I volumi

  1. Richiami
  2. Il volume di prismi e cilindri
  3. Il volume di piramidi e coni
  4. Il volume delle sfere
  5. Diedri e poliedri
  6. Esercizi
Sintesi

1. Richiami

    Le prime grandezze fisiche che, nella storia dell'umanità, sono state misurate sono le lunghezze, le capacità ed i tempi, in quanto era facile confrontarle con delle unità campione.
    Per le lunghezze si usò il confronto prima con delle parti di corpo umano (braccio, piede, pollice, pugno, …) o con il frutto di alcune azioni (in particolare il passo e suoi multipli); in genere queste unità di misura non erano precise, e spesso variavano da un paese all'altro; attraverso un lungo percorso si è arrivati prima, intorno al 1800, alla definizione del "metro" come la lunghezza di una particolare asta di metallo, e, in tempi successivi, alla sostituzione di essa con la distanza percorsa nel vuoto dalla luce in una fissata frazione di secondo.
    Per le misure di capacità si fece uso di particolari contenitori (anfore, tazze, boccali, casse, …). Esse venivano in genere usate al posto delle misure di peso, che si svilupparono solo dopo, con l'invenzione delle prime bilance a piatti. L'uso di contenitori graduati consentiva di misurare facilmente le capacità, in modo simile alle lunghezze. Per i pesi si arrivò a sistemi di misura simili con l'invenzione delle bilance a molla.
    Il tempo è una grandezza fisica del tutto particolare, che per lungo tempo non è stata facile da misurare, se non relativamente a unità particolari: i giorni, gli anni, le "lune", …. Si svilupparono abbastanza presto alcuni strumenti per misurare intervalli di tempo brevi (bastati sul consumo di candele, sullo svuotamento di contenitori, …), ma non era chiaro, come nel caso delle precedenti grandezze fisiche, il legame tra i vari campioni di misura usati e la grandezza stessa. Questo, le difficoltà tecniche nella costruzione di misuratori del tempo (fondamentale fu al riguardo la scoperta, attribuibile a Galileo, della periodicità del pendolo), la possibilità di pensare ad intervalli di tempo piccoli a piacere, … sono aspetti che hanno fatto del tempo la grandezza fisica che meglio si avvicina all'idea dei numeri reali.
    Difficoltà matematiche particolari è stato necessario affrontare per sviluppare le misure delle aree e dei volumi. La misura dei secondi, per migliaia di anni, è stata affrontata solo come misura di capacità. La misura dei primi è stata oggetto di molti fraintendimenti (ad esempio la misura di estensioni di terreno a forma di parallelogramma moltiplicando i lati invece che un lato e l'altezza ad esso perpendicolare).
    Sulle aree ci siamo già soffermati, vedendone l'intreccio con la moltiplicazione tra numeri reali e con il concetto di integrazione (vedi la scheda 1 sulle Figure piane e quelle su Gli integrali) e alcune generalizzazioni allo spazio tridimensionale (vedi la scheda 1 su La prospettiva).  Occupiamoci, ora, dei volumi.

2. Il volume di prismi e cilindri

    In modo analogo a quanto visto per l'area dei rettangoli, il volume di un parallelepipedo è ottenuto moltiplicandone le tre dimensioni:  nel caso raffigurato sotto, supponendo che le misure siano espresse in centimetri, possiamo dire che il volume è approssimato per difetto da 3·2·2 cm³ = 12 cm³. In analogia a quanto visto per le aree, non possiamo, tuttavia, dire che 13 cm³ è una misura per eccesso; senza altre misurazioni potremmo solo concludere che il volume è inferiore a 4·3·3 cm³ = 36 cm³, ossia che l'indeterminazione è 24 cm³.  Se misuriamo le dimensioni con più precisione possiamo concludere che il volume è approssimato per difetto da 3.6·2.1·2.2 cm³ = 16.632 cm³ = 16 632 mm³; una sua approssimazione per eccesso è 3.7·2.2·2.3 cm³ = 18.722 cm³ = 18 722 mm³, ossia l'indeterminazione è 2.090 cm³.
    Il prodotto di due dimensioni può essere interpretato come l'area A di una delle facce. La terza dimensione, pensando il parallelepipedo appoggiato su tale faccia, può essere interpretata come l'altezza h del parallelepipedo stesso, e il volume di esso può essere rappresentato come A·h.

