Per strada
La matematica per i movimenti e i mezzi di trasporto
Scheda 2
Fuori città in bicicletta o in motorino
0. Introduzione
1. Le pendenze
2. Affrontare le salite
3. Meccanismi che trasformano i movimenti
4. Esercizi
Sintesi
0. Introduzione
Nella
scheda 1 di Per strada abbiamo
considerato gli spostamenti in una zona pianeggiante di piccola estensione,
comprendente la casa e la scuola di Otto Bus. Abbiamo soffermato la
nostra attenzione soprattutto sugli aspetti spaziali (distanze, cambiamenti di
posizione, …), impiegando modelli di tipo geometrico (e algebrico:
formule numeriche, …).
Un'analisi più completa avrebbe preso in considerazione anche i
tempi di percorrenza, le diversità tra un giorno della settimana e
l'altro, …, e avrebbe comportato l'impiego di ulteriori modelli
matematici. In e16 vi viene proposta una serie di attività che
approfondiscono l'analisi della situazione.
Ora esaminiamo una nuova situazione: una gita in bicicletta o in motorino.
1. Le pendenze
Betta
e Rina decidono di fare insieme una gita in campagna, Betta con la sua
bicicletta e Rina con il suo motorino.
Vogliono andare in una
zona nuova, che non conoscono. Per sceglierla consultano alcune cartine.
Per decidere
l'itinerario cercano di tener conto anche del tempo che dovranno impiegare e
delle difficoltà del percorso. Quindi prendono in considerazione non
solo la lunghezza della strada, ma anche le salite che essa presenta: devono
valutare se il ciclomotore di Rina e le gambe di Betta ce la faranno ad
affrontarle e devono tener conto che nei tratti in salita l'andatura
sarà più lenta che nei tratti in pianura.
Alcune cartine sono del
tipo di quella parzialmente raffigurata in figura 1, che presenta l'indicazione sia delle curve di
livello, sia della pendenza dei tratti di strada più ripidi (oltre a
quella delle quote di alcuni posti particolari, come cime, laghi, passi, paesi,
…).
figura 1 [clicca per ingrandire] |
Una curva di livello (o isoipsa, che in greco significa "di uguale altezza") è una linea costituita da punti che rappresentano posizioni della superficie terrestre che sono alla stessa quota sul livello del mare (altitudine). Ad esempio il paesino Pasopra, che è alla quota di 644m, sta nella striscia compresa tra la curva di livello alla quota 625 m e la curva di livello alla quota 650 m.
Una cartina con curve di livello è un modello cartografico che dà un'idea tridimensionale del territorio. In figura 2, a sinistra è raffigurato il plastico che si può ottenere sulla base delle curve di livello della porzione di cartina di fig. 1. Come si vede, si tratta di un plastico a scalini che è solo una approssimazione della forma della superficie terrestre reale. Ad es. la parte piana compresa tra la curva di quota 625 e la curva di quota 650 nella realtà non è piana, ma comprende una superficie che, più o meno gradualmente, passa dalla quota 625 alla quota 650. E non è detto che sia sempre in salita: ad es. la strada dopo Pasopra potrebbe presentare un tratto in discesa per poi risalire fino alla quota 650.
figura 2 | |
[clicca per ingrandire] |
Per avere un'idea di come, nella realtà, varia l'altitudine, si veda in figura 2, a destra, il profilo del rilievo che sorge a ovest del passo; il profilo è visto secondo una sezione che passa per il laghetto più grande e che è evidenziato nella parte bassa della figura.
| Tenendo conto delle altitudini indicate (e aiutandoti con fig. 2) completa fig. 1 mettendo al posto dei punti interrogativi le quote delle corrispondenti curve di livello. |
La carta riprodotta in figura 1 ci dice che, provenendo da sud, l'ultimo tratto
di strada prima del passo ha una pendenza che supera
i 12%
Su una striscia di carta (→ figura 3 a sinistra) faccio due segni per rappresentare la strada
dalla quota di 675 m al passo (che è alla quota di 692 m). Disponendo
la striscia lungo la scala grafica trovo che il tratto di strada
considerato si estende orizzontalmente per circa 125 m.
Quindi, poiché
il dislivello è di 692−675 = 17 m, ho:
pendenza media = (variaz. verticale) / (variaz. orizzontale) = 17/125 =
0.136 =
Ciò è in accordo col segno
[ho arrotondato a due sole cifre; non aveva senso considerare più
cifre in quanto sia 17 che 125 sono valori approssimati; ad esempio se il valore esatto del dislivello
fosse 17.4000… e quello della strada percorsa
orizzontalmente fosse 124.000… avrei ottenuto 17.4/124 = 14.03…%
invece di 13.6%]
Osservo
che aver trovato che la pendenza "media" del tratto considerato
è del 14% non significa che in tutto il tratto ad ogni metro di
avanzamento orizzontale corrispondono 14 cm di innalzamento: vi possono essere
pezzi di strada in cui la pendenza è inferiore e pezzi di strada in cui
la pendenza è superiore.
figura 3 |
|
Betta e Rina hanno
imparato facilmente a leggere sia le curve di livello che le indicazioni del
tipo
Come si può
notare, l'inclinazione del grafico non riproduce fedelmente l'inclinazione
della strada. Ad esempio l'ultimo tratto di salita, che ha una pendenza del
14%, è rappresentato più ripido della strada con pendenza del 50%
raffigurata nell'illustrazione considerata nel quesito 3. Del resto nessuno di
voi ha mai visto strade così inclinate! ( figure 6 e 7 della scheda 2 di La matematica e i
suoi modelli).
figura 4 |
| Il sistema di riferimento impiegato in figura 4 e quello dell'immagine nella parte destra di figura 3 sono monometrici? |
I profili altimetrici non riproducono fedelmente l'angolo di inclinazione di un tratto di strada, cioè l'angolo di cui la strada è ruotata verso l'alto rispetto al piano orizzontale. Del resto neanche l'indicazione numerica della pendenza ci suggerisce immediatamente un'immagine visiva dell'angolo di inclinazione: sappiamo che una pendenza del 100% corrisponde a un'inclinazione di 45°, ma ci è difficile avere un'idea degli angoli corrispondenti a pendenze diverse. Infatti, come abbiamo visto nel quesito 3, non c'è proporzionalità tra angoli di inclinazione e pendenze: al raddoppiare [dimezzare, …] della pendenza non si raddoppia [dimezza, …] l'angolo di inclinazione.
Per trovare, ad
esempio, l'angolo di inclinazione corrispondente a un tratto di strada lungo 5
m e con un dislivello di 2.5 m possiamo procedere così (→ figura 5): • fissiamo una retta orizzontale e un punto Q su di essa; • con un compasso tracciamo un cerchio di centro Q e raggio 5 cm; • con una riga e una squadra tracciamo una retta parallela alla retta già tracciata e distante 2.5 cm da essa, fino a incontrare il cerchio in un punto P; • il segmento che congiunge P con Q ha l'inclinazione voluta; • con un goniometro troviamo che l'angolo di inclinazione è di 30°. | figura 5 | ||
|
figura 6 |
Possiamo ricorre a "metodi grafici" anche per i problemi inversi, ad esempio per trovare la pendenza che corrisponde a un angolo di inclinazione data.
|
Il goniometro verticale (→ figura 7) permette di misurare l' angolo di inclinazione con cui osserviamo un oggetto. Nel caso raffigurato lo sguardo è inclinato di 20°: per inquadrare la cima della montagna dobbiamo inclinare il tubo di 20°; contemporaneamente il filo a piombo ruota di 20°; sul cerchio graduato attaccato alla tavoletta possiamo leggere questa rotazione. |
figura 7 |
[traccia: utilizza figura 6 per trovare la pendenza del mio sguardo; quindi, da questa e dalla distanza in orizzontale, deduci il valore (arrotondato a 2 cifre) del dislivello in metri].
2. Affrontare le salite
Rina e Betta hanno scelto un itinerario che comprende la strada
considerata in figura 1.
Meticolose, le due ragazze vogliono programmare ogni dettaglio. Ad
es. vogliono valutare se a Betta, con la sua bicicletta, al bivio presso
Pasotto convenga prendere la strada a destra o quella a sinistra. Esaminiamo anche noi la situazione.
Innanzitutto
confrontiamo l'avanzamento orizzontale lungo le due strade. Le cartine, infatti, riproducono abbastanza
fedelmente l'avanzamento orizzontale lungo una strada, non la lunghezza della
strada stessa: la superficie terrestre viene "spiaccicata" sul piano
orizzontale, per cui si perde la dimensione verticale.
[qui, ovviamente, parlando di
"orizzontale" e "verticale" non ci riferiamo al foglio di
carta ma allo spazio tridimensionale]
Per la strada a sinistra, che è quasi rettilinea, posso procedere come
in fig. 3 e trovare che tra i due bivi intercorrono 750 (±10) metri.
|
(a) su una striscia di carta tracciate una
sequenza di segmenti allineati lunghi quanto quelli che compongono la
spezzata P1P2…P6
(come in fig. 3, segnate sulla striscia
due tacche in corrispondenza di P1 e di P2; poi ruotate la striscia
intorno a P2 in modo da poter segnare una
tacca in corrispondenza di P3, e
così via). Usando la scala grafica trovate la lunghezza reale in
metri che corrisponde alla distanza tra prima e ultima tacca.
(b) Usando una riga millimetrata trovate la
distanza di P1 da P2 (arrotondata ai millimetri, cioè, posto lo
"zero" della riga su P1,
scegliendo la tacca dei millimetri più vicina a P2;
la
annotate; poi trovate la distanza di
P2 da P3 e la
annotate; e così via. Alla
fine sommate le distanze e trovate, così, un valore che esprime la
lunghezza della spezzata. Con la riga e la scala grafica potete poi trovare la
lunghezza reale in metri.
Confrontate e
analizzate i diversi valori ottenuti e stabilite che misura prendere come
avanzamento orizzontale lungo la strada di destra:
a1 = avanzamento lungo la strada a sinistra = 750 m | a2 = avanzamento lungo la strada a destra = m |
figura 8 |
In
figura 8 sono schematizzate le due strade. s1 e
s2 sono le loro lunghezze, a1 e a2
sono i corrispondenti avanzamenti, h è il dislivello da superare.
Le due strade partono da uno stesso punto e arrivano in uno stesso punto: sono due
modi differenti per superare il dislivello h.
Voglio capire la diversità delle prestazioni (sforzo, fatica, …) necessarie per affrontare il dislivello con le due strade. |
Esaminiamo la situazione a partire da un esempio più semplice (→ figura 9).
In un magazzino le casse vengono sollevate su un soppalco di altezza h a volte con il dispositivo A (una carrucola
fissa), a volte con il dispositivo B (taglia o paranco, che si ottiene agganciando la fune della
carrucola al supporto che la regge e inserendo una rotella dotata di gancio).
A destra è illustrato meglio il dispositivo B.
Con A occorre tirare la
fune di un tratto h, con B
occorre tirarla di un tratto doppio: tirando la fune per 50 cm la
rotella mobile si alza di soli 25 cm. Infatti il tratto di fune tirato si
distribuisce su due tratti verticali.
In ogni caso, sia col dispositivo A che col dispositivo B, l'effetto è
l'innalzamento della cassa di un dislivello h.
Se P è il peso della cassa, in fisica questo effetto viene espresso dicendo
che: è stato
prodotto un lavoro pari a
Ad esempio se la cassa
pesa 40 kg e il dislivello è di 4 m, il lavoro prodotto per sollevare la
cassa sul soppalco è: 40·4 = 160 kgm. Il simbolo kgm indica l'unità di misura
chilogrammetro: è il lavoro per sollevare di 1 m un peso di
1 kg.
Se la cassa pesasse 20 kg il lavoro prodotto sarebbe la metà:
20·4 = 80 kgm. Se la cassa pesasse 60
kg, cioè il 50% in più, anche il lavoro sarebbe il 50% in
più, cioè 60·4 =
240 kgm invece di 160 kgm.
Il lavoro varia proporzionalmente anche al dislivello: se il dislivello fosse la
metà, cioè
Il lavoro è stato definito come P·h proprio perché fosse proporzionale
sia al peso P che al dislivello h.
Nota. Sto esprimendo le forze in chilogrammi e il lavoro in chilogrammetri, come si fa
spesso nelle applicazioni quotidiane. Nelle scienze fisiche, invece, occorre tener conto che il chilogrammo
viene usato per misurare le masse degli oggetti: a seconda di dove essi sono collocati (al livello del mare, su un aereo
o sulla luna) possono essere attratti verso il centro (della terra o della luna) con una forza maggiore o minore.
Si usa, allora, il Newton, che corrisponde circa alla forza con cui, al livello del mare, è attratta verso il centro della terra
una massa di circa
| Gino, per fare uno scherzo a Luisa, la prende sotto alle ascelle e la solleva di circa 50 cm. Enrico, copione, fa lo stesso scherzo a Paola, sollevandola di circa 40 cm. Luisa pesa 54 kg, Paola 62. Quindi Enrico ha sollevato un peso maggiore. Ha anche prodotto più lavoro? |
Ritornando
al magazzino, posso dire che con entrambi i dispositivi il lavoro
prodotto è
Nel caso A l'uomo deve tirare la
fune di un tratto h. La forza F1 che applica viene trasmessa uguale dalla fune,
per cui
Nel caso B l'uomo deve tirare la fune
di un tratto doppio, cioè pari a h·2. Quindi produce un lavoro
In modo più espressivo, posso dire che:
il dispositivo B permette di distribuire il
lavoro da generare su una |
| Quali svantaggi e quali vantaggi può avere il dispositivo B rispetto al dispositivo A? |
Nota 1. Studiando la situazione "sollevamento casse" abbiamo costruito
un modello fisico di essa: abbiamo introdotto il concetto di lavoro
con un significato ristretto
rispetto a quello impiegato nel linguaggio comune. Abbiamo fatto anche varie astrazioni. Ad esempio abbiamo supposto che l'energia meccanica (lavoro) prodotta dall'uomo venisse trasmessa integralmente dai due dispositivi, mentre in realtà un po' di energia si disperde a causa degli attriti (si trasforma in energia termica, cioè in riscaldamento delle rotelle, delle aste attorno a cui ruotano, …). C'è senza dubbio un legame tra fatica dell'uomo e lavoro che egli produce: se aumentano il peso della cassa o il dislivello aumenta la fatica. Tuttavia l'uomo consuma più energia dell'energia meccanica che produce. Ad ee. se a metà del dislivello l'uomo si ferma per riposare un po', in questo frattempo continua a consumare energia, anche se in quantità minore: per tenere stretta la fune deve mantenere i muscoli delle mani e delle braccia in contrazione, per stare in posizione eretta deve agire su altri muscoli, … e, comunque, deve usare un po' di energia per azionare il cuore, i polmoni, …. Analogamente c'è un legame tra sforzo che devo fare per sorreggere un oggetto e forza che devo applicare. Ma, a parità di peso, a seconda della posizione in cui mi metto faccio uno sforzo maggiore o minore. Infatti il corpo umano è una macchina assai complessa: al variare della posizione, le forze che devono esercitare i vari muscoli cambiano e cambia il modo in cui parte di esse vengono "scaricate" sulle strutture portanti (ossa delle gambe, del tronco, …). |
Nota 2. Generalizzando il caso del sollevamento dei pesi, data una forza di intensità costante F che (trainando o spingendo un oggetto) produce un movimento (man mano diretto come la forza) con traiettoria lunga s, viene chiamato lavoro fatto dalla forza il prodotto F·s.
Le macchine semplici (
scheda 1 di La
automazione) sono macchine che, come il paranco del nostro esempio, trasformano il
movimento prodotto dall'operatore in un altro movimento, in modo da
cambiare forma al lavoro. |
|
Alla
luce di quanto osservato (il dispositivo B distribuisce il lavoro su una
traiettoria più lunga in modo che si deve tirare la fune con una forza
minore), provate a discutere il problema iniziale, cioè a confrontare le
difficoltà delle due strade che congiungono Pasotto a Pasopra
|
Determiniamo la forza di spinta F che deve produrre la
bicicletta di Betta in funzione della lunghezza della strada s nel caso in cui Betta e bici pesino in tutto 62 kg.
Nell'ipotesi
irrealistica che la bicicletta possa procedere verticalmente, essa
eserciterebbe una forza verticale di 62 kg per un tratto pari al
dislivello h. Procedendo
per una strada il lavoro viene distribuito su un tratto di lunghezza maggiore,
per cui è minore la forza di spinta F da esercitare.
Se la lunghezza della strada è s, il fattore di riduzione è
lavoro = F·s = peso·h → F = peso·h/s | |
[Nel supporre che F·s sia uguale a peso·h sto trascurando l'energia che la bicicletta impiega per vincere la resistenza dell'aria, le piccole asperità del terreno, …, energia che aumenta all'aumentare di s] |
Con il teorema di Pitagora posso trovare il valore di s (in metri) relativo alle due strade. Per la più breve ho:
s1 = √(a1² + h²)
= √(750² + 55²) = √(565525) = 752.01
= [arrotondando] 750
[ho arrotondato alle decine di metri in quanto anche a1 era così arrotondato]
Dunque, con una pendenza come questa (55/750 = 7.3%), l'avanzamento orizzontale e quello lungo la strada sono praticamente indistinguibili: entrambi sono arrotondabili a 750 m. A maggior ragione anche nel caso della strada con minore pendenza (55/1250 = 4.4%) posso confondere a2 con s2 e quindi prendere s2 = 1250.
Per trovare la forza di spinta F1 (in kg) che la bicicletta deve produrre nel caso della strada lunga s1 posso usare il grafico di F in funzione di s (F = peso·h/s = 62·55/s = 3410/s). Ricavo che in corrispondenza di s = 750 si ha F pari circa a 5. Con la formula ottengo: F1 = 3410/s1 = 3410/750 = 4.546 = [arrotondando] 4.5.
|
3. Meccanismi che trasformano i movimenti
Riassumiamo quanto
abbiamo visto finora:
• Le caratteristiche di una strada in salita possono essere espresse numericamente
in due modi:
indicando la pendenza,
cioè il rapporto tra dislivello superato e corrispondente avanzamento in
orizzontale,
indicando l'angolo di inclinazione.
• È facile passare dall'uno all'altra e viceversa con metodi grafici (→
figura 11):
ad es. posso trovare che a 20° di inclinazione corrisponde
la pendenza 3.6/10 = 0.36 = 36% (valore approssimato),
viceversa posso trovare che alla pendenza del 14% corrisponde
un'inclinazione di 8° (valore approssimato).
figura 11 |
• Il
lavoro (energia meccanica) che la bicicletta (o un altro mezzo di trasporto)
deve produrre per superare la salita è direttamente proporzionale al
dislivello.
[ciò
vale se trascuriamo l'incidenza della resistenza dell'aria e di altri fattori,
che disperdono energia in quantità che dipende anche dalla lunghezza del
percorso seguito]
• A parità di dislivello h, la
forza F di spinta che la bicicletta (o un altro mezzo di trasporto) deve esercitare lungo la direzione
della strada è tanto minore quanto più lunga è la strada s:
F = peso·h/s.
Nel caso di Betta (), la forza di spinta della bicicletta lungo le due diverse strade sarebbe:
s1 = 750 m (pendenza 7.3%) F1 = 4.5 kg | s2 = 1250 m (pendenza 4.4%) F2 = 2.7 kg. |
| Riferendovi a vostre esperienze, ritenete che tali valori coincidano con la forza che Betta deve esercitare sui pedali o no? |
Prima di affrontare con
calcoli e con ragionamenti più rigorosi la risoluzione di un problema
è bene, in tutti i casi in cui è possibile, cercare di fare una
stima intuitiva dei risultati. Ciò può essere utile anche nel
guidarci nella risoluzione. In ogni caso, alla fine, è opportuno
controllare la sensatezza dei risultati ottenuti. Ad esempio se con un
particolare procedimento trovassimo che la forza che Betta deve esercitare sui
pedali è di circa 1 kg ciò contraddirebbe le considerazioni
affrontate nel quesito 14: la forza da esercitare deve essere dell'ordine di
grandezza delle decine di chilogrammi.
La spiegazione del
fatto che la forza da esercitare sui pedali è maggiore della forza di
spinta effettivamente prodotta è semplice:
se il pedale percorre una traiettoria lunga s1
la bicicletta percorre un tratto di strada s2
maggiore di s1,
per cui l'intensità F2
della forza di spinta generata nel punto di contatto tra ruota posteriore e terreno
è inferiore all'intensità F1
della forza esercitata. Precisiamo quantitativamente queste considerazioni.
figura 12 s2= s1·6 F2= F1/6 |
In figura 12 è disegnata la bicicletta di Betta:
• la moltiplica ha il triplo di denti del rocchetto, per cui la ruota posteriore ad ogni pedalata fa 3 giri, cioè ha velocità di rotazione tripla di quella dei pedali;
• il pedale è lungo 17 cm, per cui con una pedalata viene percorsa una traiettoria circolare con diametro di 34 cm; il diametro della ruota posteriore della bici è di 68 cm; la circonferenza della ruota è perciò 2 volte la circonferenza della pedalata.
|
|
Quindi il lavoro prodotto con una pedalata è distribuito su un traiettoria doppia che viene ripetuta 3 volte, cioè su un percorso che è 2·3 = 6 volte il percorso del pedale. La forza di spinta è perciò 6 volte più piccola della forza esercitata sul pedale. In conclusione:
F2 = F1/6 ovvero: F1 = F2·6
|
Qual è l'intensità della forza (arrotondata ai kg) che Betta deve
esercitare sui pedali nei due casi? nel caso della strada 1: kg nel caso della strada 2: kg |
Nel caso della strada 1
occorre esercitare una forza di quasi 30 kg, nel caso della strada 2 ne bastano
poco più di 15. Se non si vuole fare troppo sforzo conviene decisamente
questa strada.
Nel caso la bicicletta sia dotata di cambio (
scheda 1 di La automazione) si può modificare il fattore per cui viene moltiplicata
la velocità di rotazione. Vedi qui se sei interessato ad approfondire
l'argomento.
Approfondimenti
Consideriamo, ora,
il motorino di Rina.
Certamente non
avrà problemi per il tratto di strada che congiunge Pasotto e Pasopra:
Rina ha già affrontato più volte salite del genere.
Qualche problema potrebbe esserci per
l'ultimo pezzo di strada prima del passo, che ha una pendenza media del 14% e
potrebbe presentare qualche tratto con una pendenza superiore:
se Betta, anche con il rapporto di
trasmissione più basso, non ce la facesse, potrebbe sempre spingere a
mano la bicicletta; un altro conto sarebbe spingere il ciclomotore.
Il ciclomotore ha un motore monocilindrico a due tempi. Vediamo
come funziona.
In un cilindro metallico, chiuso superiormente da un coperchio
(detto testata del motore),
può scorrere un pistone che, mediante un'asta mobile (biella), può
far ruotare l'albero motore (l'albero su cui è inserita la puleggia motrice che, mediante una cinghia,
trasmette il movimento alla puleggia fissata alla ruota posteriore del
ciclomotore). La sporgenza dell'albero
motore che si incerniera con la biella viene chiamata manovella. Il movimento (in su e in giù) del pistone è generato da ripetute esplosioni di benzina nebulizzata che avvengono nella parte superiore del cilindro, come è spiegato in dettaglio nell'appendice alla fine del paragrafo. |
A ogni posizione della manovella corrisponde una determinata posizione del pistone. Quindi se la manovella, ovunque si trovi, compiendo 1, 2, 3, … giri ritorna sulla stessa posizione, anche il pistone ritorna alla stessa quota. Ad es., se la manovella è ruotata di 240° rispetto alla direzione verticale in alto, dopo 1 giro (rotazione di altri 360°, cioè di 240°+360° = 600°), dopo 2 giri (rotazione di 600°+360° = 960°), il pistone ritorna nella stessa posizione. Ciò dà luogo a un grafico costituito da un tratto di linea che si ripete periodicamente in forma immutata.
|
Il motorino è
dotato di variatore automatico ( scheda 1 di La automazione)
per cui, all'aumentare della pendenza, passa
automaticamente a un rapporto di trasmissione più basso.
In base alle caratteristiche descritte sulle istruzioni d'uso
sappiamo che la massima forza di spinta in uscita è di 35.5 kg. Supponiamo
che il peso di Rina e del ciclomotore sia di 130 kg.
| Usando le informazioni precedenti spiega perché Rina con il suo motorino può affrontare una strada che supera un dislivello di 27 m con un tratto lungo 100 m, cioè una strada con pendenza circa del 27%. |
4. Esercizi
| |||||||||
|
a h s 100 0 100 100 5 100.1249 100 10 100.4988 100 15 101.1187 100 20 101.9804 100 25 103.0776 100 30 104.4031 100 35 105.9481 100 40 107.7033 100 45 109.6586 |
100 50 111.8034 100 55 114.1271 100 60 116.619 100 65 119.2686 100 70 122.0656 100 75 125 100 80 128.0625 100 85 131.244 100 90 134.5362 100 95 137.9311 100 100 141.4214 |
Essa
mette in luce che, se la
pendenza (h) non è molto
alta, avanzamento orizzontale (a)
e spostamento lungo la strada (s)
differiscono di una quantità molto piccola: si deve arrivare alla
pendenza del 15% per avere una variazione percentuale che supera l'1% (a=100,
s=101.1%).
Se
la strada avanza orizzontalmente di 135 m e ha una pendenza è del 20%,
usando la tabella sapresti trovare quanto differisce dall'avanzamento orizzontale la lunghezza della
strada? Se
la strada è lunga 120 m e ha una pendenza è del 20%, sapresti trovare
quanto differisce dall'avanzamento orizzontale?
| La tabella precedente può essere ottenuta con l'allegato programma R o con l'allegato programma JS. Prova a generarla con uno dei due programmi e spiega l'impostazione di esso. |
| Sotto sono raffigurate tre porzioni (inventate) di superficie terrestre: un vulcano, un valico che mette in comunicazione tre valli (i tratteggi rappresentano sentieri che provengono da esse), una collina. Associa a ciascuna di esse la corrispondente carta delle curve di livello e completa l'indicazione delle quote (l'unità di misura con cui sono indicate è il metro). Motiva le risposte. |
A | B | C |
1 | 2 | 3 |
|
Se L è il lavoro prodotto esercitando una forza di
intensità di F lungo una traiettoria di lunghezza s, la
relazione tra queste tre grandezze è espressa dalla equazione: L = F·s da cui si ricavano F = L/s e s = L/F Se in queste equazioni fissiamo il valore di una delle tre variabili, otteniamo delle formule che ci permettono di esprimere le rimanenti due variabili una in funzione dell'altra: − ad esempio, esprimendo L in kgm, F in kg e s in m, se F=40, abbiamo: L=40·s e s=L/40; − se invece è fissato il lavoro, ad esempio se L=160, abbiamo: F=160/s e s=160/F. In un dizionario scientifico, sotto alla voce "proporzionalità", troviamo: |
«Date
due generiche grandezze x e y, si dice che x e y sono proporzionali (o direttamente proporzionali)
se esiste un numero costante k (≠0) tale che x/y=k. Si dice che sono inversamente
proporzionali se esiste un
numero costante k (≠0) tale che x·y=k».
Completa la seguente tabella (mettendo una crocetta in una
delle caselle e completando le frasi a destra).
Proporzionali | Inversam. proporz. | ||
fissato F, L e s sono | Al triplicare di s, L
Al dimezzarsi di s, L | ||
fissato s, L e F sono | Al raddoppiare di F, L
Al dividersi per 3 di F, L | ||
fissato L, F e s sono | Al raddoppiare di s, F
Al dimezzarsi di s, F |
| In alternativa alle definizioni richiamate nel quesito e6 possiamo dire che due grandezze x e y sono proporzionali se esiste una costante k (≠0) tale che, al variare di x e di y, sia sempre vera la condizione: y=k·x e che sono inversamente proporzionali se una è proporzionale all'inversa dell'altra, cioè se esiste una costante k (≠0) tale che, al variare di x e di y, sia sempre vera la condizione: y=1/x·k. |
(a) | Motiva l'equivalenza tra queste e le precedenti definizioni. |
(b) | Siano A un disegno e B una sua fotoriduzione di scala fissata. Sia x la distanza tra due punti qualunque di A e sia y la distanza tra i corrispondenti punti di B. x e y sono proporzionali, inversamente proporzionali o nessuna delle due cose? [traccia: indica con k la scala; si ha: y =…] |
(c) | Sia A un disegno e sia B la fotoriduzione di A che si ottiene con una fotocopiatrice con scala di riproduzione variabile. Sia x la lunghezza che aveva in A un particolare che in B diventa lungo 5 cm e sia y la scala di riproduzione. x e y sono … [come in (b)]? [traccia: indica con k la lunghezza che il particolare assume in B; si ha: k = …] |
(d) | Sia A un disegno e sia B una sua fotoriduzione di scala fissata. Sia x l'area che aveva una particolare figura in A e sia y l'area della sua riproduzione in B. x e y sono … [come in (b)]? [traccia: indica con k la scala; si ha: y = …] |
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(1) Se A è la ruota motrice, qual è il rapporto di trasmissione?
Quale sarebbe se, invece, la ruota motrice fosse B?
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