Sintesi-riassunto delle schede per le classi terza, quarta e quinta
Terza - Per il "quadro" delle schede vedi qui - Per un'indice vedi qui, per quello del 1º bienno vedi qui
Le schede, rispetto a quelle del biennio, sono più brevi
e con organizzazione più di tipo "matematico". Nel biennio
l'articolazione è in gran parte di tipo "tematico generale",
per dare/costruire l'idea di come la matematica si sia originata e
si sia intrecciata ad altre aree conoscitive. Nel triennio, invece,
si può sviluppare maggiormente per vie interne (fatti salvi
alcuni gli intrecci con la fisica, che sono stati previsti per tutte le classi, anche
se con gestioni diverse a seconda delle scuole - le "tecniche" e i "licei").
Gli esempi e le applicazioni sono di più piccole dimensioni,
in parte lasciati nella parte esercizi o in sezioni accessibili degli
Oggetti Matematici (che per il triennio sono articolati in voci di
maggiori dimensioni e secondo criteri più interni alla matematica) o in altro
materiale inserito in modo opportuno nelle schede o tra gli esercizi.
Le schede di lavoro possono essere svolte con alcune priorità
diverse da quelle suggerite; la cosa verrà spiegata più avanti.
Gli Oggetti Matematici sono stati in piccola
parte riorganizzati in modo da mettere in luce meglio le parti di
alcune voci che possono essere utilizzate in due tempi.
Come quelle del biennio, le schede sono organizzate in modo da prevedere
molti esercizi da affrontare durante lo svolgimento e contengono una
sezione finale di esercizi. Come per il biennio, a questi esercizi se ne affiancano altri in apposite sezioni
(estratti dagli esercizi degli Oggetti Matematici).
Le schede sono uniche per tutte le classi, con paragrafi o parti evidenziate che
contengono approfondimenti tecnici e/o culturali che sono affrontabili
solo in alcune classi o tipi di scuole.
Si è scelta questa strada
in quanto più corrispondente a quelli che, secondo noi, dovrebbero
essere i criteri didattici generali che dovrebbero articolare lo sviluppo
dei programmi.
Nelle guide non si è più specificato quali parti è meglio siano
svolte collettivamente, quali singolarmente, quali siano da intendere come traccia di lavoro
per l'insegnante, che gli alunni possono poi usare per rivedere le cose:
queste scelte possono variare da classe a classe, e in base al metodo di insegnamento
del docente.
Alcune argomenti specifici per alcuni tipi di scuola sono affrontati in alcune schede aggiuntive presenti nel materiale
per la classe quinta.
Per quanto riguarda le scelte culturali, ovviamente, il calcolo differenziale e
integrale vengono avviati in classe terza (tagliando molte delle cose obsolete,
e inutilmente complicate, presenti tuttora in molti libri di testo), per alcune
classi di funzioni (le funzioni polinomiali e, poi, la funzione esponenziale),
rinviando alle classi quarta e quinta una sistemazione più organica ed estesa
(rinviando, poi, a chi proseguirà gli studi in facoltà
scientifiche, ulteriori approfondimenti e generalizzazioni).
Cose analoghe (sistemazione da riprendere in classi successive) accadono per
altri concetti: le funzioni circolari, le coniche, lo spazio tridimensionale, …,
in una logica di "ripresa a spirale" degli argomenti.
Per quanto riguarda il software, ci si è spostati più decisamente
sull'uso di software gratuito e operante su tutte le piattaforme:
R (programmabile, per cui
si sono preparati help, esempi d'suo, …),
JavaScript (per piccole attività gestibili direttamente
dalle schede e dal materiale presente sul browser) e
WolframAlpha (per singoli calcoli
numerici e simbolici, di quasi ogni tipo - oltre che richiami teorici, esempi d'suo, … in inglese;
si è predisposta una guida dettagliata al suo uso; esso potrebbe essere usato anche per
la conduzione di corsi di matematica in "lingua inglese"), oltre che,
per qualche semplice attività, Cinderella o GeoGebra.
Le varie schede prevedono link a parti di scehede del primo biennio, per riprese
di argomenti o per gli eventuali
alunni "nuovi" (o per le classi che nel biennio hanno lavorato con
altra impostazione). Le sezioni degli Oggetti Matematici del primo biennio
sono comunque articolate in modo da essere utilizzabili per veloci ripassi
(quelle del triennio finale sono invece spesso più corpose delle schede
di lavoro, e sono utlizzabili anche per eventuali approfondimenti).
Ovviamente, permane la possibilità di non adottare
libri di testo (vedi) usando come riferimento
alternativo le schede di lavoro MaCoSa (o, in alternativa, gli Oggetti Matematici,
od altro materiale didattico).
Ecco, in breve, l'articolazione della schede:
IL CONCETTO DI LIMITE
Richiami di funzioni e successioni, avvio al concetto di limite,
ripresa e risistemazione del concetto di continuità. Il concetto di limite
viene ripreso, oltre che negli esercizi, nelle schede successive.
LA DERIVAZIONE DI FUNZIONI
– Funzioni a scalini ed altre funzioni con punti di nonderivabilità
(e con punti in cui non sono definite).
– Derivazione (funzioni polinomiali: prima quadratiche e poi ...).
– Si sono previsti due paragrafi finali, affrontabili ora
o dopo, a seconda del percorso seguito dalle classi (dopo la scheda sull'avvio all'integrazione, o
all'inizio della classe 4ª):
• cenni alla derivazione delle funzioni circolari (si metteranno materiali
aggiuntivi per approfondimenti affrontabili nelle ore di fisica; l'argomento
viene ripreso poi in una scheda successiva);
• cenni alla funzione esponenziale, poi ripresa in statistica
(discorso sui rapporti tra forma del grafico della funzione e
forma di quello della funz. derivata; far fare a "scatola nera" la derivata dell'esponenziale,
congetturando quel che accade graficamente/numericamente; si possono prevedere
attività aggiuntive messe sotto forma di "esercizi di approfondimento").
FIGURE PIANE
Aree di poligoni e cerchi. Teoremi significativi sui triangoli.
Implicita introduzione all'integrazione definita. Volendo la prima o entrambe le schede
possono essere anticipate all'inizio della terza.
GLI INTEGRALI
Integrazione delle funzioni polinomiali. Motivazioni ed enunciazione
del Teorema Fondamentale dell'analisi (con approfondimenti facoltativi).
Integrazione della funzione esponenziale (dopo l'eventuale conduzione
della parte finale di "la derivazione di funzioni").
QUALE MATEMATICA PER I FENOMENI CASUALI?
Gli indici di posizione e dispersione. Le leggi di distribuzione,
dal discreto al continuo (può essere anticipata rispetto
alla scheda precedente (sono presenti richiami ad essa ed è
eventualmente previsto l'uso di software per far fronte ad argomenti non
ancora affrontati); esempi anche di dimensione
abbastanza ampia saranno inseriti nella banca di esercizi n. 16). I paragrafi iniziali
della successiva scheda sul "teorema limite centrale" possono essere anticipati.
Alcune parti di calcolo di derivate e integrali possono essere (in prima battuta) scaricate sul
software (R o WolfamAlpha).
LE FUNZIONI CIRCOLARI
Derivazione e integrazione delle funzioni circolari (senza ulteriori
sviluppi delle tecniche di integrazione), studio del moto armonico, ...;
sono presenti collegamenti a parti già presenti come facoltative
nel §7 della scheda sulla derivazione e nel §4 di quella sulla integrazione,
seguiti da considerazioni sul moto armonico [la scheda è rinviabile
alla 4ª].