   

    Nel caso dei cilindri, dei prismi e di tutti i solidi ottenuti muovendo una figura piana perpendicolarmente al piano in cui essa sta (se è un cerchio abbiamo cilindri, se è un poligono abbiamo prismi), il volume V, generalizzando quanto visto per i parallelepipedi, lo si ottiene moltiplicando l'area A delle figura piana per la distanza h che essa ha percorso:  V = A·h.

 1 
   Gli usuali cilindri vengono più propriamente chiamati cilindri circolari retti. Anche la figura sopra a destra è un cilindro retto, ma non circolare (pure un prisma può dunque essere considerato un cilindro). Se A vale 2.37·10³ cm² e h vale 1.18 m, quanto vale il volume di questa figura?
 

3. Il volume di piramidi e coni

     In analogia a quanto visto per l'area dei parallelogrammi (vedi la scheda Figure piane), abbiamo che il volume di un solido non cambia se lo sezioniamo con un fascio di piani tra loro paralleli e, a partire dal primo piano che lo taglia, ne spostiamo via via le sezioni con un movimento continuo. Questa tecnica viene chiamata principio di Cavalieri (dovuto a Bonaventura Francesco Cavalieri 1598-1647). La accettiamo senza darne una dimostrazione: non abbiamo, ora, gli strumenti per farlo.  Nel caso della figura solida raffigurata sotto a sinistra abbiamo che il suo volume è pari a quello del parallelepipedo che ha la stessa base e la stessa altezza.  Nel caso raffigurato al centro abbiamo piramidi di uguale base ed uguale altezza, che per lo stesso principio hanno il medesimo volume, così come i coni con le stesse caratteristiche.

    Sappiamo che tra area di un rettangolo ed area di un triangolo che ha base ed altezza in comune con esso c'è rapporto costante, pari a 2.  Si può dimostrare che, passando al caso tridimensionale, anche il rapporto tra volume di un prisma e volume di una piramide con base ed altezza in comune con esso è costante, e vale 3.  A destra trovi gli esiti di un programma che genera a caso N punti nel prisma a base triangolare raffigurato sopra a destra e calcola il rapporto R tra N e quanti punti cadono nella piramide raffigurata ( qui puoi esaminare il programma).
 R=3.01886  N=49935
 R=3.02481  N=100203
 R=3.02521  N=150099
 R=3.01519  N=200085
 R=3.01503  N=249895
 R=3.00632  N=299953

    La stessa cosa, ovviamente, vale per i coni. Dunque, il volume di una piramide o di un cono di area di base A ed altezza h è pari a  A·h / 3.

    La figura seguente spiega diversamente questa formula nel caso delle piramidi.  Il prisma rappresentato è scomponibile nelle tre piramidi (1), (2) e (3).
 
  
• Le piramidi (1) e (2) hanno eguale volume; infatti, se si prendono come loro basi le facce contenute nella faccia BEFC del prisma, esse sono due triangoli eguali e hanno come altezza entrambe la distanza del piano BEFC dallo spigolo AD.
• Anche le piramidi (1) e (3) hanno eguale volume: hanno le "basi" ABC e DEF eguali e come altezze i segmenti eguali FC e DA.
• Qundi (1), (2) e (3) hanno lo stesso volume.

 2 
   La figura a destra è un cilindro non retto. Al suo interno è evidenziato un cono della stessa base e della stessa altezza. Se la base del cono è ampia 0.81 m² e la sua altezza è di 13.2 cm, qual è il suo volume?
 

4. Il volume delle sfere

        Per il principio di Cavalieri, una semisfera ha lo stesso volume di un cilindro alto come il raggio e avente come base il cerchio massimo della semisfera dal quale sia stato tolto un cono con stessa base e stessa altezza (vedi figura a sinistra):  se prendo il raggio unitario, osservo che alla quota h la sezione della sfera è un cerchio di raggio √(1−h²) e quella di "cilindro−cono" è un cerchio di raggio 1 da cui ne è stato tolto uno di raggio h, ed entrambe le figure hanno area pari a π(1−h²)  (qui puoi vedere un'animazione che illustra il fenomeno).

    Dunque il volume di una sfera di raggio 1, pari al doppio di quello della semisfera (π−π/3 = 2/3·π), è 4/3·π, e quello di una sfera di raggio r è  4/3·π·r³.

