Come impostare l'insegnamento della matematica?

Finalità che dovrebbero avere i percorsi didattici per l'insegnamento della matematica

(1)  È necessaria un'attività di programmazione che disarticoli e riaggreghi i temi (elencati nei programmi scolastici) in itinerari didattici che colgano le interazioni tra i vari temi, ne sfruttino le reciproche motivazioni e occasioni di esercizio e consolidamento tecnico, realizzino economie e sinergie fondendo o integrando argomenti matematici diversi  (l'uso delle coordinate comporta attività con numeri, operazioni, formule  e offre possibilità per introduzioni alternative e più efficaci di molti concetti geometrici,  l'uso della nozione di funzione permette di semplificare e raccordare vari concetti, … per non parlare delle possibilità che offre l'uso dei mezzi di calcolo).

(2)  Temi come la statistica, la probabilità, l'uso dei mezzi di calcolo creano spesso problemi a chi insegna in quanto il loro sviluppo necessariamente deve passare attraverso attività di matematizzazione  (ogni problema statistico o probabilistico comporta la modellizzazione di un "fenomeno" casuale,  rappresentare con del software un oggetto o una situazione matematica comporta la sua comprensione e traduzione in un nuovo linguaggio formale, …).

(3)  La natura della matematica e dei suoi modelli  (caratteristiche dei modelli matematici rispetto ai modelli organizzati nelle altre discipline,  organizzazione interna della disciplina,  ruolo delle definizioni e delle argomentazioni in matematica, …)  sono comprensibili gradualmente attraverso la costruzione di una rete complessa di riferimenti culturali ed esperienziali.

Impostazione dei percorsi didattici

(4)  Queste sono, sostanzialmente, le indicazioni che emersero dai vari nuovi programmi per i diversi livelli scolastici messi a punto negli ultimi vent'anni del XX secolo, ma già nella premessa dei precedenti programmi per i licei classico e scientifico (1945) si leggeva:   «[…]  seguendosi il metodo delle approssimazioni successive, perché la consapevolezza delle parole, dei concetti, delle proprietà, dei ragionamenti si consegue a poco a poco, per gradi insensibili.  E conviene, per tenere sempre vivo l'interesse ai successivi sviluppi, dare largo posto all'intuizione, al senso comune, all'origine psicologica e storica delle teorie, alla realtà fisica, agli sviluppi che conducono ad affermazioni pratiche immediate, mettendo da parte le nozioni statiche e rigide, e quelle puramente logiche, ma che astraggono da ogni impulso intuitivo. […] Metodo dunque intuitivo-dinamico, in stretto contatto col processo storico, senza esclusivismo di vedute, perché solo così il patrimonio spirituale acquistato nella scuola media inferiore può essere veramente ripreso, evoluto e rafforzato nella scuola dell'ordine superiore».  E nei programmi "De Vecchi" del 1936 si leggeva:   «In ogni ordine di scuola e per qualunque disciplina gli insegnanti mirino sempre al conseguimento della necessaria unità d'insegnamento. Non debbono esistere a scuola "compartimenti stagni": nessuna materia fa parte per se stessa.» e «[l'insegnamento deve essere] sempre sussidiato dall'intuizione […] In ogni tipo di scuola e per ogni grado, l'insegnamento deve essere integrato da numerosi, semplici e appropriati esercizi che valgono a fissare definizioni e proprietà, a percepire legami, a sviluppare le facoltà inventive degli alunni, a dare a questi la sensazione di quello che essi effettivamente valgono.»  Sempre in questi programmi nei licei scientifici per la classe prima era previsto che si affrontassero numeri reali, piano cartesiano e funzioni e, per la classe terza, limiti e derivate  [ci sono insegnanti che ai nostri giorni affrontano questi concetti all'ultimo anno delle superiori!!!].

(5)  Per realizzare l'intreccio tra le riflessioni interne e l'uso di modelli matematici occorre organizzzare l'insegnamento in itinerari didattici di ampio respiro,
    riferiti a situazioni "reali" in cui introdurre, sviluppare, … modellizzazioni di tipo matematico, facendo anche riferimento a concetti di altre discipline  (in genere le applicazioni della matematica sono mediate dai modelli delle altre discipline: la matematica non ha in sé tutti gli strumenti per "contatti fisici" diretti),
    e  (in particolare a partire dalla scuola secondaria)  riferiti a temi esplicitamente matematici  (riflessioni sulla disciplina "matematica":  linguaggi per descrivere i vari tipi di modelli, generalizzazioni, proprietà dei modelli, relazioni tra modelli matematici diversi, modelli matematici che astraggono proprietà di altri modelli matematici, …).

(6)  Come obiettivi prioritari dell'insegnamento della matematica possiamo assumere  (con evidenti differenze fra i vari livelli scolastici):

a)	rendere gli alunni consapevoli del ruolo e della natura dei modelli matematici
b)	far loro raggiungere un certo livello di abilità nell'applicare, elaborare, confrontare modelli matematici  (con attività da riferire al modo in cui si fa e si usa la matematica ai nostri giorni:  delega ai mezzi di calcolo degli aspetti più meccanici,  capacità di orientarsi, di scegliere i modelli matematici appropriati, di consultare manuali, … più che saper far calcoli "meccanici" e ricordare "ricette")
c)	renderli consci delle interazioni  (oggi e nella storia)  della matematica con il "resto",
d)	far percepire la scuola come sede di formazione culturale,
e)	concorrere all'educazione a leggere, scrivere, organizzarsi, dubitare, …

    Gli obiettivi d-e sono da perseguire attraverso le scelte di impostazione culturale - vedi (5) - e le scelte metodologiche - vedi (7) -. Essi sono essenziali per interagire concettualmente con gli alunni  (come mettono in luce anche le ricerche sui processi di apprendimento):

I)  per evitare che le conoscenze sviluppate dalla scuola siano intese come una cultura ad hoc  (da "trattenere" solo superficialmente e temporaneamente),  per poter accedere ai fattori che sono alla origine delle difficoltà concettuali degli alunni,  per trasformare i loro "bisogni" culturali in "interessi", …;

II)  per mettere gli alunni in grado di:  comprendere definizioni, argomentazioni, testi di problemi;  organizzare e comunicare ragionamenti; …

Materiali didattici e verifica

(7)  Per quanto riguarda i materiali didattici e altri aspetti metodologici:

• è opportuno che gli itinerari didattici siano organizzati in unità didattiche composte ciascuna da più schede di lavoro:

a esercizi sparsi e dai contesti ristretti sono da preferire situazioni problematiche più ampie, in cui la attività di matematizzazione sia più significativa  (• più strumenti matematici coinvolti,  • esame più approfondito dei rapporti tra situazione e modelli matematici,  • riferimenti a modelli propri di altre discipline,  • scelta di situazioni che, in maniera culturalmente significativa per gli alunni, "veicolino" e costituiscano "prototipi" per i concetti matematici coinvolti;

• le schede di lavoro  (per le prime classi costituite da immagini e poche richieste scritte, da affrontare in modo non formale, intrecciando, senza apparenti differenziazioni, competenze disciplinari diverse;  per le classi via via successive più articolate, fino a diventare materiale utlizzato come traccia o documentazione per il lavoro svolto in classe per essere impiegato poi dagli alunni per una revisione di quanto affrontato a a scuola)  è bene che presentino:

• parti da leggere,  • inviti a discussioni,  • quesiti che prevedano risposte articolate  (orali o scritte)  nella lingua naturale,  • quesiti matematici più tradizionali,  • quesiti che prevedano attività operative di altro genere  (vedi sotto)  e  • quesiti più aperti, che comportano aspetti organizzativi  (organizzarsi il foglio di lavoro, decidere quale questione affrontare prima, dove andare a cercare certe informazioni, …),  • quesiti da affrontare collettivamente e  • quesiti da affrontare individualmente;

• questa organizzazione dell'insegnamento dovrebbe rendere possibile una verifica dinamica degli alunni  (avere un'idea più attendibile di come i singoli alunni apprendono nel corso dell'anno e dell'andamento complessivo della classe);

• la verifica dinamica è particolarmente importante se non si hanno obiettivi "immediati" di produttività nel calcolo meccanico o nella riproduzione di definizioni e dimostrazioni, ma

• si mira a sviluppare l'organizzazione mentale dei concetti,
• si cerca di far emergere e mettere a confronto o in contraddizione le idee, i pregiudizi, le conoscenze distorte degli alunni,
• si presta attenzione alle ambiguità/confusioni a cui possono dar luogo le diverse semantiche del linguaggio comune e dei linguaggi matematici, … ;  con un'impostazione di questo genere, in cui si mira ad acquisizioni più profonde e generali, la verifica va effettuata in un arco di tempo più ampio;

• per quanto riguarda l'adattamento del materiale che si sta usando  (schede di lavoro personali o condivise con altri  o  un libro di riferimento)  a livelli di preparazione/capacità diversi e a situazioni scolastiche diverse,   le prestazioni, i quesiti, … attraverso i quali si articola il lavoro dovrebbero essere graduati e presentati in modo da essere affrontabili con diversi livelli di astrazione,   e  la ripresa a spirale degli argomenti in unità didattiche successive dovrebbero rendere meno difficile  (rispetto a forme di insegnamento "tradizionali" -  qui con "tradizionali" intendiamo non rispondenti alle indicazioni dei programmi, con una visione della matematica interna, senza respiro culturale)  far partecipare tutti al "filo del discorso" e alla comprensione degli aspetti essenziali dei concetti matematici introdotti;   si possono prevedere dei paragrafi o delle parti facoltative, in modo da consentire l'uso del materiale in classi con diversi livelli di "utenza";

• le schede di lavoro dovrebbero presentare molte attività "tradizionalmente" assenti:

• uso di calcolatrici, riga, squadra, goniometro, carta millimetrata e quadrettata, …;  • attività di calcolo mentale;  • osservazione, descrizione, analisi di fenomeni presenti nella vita quotidiana;

così si possono  • sia attivare maggiormente gli alunni  (attraverso momenti di lavoro più operativo/concreto si possono recuperare allo studio e attivare concettualmente alunni non coinvolti dall'insegnamento tradizionale),  • sia proporre attività di esercizio extrascolastico su quanto studiato  (e, indirettamente, coinvolgere le famiglie, facendo percepire la natura culturale del lavoro proposto:  le famiglie, per fattori vari, sono spesso ostili alle impostazioni non "tradizionali");

• le schede di lavoro dovrebbero essere accessibili da rete o messe comunque a disposizione degli alunni o delle famiglie in formato utilizzabile da tutti (pdf o html), in modo da poterle impiegare anche nelle aule scolastiche dotate di proiettore;  e, a partire dagli ultimi anni della scuola primaria, dovrebbero prevedere spunti per attività al calcolatore  (da svolgere anche in aula col proiettore o, in alcune scuole, in aula computer, e a casa da parte degli alunni, con software usabile gratuitamente, dal software standard per disegnare, al software per scrivere, al software per attività matematiche man mano più evolute);

• alle unità didattiche dovrebbe affiancarsi un eserciziario  (esercizi da utilizzare durante o dopo - per ripassi o consolidamenti - lo svolgimento delle schede,  per compiti a casa, per compiti in classe,  per attività di consolidamento mirate su qualche alunno,  per attività da proporre alla fine e all'inizio degli anni scolastici, …, con la finalità sia di esplorare le difficoltà di apprendimento degli alunni, sia di valutare l'efficacia delle proprie proposte didattiche).

• osserviamo, poi, che le nuove tecnologie comportano anche altre riflessioni: gli alunni (sia delle scuola primaria e secondaria che dell'università) sono più abituati ad usare le nuove tecnologie dei docenti, ma le usano in modo superficiale, spesso acritico;  le nuove tecnologie cambiano sempre più rapidamente, e la scuola rischia di staccarsi sempre più dall'uso che di esse ne fanno gli alunni;  per altro il software che ci propinano le ditte che realizzano prodotti informatici per la scuola o gli "esperti" in tecnologie informatiche è spesso slegato dagli obiettivi culturali che l'insegnante si deve porre;  occorre costruire un rapporto educativo do ut des con gli alunni, in cui loro ci aggiornano sulle nuove tecnologie e noi insegniamo loro ad utilizzarle in modo critico;  e occorre tener conto dell'evoluzione delle tecnologie:  le innovazioni saranno sempre più veloci,  l'uso dei "cellulari" comporterà via via problemi/prospettive nuove, i computer saranno sempre più trasportabili, e strumenti normali della vita quotidiana di tutti,  spariranno le aule computer, …

• accanto all'importanza della verifica dinamica occorre sottolineare l'opportunità di stimolare gli alunni ad affrontare prove di verifica autonomamente, senza il controllo dell'insegnante, con la possibilità di autocontrollarsi, di riprovare, di sfidare sé stessi, di gestirsi i tempi, di procedere in più modi, per approssimazioni successive, da un particolare o dal generale, mettendo insieme o riaggiustando pezzi di cose già fatte, … (anche per questo è assai utile il ricorso all'uso del computer, con opportune indicazioni da parte del docente).

(8)  È, poi, importantissimo per un docente confrontarsi con i colleghi, discutendo sia dal vivo che in rete, in particolare per chi usa lo stesso materiale didattico,  non solo per verificare l'andamento del lavoro,  ma anche perché il confronto tra colleghi  sulle difficoltà incontrate e sui modi in cui sono state affrontate,  su come la classe ha risposto agli stimoli proposti, … è utile per riflettere sul proprio modo di insegnare  (questi aspetti sono spesso trascurati nella programmazione collegiale delle scuole), e per rompere il guscio delle singole scuole.