IL TEOREMA LIMITE CENTRALE
Cenni al teorema limite centrale, alla gaussiana e al ruolo
dello scarto quadratico medio: questa parte, svolta in modo abbastanza
euristico, ha l'obiettivo di introdurre criticamente l'uso
dello scarto quadratico medio (in quasi tutti i libri di matematica
e di fisica introdotto con gravi errori concettuali); in particolare
viene introdotto in relazione a possibili impieghi nell'ambito
di attività di misurazione ad alta sensibilità. Verrà
ripreso nelle classi successive. Questa scheda, a seconda delle esigenze,
potrà essere svolta prima di quella sulle funzioni circolari. La distribuzione
binomiale viene introdotta all'inizio di questa scheda.
LA PROSPETTIVA
Questa parte si riferisce alle problematiche della rappresentazione
piana di figure tridimensionali. Ha evidenti intrecci con la
storia dell'arte e con le discipline grafiche. È qui collocata
alla fine della terza, ma può essere svolta anche prima
dell'avvio alla integrazione. (nella scheda sono avviate alcune riflessioni
sulle "coniche", che saranno poi sviluppate in quarta).
Quarta - Per il "quadro" delle schede vedi qui - Per un'indice vedi qui, per quello del 1º bienno vedi qui
Per un quadro complessivo dell'impostazione contenutistica e didattica
delle schede per le classi terza, quarta e quinta rinviamo alla introduzione svolta per la
classe terza.
Ecco, in breve, l'articolazione della schede per la quarta:
LE FUNZIONI ESPONENZIALE E LOGARITMO
Richiami delle schede della classe 3ª in cui sono state introdotte tali funzioni.
Esempi di crescita esponenziale (di una popolazione, di un deposito in banca) e di diagramma
in scala logaritmica (soglia dell'udito).
Le funzioni esponenziali e logaritmiche, la loro derivazione e la loro integrazione.
Cenni alla derivazione delle funzioni composte e del prodotto di funzioni.
Equazioni e disequazioni con esponenziali e logaritmi. Approfondimenti.
INFINITI E INFINITESIMI
A partire da esempi, vengono introdotti gli ordini di infinito e di
infinitesimo e notazioni per l'equivalenza asintotica. Vengono introdotte
approssimazioni polinomiali delle funzioni circolari, esponenziali e logartimiche.
Come approfondimento viene introdotto l'uso del differenziale per approssimare il
comportamento di una funzione attorno ad un punto.
I VOLUMI
Dopo un "ripasso" sugli usi dei numeri reali per rappresentare
le misure di grandezze fisiche, vengono affrontate tecniche
matematiche per calcolare il volume di cilindri, coni, sfere e poliedri.
LE CONICHE
Viene ripreso lo studio di parabole, ellissi ed iperboli avviato nelle classi precedenti.
Questo studio viene quindi unificato interpretandole sia come sezioni coniche
che come equazioni di polinomi di 2º grado. Vengono quindi approfondite
le applicazioni e le rappresentazioni matematiche dei tre tipi di coniche.
Come approfondimento viene messo a fuoco il concetto di eccentricità.
I VETTORI TRIDIMENSIONALI
I vettori tridimensionali ed alcune loro applicazioni a problemi
di natura geometrica e di natura fisica. Come approfondimento
viene discusso il loro uso per rappresentare rette e piani.
ALTRE LEGGI DI DISTRIBUZIONE
Dopo la presentazione del concetto di funzione di ripartizione,
vengono messe a fuoco le leggi esponenziale e di Poisson, e discussi
i loro usi per modellizzare diversi tipi di problemi.
SISTEMI DI VARIABILI CASUALI
Dopo una ripresa dei concetti di dipendenza ed indipendenza stocastica,
vengono introdotte le funzioni di distribuzione bivariata, le loro
rappresentazioni grafiche e i concetti di covarianza, correlazione e regressione. Tutto ciò
è illustrato attraverso vari esempi. Gli argomenti verranno ripresi
nella classe 5ª.
Quinta - Per il "quadro" delle schede vedi qui - Per un'indice vedi qui, per quello del 1º bienno vedi qui
Per un quadro complessivo dell'impostazione contenutistica e didattica delle schede per le classi terza, quarta e quinta rinviamo alla introduzione svolta per la classe terza. Per l'articolazione della schede per la quinta rinviamo alle Guide