    Posso trovare il volume della sfera anche con un ragionamento diverso.  Approssimo una sfera con l'unione di tante piramidi, come illustrato nella figura a fianco; al crescere del numero di queste piramidi, e al decrescere della loro area di base, il volume di questa unione tende al volume della sfera. Il volume di ciascuna di queste piramidi è pari ad un terzo della superficie di base moltiplicata per l'altezza; questa tende a coincidere con il raggio r della sfera, mentre la somma delle superfici di base tende a coincidere con la superficie totale della sfera, che so calcolare.
    Quindi il volume della sfera è  Superficie·r/3 = 4·π·r²·r/3 = 4/3·π·r³.
   

         Ricordiamo, infine, un po' di terminologia.  Il cilindro che racchiude una sfera, ossia che, pensato appoggiato su uno dei due cerchi che lo delimitano, ha altezza pari al diametro, viene chiamato cilindro equilatero.  Generalizzando quanto già detto per i poligoni viene chiamata apotema di un cono circolare retto, ossia frutto della rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei cateti, la lunghezza dell'ipotenusa di questo triangolo, e di una piramide retta, ossia che circoscrive un cono circolare retto (la base è un poligono che circoscrive una circonferenza e la proiezione del vertice sulla base coincide col centro di essa), l'apotema di questo.

 3 
   Un contenitore a forma di semisfera ha diametro esterno di 20 cm. È spesso 2 cm. Qual è il suo volume?
 

5. Diedri e poliedri

    Viene, infine, chiamato diedro ciascuna delle due parti in cui lo spazio viene diviso da due semipiani (facce; in greco faccia si dice "édron") delimitati dalla stessa retta (spigolo). Come ampiezza del diedro viene presa quella dell'angolo che si ottiene sezionando il diedro stesso con un piano perpendicolare allo spigolo. Nella figura a lato il diedro è colorato in verde e la sua ampiezza è indicata α. Ricordiamo che viene chiamato bisettore di un diedro il piano che passa per il suo spigolo e che lo taglia in due diedri di eguale ampiezza.     
    Osserviamo che le piramidi sono casi particolari di poliedri, ossia di solidi limitati da 4 o più facce poligonali; il loro volume può essere ottenuto scomponendoli in piramidi. Vedi qui per i poliedri regolari.  Il volume di altri solidi può essere ottenuto con tecniche simili a quelle usate per la sfera, che saranno discusse più avanti, utilizzando lo strumento degli integrali.

    Nel caso di un rettangolo sappiamo che la sua diagonale è la distanza tra due vertici opposti (o il segmento che li congiunge). In generale nel caso di un quadrangolo le diagonali sono le distanze tra due vertici opposti, che possono essere due valori distinti. Nel caso di poligono e di un poliedro qualunque si chiamano diagonali tutte le distanze tra due vertici che non appartengono allo stesso lato. Nel caso di un parallelepipedo rettangolo si chiama diagonale spaziale la distanza (unica) tra due vertici opposti rispetto al suo centro di simmetria; se a, b e c sono i lati di esso, la diagonale spaziale è √(++).

 4 
   Una stanza a base rettangolare, lunga 4.26 m e larga 4.83 m, è alta 2.95 m. Quanto distano due vertici opposti della stanza?

 

6. Esercizi

 e1 
    A destra è raffigurato lo sviluppo piano di un parallelepipedo.  Supponendo che le misure indicate siano numeri esatti, quanto è il volume di esso?  Se le misure sono invece espresse in centimetri, e sono arrotondate al centimetro, che cosa puoi dire della misura del volume di esso?
 

 e2 
    Secondo il regolamento di un certo torneo di calcio si deve usare un pallone il cui diametro è 69±1 cm. Che cosa si può dire del valore del volume che esso deve avere?

 e3 
    A = (1,1,1) e B = (5,3,-2) sono due punti dello spazio.  Qual è il loro punto medio?  Quanto distano?  Quanto valgono la superficie e il volume di una sfera che ha il segmento AB come diametro?

 e4 
    Calcola il volume della piramide raffigurata a lato (qui se vuoi puoi vedere come tracciare la figura con R).
 
 e5 
    Calcola il volume del solido costituito da un cilindro con base di raggio R e alto 2R e da un cono con uguale base ed alto 3R sovrapposto ad esso.
 e6 
    Prova a descrivere analiticamente il piano bisettore del diedro costituito dal semipiano x=0 AND y≥0 e dal semipiano y=0 AND x≥0.

1) Segna con l'evidenziatore, nelle parti della scheda indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei seguenti termini:

 volume dei cilindri (2),  principio di Cavalieri (3),  volume dei coni (3),  volume delle sfere (4),  poliedro (5).

2) Su un foglio da "quadernone", nella prima facciata, esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato.

3) Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefono") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso").