In modo più espressivo,

possiamo dire che:

il dispositivo B permette di distribuire il lavoro da generare su una traiet-toria di lunghezza doppia per cui viene dimezzata la forza da esercitare.

Quali svantaggi e quali vantaggi può avere il dispositivo B rispetto al dispositivo A?

Nota 1.  Studiando la situazione "sollevamento casse" abbiamo costruito un modello fisico di essa: abbiamo introdotto il concetto di lavoro con un significato ristretto rispetto a quello impiegato nel linguaggio comune.

     Abbiamo fatto anche varie astrazioni. Ad esempio abbiamo supposto che l'energia meccanica (lavoro) prodotta dall'uomo venisse trasmessa integralmente dai due dispositivi, mentre in realtà un po' di energia si disperde a causa degli attriti (si trasforma in energia termica, cioè in riscaldamento delle rotelle, delle aste attorno a cui ruotano, …).

     C'è indubbiamente un legame tra fatica dell'uomo e lavoro che egli produce: se aumentano il peso della cassa o il dislivello aumenta la fatica. Tuttavia l'uomo consuma più energia dell'energia meccanica che produce. Ad esempio se a metà del dislivello l'uomo si ferma per riposare un po', in questo frattempo continua a consumare energia, anche se in quantità minore: per tenere stretta la fune deve mantenere i muscoli delle mani e delle braccia in contrazione, per stare in posizione eretta deve agire su altri muscoli, … e, comunque, deve usare un po' di energia per azionare il cuore, i polmoni, ….

     Analogamente c'è un legame tra sforzo che si deve fare per sorreggere un oggetto e forza che si deve applicare. Ma, a parità di peso, a seconda della posizione in cui ci mettiamo facciamo uno sforzo maggiore o minore. Infatti il corpo umano è una macchina assai complessa per cui, al variare della posizione, le forze che devono esercitare i vari muscoli cambiano e cambia il modo in cui parte di esse vengono "scaricate" sulle strutture portanti (ossa delle gambe, del tronco, …).

Nota 2.  Generalizzando il ca-so del sollevamento dei pesi, data una forza di intensità co-stante F che (trainando o spin-gendo un oggetto) produce un movimento (man mano di-retto come la forza) con traiet-toria lunga s, viene chiamato lavoro fatto dalla forza il pro-dotto F·s.

    Le macchine semplici (® §3 della scheda 1 di La auto-mazione) sono macchine che, come il paranco del nostro esempio, trasformano il mo-vimento prodotto dall'opera-tore in un altro movimento, in modo da cambiare forma al lavoro.

    Nel caso del paranco, del-l'argano, del piede di porco e del cavatappi, una traiettoria

lunga s1 viene trasformata in una  traiettoria di lunghezza s2 minore, in modo che la forza esercitata viene trasformata in una forza maggiore.  Nel caso della bicicletta, invece, alla traiettoria percorsa dal pedale corrisponde una traiettoria percorsa dalla bicicletta che è più lunga: la forza che dobbiamo esercitare sui pedali è maggiore della forza con cui un'altra persona a piedi ci dovrebbe spingere (ma, in cambio, possiamo muoverci più velocemente).

Alla luce di quanto osservato (il dispositivo B distribuisce il lavoro su una traiettoria più lunga in modo che si deve tirare la fune con una forza minore), provate a discutere il problema iniziale, cioè a confrontare le difficoltà delle due strade che congiungono Pasotto a Pasopra (®figura 8).

    Determiniamo la forza di spinta F che deve produrre la bicicletta di Betta in funzione della lunghezza della strada s nel caso in cui Betta e bici pesino in tutto 62 kg.

    Nell'ipotesi irrealistica che la bicicletta pos-sa procedere verticalmente, essa eserciterebbe una forza verticale di 62 kg per un tratto pari al

dislivello h.  Procedendo per una strada il lavoro viene distribuito su un tratto di lunghezza maggiore, per cui è minore la forza di spinta F da esercitare.   Se la lunghezza della strada è s, il fattore di riduzione è h/s:

lavoro = s = pesh   ®  F = pes

[Nel supporre che F·s sia uguale a pesh stiamo trascurando l'energia che la bicicletta impiega per vincere la resistenza dell'aria, le piccole asperità del terreno, …, energia che aumenta all'aumentare di s]

    Utilizzando il teorema di Pitagora pos-siamo trovare il valore di s (in metri) relativo alle due strade.

    Per la strada più breve abbiamo:

s1= = = =752.01…= [arrotondando] 750.

 [abbiamo arrotondato alle decine di metri, in quanto anche a1 era arrotondato alle decine di metri]

    Come si vede, con una pendenza come questa (55/750=7.3%), avanzamento orizzontale e avanzamento lungo la strada sono praticamente indistinguibili: entrambi sono arrotondabili a 750 m.

    A maggior ragione, anche nel caso della strada con minore pendenza (55/1250=4.4%) possiamo confondere a2 con s2 e, quindi, prendere s2=1250.

        Per trovare la forza di spinta F1 (in kg) che la bicicletta deve produrre nel caso della strada lunga s1 possiamo usare il grafico di F in funzione di s (F=peso·h/s=62·55/s=3410/s). Con la rappresentazione a fianco possiamo ricavare che in corrisponden-za di s=750 si ha F pari circa a 5.   Usando la formula otteniamo:

F1 = 3140/s1 = 3410/750 = 4.546… = [arrotondando] 4.5

Calcola il valore F2 della forza di spinta che la bicicletta deve produrre percorrendo la strada lunga s2 (arrotonda il risultato a due cifre significative).

F2 =

3. Meccanismi che trasformano i movimenti

     Riassumiamo quanto abbiamo visto finora:

  Le caratteristiche di una strada in salita possono essere espresse numericamente in due modi:

  indicando la pendenza della strada, cioè il rapporto tra dislivello superato e corrispondente avanzamento in orizzontale,

  indicando l'angolo di inclinazione.

   È facile passare dall'uno all'altra e vice-versa con metodi grafici (®figura 11):

       ad esempio è possibile trovare che a 20° di inclinazione corrisponde la pendenza 3.65/10 = 0.365 = 36.5% (valore approssimato),

       viceversa è possibile trovare che a una pendenza del 14% corrisponde un'inclinazione di 8° (valore appros-simato).

figura 11

    Il lavoro (energia meccanica) che la bicicletta (o un altro mezzo di trasporto) deve produrre per superare la salita è direttamente proporzionale al dislivello.

  [ciò vale se trascuriamo l'incidenza della resistenza dell'aria e di altri fattori, che disperdono energia in quantità che dipende anche dalla lunghezza del percorso seguito]

    A parità di dislivello h, la forza F di spinta che la bicicletta (o un altro mezzo di trasporto) deve esercitare lungo la direzione della strada è tanto minore quanto più lunga è la strada s: F=peso·h/s.

     Nel caso di Betta, la forza di spinta della bici-cletta lungo le due diverse strade sarebbe:

  s1 = 750 m (pendenza 7.3%)       F1 = 4.5 kg

  s2 = 1250 m (pendenza 4.4%)     F2 = 2.7 kg

Riferendovi a vostre esperienze, ritenete che tali valori coincidano con la forza che Betta deve esercitare sui pedali o no?

     Prima di affrontare con calcoli e con ragionamenti più rigorosi la risoluzione di un problema è bene, in tutti i casi in cui è possibile, cercare di fare una stima intuitiva dei risultati. Ciò può essere utile anche nel guidarci nella risoluzione. In ogni caso, alla fine, è opportuno controllare la sensatezza dei risultati ottenuti. Ad esempio se con un particolare procedimento trovassimo che la forza che Betta deve esercitare sui pedali è di circa 1 kg ciò contraddirebbe le considerazioni affrontate nel quesito 14: la forza da esercitare deve essere dell'ordine di grandezza delle decine di chilogrammi.

     La spiegazione del fatto che la forza da esercitare sui pedali è maggiore della forza di spinta effettiva-mente prodotta è già contenuta nella nota 2 a pag.7: se il pedale percorre una traiettoria lunga s1 la bicicletta percorre un tratto di strada s2 maggiore di s1, per cui l'intensità F2 della forza di spinta che viene generata nel punto di contatto tra ruota posteriore e terreno è inferiore all'intensità F1 della forza esercitata. Precisiamo quantitativamente queste considerazioni.

figura 12

     In figura 12 è disegnata la bicicletta di Betta:

   la moltiplica ha il triplo di denti del rocchetto, per cui la ruota posteriore ad ogni pedalata fa 3 giri, cioè ha velocità di rotazione tripla di quella dei pedali;

   il pedale è lungo 17 cm, per cui con una pedalata viene percorsa una traiettoria circolare con diametro di 34 cm; il diametro della ruota posteriore della bici è di 68 cm; la circonferenza della ruota è perciò 2 volte la circonferenza della pedalata.

     Quindi il lavoro prodotto con una pedalata viene distribuito su un traiettoria doppia che viene ripetuta 3 volte, cioè su un percorso che è 3=6 volte il percorso del pedale. La forza di spinta è perciò 6 volte più piccola della forza esercitata sul pedale.  In conclusione:

                                                                                              F2=F1/6        ovvero:     F1=F2·6

Qual è l'intensità della forza (arrotondata ai kg) che Betta deve esercitare sui pedali nei due casi?

                           nel caso della strada 1:      kg                      nel caso della strada 2:      kg

     Nel caso della strada 1 occorre esercitare una forza di quasi 30 kg, nel caso della strada 2 ne bastano poco più di 15. Se non si vuole fare troppo sforzo conviene decisamente questa strada.

     La bici di Betta è però dotata di cambio (®§3 della scheda 1 di La automazione). Più precisamente alla ruota posteriore, oltre al rocchetto da 18 denti, impiegato in genere da Betta, sono fissati anche un roc-chetto da 13 denti, uno da 22 denti e uno da 26, e è presente un dispositivo che, mediante una levetta posta sotto al manubrio, consente di spostare la catena da un rocchetto all'altro. Sotto è raffigurata la situazione in cui alla ruota dentata motrice (moltiplica) è collegato il rocchetto da 22 denti.

     Cambiando il rocchetto cambia il fattore per cui viene moltiplicata la velocità di rotazione, fattore che viene chiamato rapporto di trasmissione.

 

 

rocchetto da

rapporto di

trasmissione

 

     13 denti

54/13  =

4.15

 

     18    "

54/18  =

3

 

     22    "

54/22  =

2.45

 

     26    "

54/26  =

2.08

 

 

 

     Nel caso del rocchetto da 18 denti il rapporto di trasmissione era 54/18=3.

     A fianco c'è il quadro complessivo dei rapporti di trasmissione.  I loro valori sono stati arrotondati a tre cifre.

     È evidente che, per fare meno forza sui pedali conviene scegliere il rapporto di trasmissione più basso: meno viene moltiplicato lo spazio percorso dal pedale, minore è la forza

da esercitare. Vediamo, dunque, quale forza deve fare Betta sul pedale se, affrontando la strada 2, sceglie questo rapporto, cioè il rocchetto da 26 denti.

      Dobbiamo fare gli stessi conti fatti prima, con il fattore al posto del fattore 3:

F1 = F2 · = 2.7 · 54/13 = 11.21… kg

= [arrotondando a 2 cifre] 11 kg

[Si noti che non abbiamo calcolato subito 54/13, approssi-mandolo ad esempio a 4.15: conviene fare alla fine con la CT il calcolo di tutto il termine 2.54/13.  Così si riducono i

dati da battere e si evita di fare un'approssimazione intermedia. Sapere che 54/13 fa circa 4 può essere tuttavia utile per il calcolo mentale: 2.4 @ 2.4 = 10]

Quale forza dovrebbe esercitare Betta se tentasse di affrontare la strada 1 con il rocchetto da 13 denti?

     Il ruolo del cambio si può riassumere nei seguenti due aspetti:

(1)  se aumenta la pendenza della salita, passando a un rapporto di trasmissione più basso possiamo contenere la forza da esercitare entro valori relativamente piccoli, alla portata delle nostre gambe;

(2)  se entriamo in un tratto pianeggiante o in discesa, passando a un rapporto di trasmissione più alto possiamo aumentare la velocità della bici contenendo la velocità di pedalata, cioè la velocità con cui facciamo ruotare i pedali.

     Consideriamo, ora, il motorino di Rina.

     Certamente non avrà problemi per il tratto di strada che congiunge Pasotto e Pasopra: Rina ha già affrontato più volte salite del genere.  Qualche problema potrebbe esserci per l'ultimo pezzo di strada prima del passo, che ha una pendenza media del 14% e potrebbe presentare qualche tratto con una pendenza superiore:  se Betta, anche con il rapporto di trasmissione più basso, non ce la facesse, potrebbe sempre spingere a mano la bicicletta; un altro conto sarebbe spingere il ciclomotore.

[Forse, con tutti questi ragionamenti, stiamo riuscendo a renderti spiacevoli le gite. In effetti la cura con cui Betta e Rina si preparano è esagerata rispetto a quella che si presta in genere prima di fare una gita in bici o in ciclomotore. Tuttavia i ciclisti sportivi e, spesso, anche i "cicloturisti" analizzano dettagliatamente i percorsi che dovranno affrontare. Il ciclista sportivo, così come lo sciatore, l'automobilista, … studia nei particolari anche il comportamento che dovrà tenere nei diversi tratti del percorso di gara]

     Vediamo, dal manuale d'uso, le caratteristiche del ciclomotore di Rina che ci interessano per discutere la situazione.

  motore                                                       monocilindrico a 2 tempi

  coppia motrice massima                             0.35 kg·m a 3500 giri/min

  trasmissione                                                variatore automatico centrifugo

  rapporti di trasmissione                              da  1/25.79  a  1/13.82

  diametro ruote (con pneumatici)                20 inch

  peso                                                           53 kg

     Esaminiamo, innanzi tutto, come funziona un motore monocilindrico a due tempi.

     In un cilindro metallico, chiuso superiormente da un coperchio (detto testata del motore), può scorrere un pisto-ne che, mediante un'asta mobile (biella), può far ruotare l'albero motore (l'albero su cui è inserita la pulleggia mo-trice che, mediante una cinghia, trasmette il movimento alla pulleggia fissata alla ruota posteriore del ciclomotore).  La sporgenza dell'albero motore che si incerniera con la biella viene chiamata manovella.

     Il movimento (in su e in giù) del pistone è generato da ripetute esplosioni di benzina nebulizzata che avvengono

nella parte superiore del cilindro, come è spiegato in dettaglio nell'appendice alla fine del paragrafo.

     Rispetto alla bicicletta, i movimenti vengono generati in maniera differente.

     E` vero che manovella e pulleggia motrice corrispondono ai pedali e alla ruota dentata motrice della bicicletta, ma, mentre in questa l'uomo fa ruotare direttamente i pedali, nel ciclomotore abbiamo il moto rettilineo alternato (cioè con inversione ripetuta della direzione) del pistone che viene trasformato in rotazione dal meccanismo biella-manovella.

    È analogo, invece, il modo in cui la rotazione viene poi tra-smessa alla ruota posteriore (con una catena o una cinghia di trasmissione).

    Le illustrazioni seguenti mostrano il grafico che rappresenta la relazione tra rotazione dell'albero motore e movimento del pistone. In ascissa è riportato l'angolo man mano descritto dall'albero motore, in ordinata è riportata la corrispondente posizione del pistone nel cilindro. Prendiamo come situazione iniziale il punto morto superiore, PMS (figura a fianco).

    Successivamente il pistone si abbassa e la manovella ruota. Si ottiene così un tratto di grafico che scende. Quando la manovella ha compiuto mezzo giro si arriva al punto morto inferiore, PMI; dopo il pistone ricomincia a salire, e lo stesso fa il grafico.

    A ogni posizione della manovella corrisponde una de-terminata posizione del pistone. Quindi se la manovella, ovunque si trovi, compiendo 1, 2, 3, … giri ritorna sulla stessa posizione, anche il pistone ritorna alla stessa quota.

    Ad es., se la manovella è ruotata di 240° rispetto alla di-rezione verticale in alto, dopo 1 giro (rotazione di altri 360°, cioè di 240°+360°=600°), dopo 2 giri (rotazione di 600°+360°=960°), il pistone ritorna nella stessa posizio-ne.

    Ciò dà luogo a un grafico costituito da un tratto di linea che si ripete periodicamente in forma immutata.

    Tra il software del progetto è presente il programma PISTONE. Eseguendolo potrai osservare in forma animata la generazione di questo grafico.

Provate a descrivere a parole, in maniera il più possibile esauriente, l'andamento di questo grafico.

     Determiniamo la massima forza di spinta F2 in uscita dal ciclomotore.

     Al posto della forza esercitata dall'uomo sul pedale devo considerare la coppia motrice massima che (vedi specchietto) è di 0.35 kg·m.

     Questa grandezza, di cui in questa scheda non approfondiamo ulterior-mente il significato, esprime il fatto che lo sforzo massimo che l'albero mo-tore riesce a sostenere equivale a quello di chi esercita una forza di 0.35 kg su un pedale lungo 1 m.

     Dunque, posso considerare come s1 lo spazio percorso da un pedale lungo 100 cm e come F1 0.35 kg.

     Il motorino è dotato di variatore automatico (®§3 della scheda 1 di La automazione) per cui, all'au-mentare della pendenza, passa automaticamente a un rapporto di trasmissione più basso.

     Lo spazio s2 percorso dal motorino può essere calcolato in modo del tutto simile a come si è proceduto per la bici-cletta: s1 viene moltiplicato per il rapporto di trasmissione, che al minimo è 1/25.79, e per il rapporto tra circonferenza della ruota e circonferenza della pedalata.

     Quest'ultimo è uguale al rapporto tra i rispettivi raggi; il raggio della ruota è 10 inch (pollici), cioè (poiché 1 inch= 2.54 cm) 25.4 cm; il raggio della pedalata è la lunghezza del pedale (1 m = 100 cm).

     Quindi la massima forza di spinta in uscita è:

 

     Il motorino pesa 53 kg (® specchietto), a cui dobbiamo aggiungere 2 o 3 kg di benzina, il peso dei bagagli, arrivando al più a 70 kg; aggiungendo il peso di Rina non superiamo i 130 kg.

     Supponiamo, dunque, che il ciclomotore debba vincere una forza verticale di 130 kg. Procedendo lungo una strada questa forza viene ridotta di un fattore pari a h/s (dislivello/lunghezza strada). Vediamo quale fattore di riduzione dobbiamo applicare per trasformare 130 kg in 35.5 kg, la forza di spinta che il motorino

 

è in grado di produrre:     35.5/130=0.273…=27.3%

     Dunque Rina con il suo motorino può affrontare una strada che supera un dislivello di 27 m con un tratto lungo 100 m, cioè una strada con pendenza circa del 27% (possiamo confondere avanza-mento orizzontale e lunghezza della strada: la differenza – vedi figura a fianco – è di pochi metri).

(a)  Indicati con D, CM e RT diametro delle ruote (in cm), coppia motri-ce massima (in kg·m) e rapporto di trasmissione scelto, scrivi la formula che esprime l'intensità F (in kg) della corrispondente forza di spinta del veicolo.

    (b)   Esamina il manuale d'uso di un'automobile e cerca di stabilire

       (1) qual è la massima forza di spinta che esso è in grado di esercitare e

       (2) la massima pendenza che può superare avendo a bordo 4 passeggeri ciascuno dei quali, con il suo bagaglio, pesi 90 kg.

.........................

.........................

.........................

 

Appendice sul ciclo di funzionamento del motore a due tempi

    Nella testata è inserito un dispositivo elettrico che può produrre scintille (candela). Alla parte inferiore del cilindro è saldato un involucro metal-lico (carter) che racchiude biella e manovella e che contiene la miscela (benzina+olio) proveniente in forma nebulizzata dal carburatore.

(A)   A fianco è illustrato schematicamente il mo-mento in cui il pistone è nel punto morto superiore (PMS); nella camera di scoppio (parte interna al cilindro, tra pistone e testata) è presente, molto compressa, una certa quantità di miscela nebu-lizzata.      Esaminiamo le fasi successive:

(B)   La miscela, accesa dalla scintilla scoccata dalla candela, si espande rapidamente spingendo il pistone verso il basso.

(C)   Il pistone, mentre scorre, scopre il foro di scarico S, da cui incominciano a uscire i gas combusti. Contemporaneamente comprime la miscela presente nel carter.

(D)   Il pistone è giunto nel punto morto inferiore (PMI). Nel frattempo ha scoperto il foro di travaso T, attraverso cui parte della miscela è fluita dal carter nella camera di scoppio.

(E)   Il pistone comincia a risalire, andando a chiudere il foro T e iniziando a comprimere la miscela nella camera di scoppio.

(F)   Durante la salita il pistone apre il foro di aspirazione A e risucchia nel carter nuova miscela nebulizzata dal carburatore.

(A)  Il pistone è ritornato al PMS. Nel frattempo la candela ha scoccato la scintilla e la miscela ha iniziato ad accendersi.

     Questo motore viene detto a due tempi perché tutto il ciclo di funzionamento si compie attraverso due corse del pistone: nella 1a (A®D), in discesa (la miscela accesa espandendosi ha spinto il pistone verso il basso), vengono espulsi i gas di scarico e viene immessa nuova miscela nella camera di scoppio; nella 2a (D®A), in salita (l'albero motore, continuando a ruotare, mediante la biella alza il pistone), viene compressa la miscela nella camera di scoppio e ne viene avviata l'accensione.

4. Esercizi

Considera la parte centrale della figura 2. Stima a occhio la pendenza media per passare, proveniendo da ovest, dalla quota di 650 m alla quota di 675 m e quella per passare da 675 m a 700 m.

Considera il disegno riprodotto nella pagina seguente.

(a)    Spiega perché da esso si può dedurre che un'inclinazione di 25° corrisponde a una pendenza del 47% (valore arrotondato a 2 cifre)

(b)   Usando il disegno (e una riga) determina le pendenze che corrispondono a un'inclinazione di 30°, a una di 45° e a una di 60°.

(c)    Viceversa, determina gli angoli di inclinazione che corrispondono a una pendenza del 80%, a una del 120% e a una del 160%.

La tabella a fianco si riferisce al disegno seguente e mette in lu-ce che, se la pendenza (h) non è molto alta, avanzamento orizzon-tale (a) e spostamento lungo la strada (s) differiscono di una quan-tità molto piccola: si deve arrivare alla pendenza del 15% per avere una variazione percentuale che supera l'1% (a=100, s=101.1%).

         Se la strada avanza orizzontalmente di 135 m e ha una pendenza è del 20%, usando la tabella sapresti trovare quanto differisce dall'avanzamento orizzontale la lunghezza della strada?

         Se la strada è lunga 120 m e ha una pendenza è del 20%, sapresti trovare quanto differisce dall'avanzamento orizzontale la lunghezza della strada?

 a        h        s

 100      0       100

 100      5                      100.1249

 100      10                     100.4988

 100      15                     101.1187

 100      20                     101.9804

 100      25                     103.0776

 100      30                     104.4031

 100      35                     105.9481

 100      40                     107.7033

 100      45                     109.6586

 100      50                     111.8034

 100      55                     114.1271

 100      60      116.619

 100      65                     119.2686

 100      70                     122.0656

 100      75      125

 100      80                     128.0625

 100      85      131.244

 100      90                     134.5362

 100      95                     137.9311

 100      100                    141.4214

 

La tabella precedente è stata costruita con il seguente programma:

 

                   [1]  PRINT "a", "h", "s"

           [2]  a=100 : h=0

           [3]  Ciclo:  IF h>100 THEN GOTO Fine

           [4]      s=SQR(a*a+h*h) : PRINT a, h, s

           [5]      h=h+5

           [6]         GOTO Ciclo

           [7]         Fine:  END

     Spiega l'impostazione del programma.

In QB esistono anche le istruzioni WHILE Condizione e WEND. Il loro significato è implicitamente spiegato dal fatto che il programma del quesito 22 dà gli stessi output del seguente:

       [1]  PRINT "a", "h", "s"

    [2]  a=100 : h=0

    [3]  WHILE h<=100

    [4]    s=SQR(a*a+h*h) : PRINT a, h, s

    [5]    h=h+5

    [6]  WEND

   In altre parole le istruzioni WHILE Condizione e WEND delimitano un ciclo di istruzioni che viene eseguito solo se Condizione è vera e viene riese-guito finché perdura la verità di Condizione.

     Completa il programma sottostante a sinistra in modo che dia la stessa uscita del programma a destra. Qual è l'uscita di questi programmi?

[1] n=0 : c=n*n*n

[2] Ripeti: 

[3]    IF not(      ) GOTO Stampa

[4]    n=n+1 : c=n*n*n : GOTO Ripeti

[5] Stampa:  PRINT n

[1] n=0 : c=n*n*n

[2]  WHILE c<100 : n=n+1 : c=n*n*n : WEND

[3]  PRINT n

Sotto sono raffigurate tre porzioni (inventate) di superficie terrestre: un vulcano, un valico che mette in comunicazione tre valli, una collina. Associa a ogni porzione di superficie terrestre la corrispondente carta delle curve di livello e completa l'indicazione delle quote (l'unità di misura con cui sono indicate è il me-tro). Motiva le risposte.

A

B

C

 

Se L è il lavoro prodotto esercitando una forza di intensità di F lungo una traiettoria di lunghezza s, la relazione tra queste tre grandezze è espressa dalla equazione:

               L = s            da cui si ricavano        F = L/s           e        s = L/F

     Se in queste equazioni fissiamo il valore di una delle tre variabili, otteniamo delle formule che ci permet-tono di esprimere le rimanenti due variabili una in funzione dell'altra:

     ad esempio, esprimendo L in kgm, F in kg e s in m, se F=40, abbiamo:  L=4s  e  s=L/40;

     se invece è fissato il lavoro, ad esempio se L=160, abbiamo:  F=160/s  e  s=160/F.

     In un dizionario scientifico, sotto alla voce "proporzionalità", troviamo:

«Date due generiche grandezze x e y, si dice che x e y sono proporzionali (o direttamente proporzionali) se esiste un numero costante k (0) tale che x/y=k. Si dice che sono inversamente proporzionali se esiste un numero costante k (0) tale che x·y=k».

     Completa la seguente tabella (mettendo una crocetta in una delle caselle e completando le frasi a destra).

 

proporzionali

inversamente proporzionali

 

 

fissato F,  L e s sono

Al triplicare di s, L    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Al dimezzarsi di s, L   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fissato s,  L e F sono

Al raddoppiare di F, L    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Al dividersi per 3 di F, L   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fissato L,  F e s sono

Al raddoppiare di s, F  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Al dimezzarsi di s, F  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

In alternativa alle definizioni richiamate nel quesito 25 possiamo dire che due grandezze x e y sono proporzionali se esiste una costante k (0) tale che, al variare di x e di y, sia sempre vera la condizione: y=k·x e che sono inversamente proporzionali se una è proporzionale all'inversa dell'altra, cioè se esiste una costante k (0) tale che, al variare di x e di y, sia sempre vera la condizione: y=.

(a)  Motiva l'equivalenza tra queste e le precedenti definizioni.

(b)  Siano A un disegno e B una sua fotoriduzione di scala fissata. Sia x la distanza tra due punti qualunque di A e sia y la distanza tra i corrispondenti punti di B. x e y sono proporzionali, inversamente proporzionali o nessuna delle due cose?  [traccia: indica con k la scala; si ha: y =… ]

(c)  Sia A un disegno e sia B la fotoriduzione di A che si ottiene con una fotocopiatrice con scala di riproduzione variabile. Sia x la lunghezza che aveva in A un particolare che in B diventa lungo 5 cm e sia y la scala di riproduzione.  x e y sono … [come in (b)] ?   [traccia: indica con k la lunghezza che il particolare assume in B; si ha: k = … ]

(d)  Siano A un disegno e B una sua fotoriduzione di scala fissata. Sia x l'area che aveva una particolare figura in A e sia y l'area della sua riproduzione in B.  x e y sono … [come in (b)] ?   [traccia: indica con k la scala; si ha: y = … ]

Se per allentare un bullone devo applicare sull'impugnatura di una chiave (perpendicolarmente a essa) una forza con intensità di 10 kg e se nel frattempo la mia mano descrive una traiettoria lunga 15cm, quanto lavoro compio?

         Se faccio la stessa operazione con una chiave con impugnatura di lunghezza doppia, quanto lavoro compio? quanta forza devo applicare?

 

Per cavare il tappo nella situazione raffigurata a fianco occorre esercitare sui bracci del cavatappi una forza complessiva di 25 kg. Sapendo che l'arco s1 descritto dalle mani è lungo 15 cm e che lo spostamento s2 del tappo è di 3 cm, deduci quanto vale la forza d'attrito tra tappo e bottiglia.

 

   Considera la figura a lato. Siano Fu l'intensità della forza che esercita verticalmen-te l'uomo, Ft l'intensità della forza d'attrito prodotta dal tappo contro la bottiglia, D la distanza dal perno del punto in cui fa forza la mano, d la distanza dal perno del punto in cui è incernierata la vite del cavatappi. Ovviamente, d è costante.

         Per ognuna delle coppie Fu e Ft, Fu e D, Ft e D (supposta fissata la terza grandezza) stabilisci se c'è una relazione di diretta o di inversa proporzionalità. Motiva la risposta.

 

Perché i ciclisti affrontando salite molto ripide procedono a zig-zag?

Se A è la ruota motrice, qual è il rapporto di trasmissione del mec-canismo a fianco? Quale sarebbe se, invece, la ruota motrice fosse B?

 

Nel caso in cui la trasmissione non avvenga mediante una catena o una cin-ghia, ma per contatto diretto, la rotazione viene invertita. Nel caso a fianco, fis-sato come positivo il verso antiorario, posso dire che se A ruota a 100 giri/min (verso antiorario), B ruota a –300 giri/min (verso orario). Il rapporto di trasmis-sione da A a B è quindi –3; il rapporto di trasmissione da B ad A è, invece, – .

 

 

    Nel caso a fianco, qual è il rapporto di trasmissione se A è la ruota motrice e C è la ruota finale?

    Quale sarebbe se, invece, la ruota motrice fosse C e la ruota finale fosse A?

    Quale sarebbe se la ruota motrice fosse A e la ruota finale fosse una ruota D a contatto diretto con C e uguale ad essa? 

 

 

Il ciclomotore di Rina è dotato di un variatore automatico del rapporto di trasmissione. A fianco è illustrato come funziona questo automatismo (il disegno è sproporzionato: la pulleggia motrice do-vrebbe avere un diametro più piccolo).

          La pulleggia motrice è dotata di un dispositivo che

 

che fa variare la distanza tra i due dischi che la compongono al variare della velocità di rotazione dell'albero motore (vengono sfruttate le variazioni della forza centrifuga): se diminuisce la pendenza della salita il numero di giri al minuto del motore aumenta e i due dischi della pulleggia motrice si avvicinano aumentando il diametro della pulleggia stessa (nel disegno passa da 18 a 35 mm).

     A sua volta la pulleggia condotta è composta da due dischi che si avvicinano/allontanano, facendo variare il diametro della pulleggia, se la cinghia di trasmissione diminuisce/aumenta la tensione. Nel caso del disegno, essendo aumentato il diametro della pulleggia motrice, quello della pulleggia condotta diminuisce (passa da 80 a 63 mm).

     Calcola il rapporto di trasmissione nelle due situazioni raffigurate.

Nella scheda abbiamo usato come unità di misura per la forza il chilogrammo (kg). Ad essere rigorosi avremmo dovuto chiamarlo chilogrammo-forza (kgf) in quanto il chilogrammo è l'unità di misura della massa. La massa di un corpo non dipende dalla posizione del corpo mentre il suo peso, cioè la forza che lo attrae verso il centro della terra, diminuisce all'aumentare dell'altitudine. Non è uguale neanche a parità di altitudine: essendo la Terra leggermente schiacciata, il peso ai poli è minore che all'equatore.

     Per definizione si assume come kgf la forza peso di un corpo di massa pari a 1 kg posto al livello del mare a 45° di latitudine.

     La massa di 1 kg esercita una forza peso che spostandosi ai poli da 1 kgf scende gradualmente fino a 0.997 kgf e che spostandosi all'equatore aumenta gradualmente fino a 1.002 kgf.

     Un corpo che pesa 1kgf al livello del mare all'altitudine di 10000 m assume il peso di 0.9994 kgf.

     Un corpo di massa 1 kg quanto pesa a un'altitudine di 10000 m sopra al polo nord? e alla stessa altitudine sopra all'equatore?  (arrotonda le soluzioni ai grammi-forza)

A fianco sono raffigurati, sovrapposti, alcuni rettangoli di area 4 (se come unità di lunghezza si prende l'unità scelta per gli assi di riferimento) con due lati disposti lungo gli assi di riferimento. Completa, mettendo una opportuna equazione al posto di "…", la seguente descrizione della curva per cui passano i vertici dei rettangoli opposti al punto (0,0).

    {(x,y) :               and x>0 }

Considera l'ingranaggio sotto raffigurato.  Sul sistema di riferimento riprodotto al suo fianco sono state rappresentate tre funzioni che esprimo-no la velocità di rotazione (in giri/min) di B, di C e di D in funzione della

 

velocità di rotazione di A. Associa a ogni funzione il suo grafico e la ruota finale (B,C o D) corrispondente.

                 

 

   A fianco sono rappresentati graficamente i dati relativi allo studio di una macchina semplice, che trasforma una certa forza di intensità x (kg) in una forza minore, di inten-sità y (kg). Ad esempio il primo rettangolino esprime il fat-to che se viene applicata x compresa tra 10 e 12 kg (11 kg) si ottiene y compresa tra 4.2 e 4.6 kg (4.0.2 kg).

        Traccia le due rette di massima e di minima pendenza che passano per tutti i rettangolini.

 

     Le due forze x e y sono direttamente proporzionali.  Utilizzando i due grafici si può ricavare un inter-vallo di indeterminazione per il coefficiente di proporzionalità? Perché? Come?

Da una cartina ricavo che una funicolare ha un percorso rettilineo che si sviluppa orizzontalmente per 850 metri (cioè tale è la lunghezza della sua proiezione su un piano orizzontale). Su una guida della città leggo che tale percorso ha una inclinazione costante di 25°. Utlizza opportunamente la figura seguente (e una riga) per determinare il dislivello superato dalla funicolare e la pendenza del percorso. Spiega come hai proceduto.

1)   Segna con l'evidenziatore, nelle pagine indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei termini:

         curva di livello, p.1              profilo altimetrico, p.2,3                      spezzata, p.5

         lavoro, p.7                           proporzionalità (diretta e inversa), p.15,16

2)    Su un foglio da "quadernone" (che poi inserirai dopo l'ultima pagina della scheda), nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato.

3)    Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefo-no") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso").