1) Calcolare ∫RF dove F(x,y)=1/(3+x+y) e R è il rettangolo [0,1]×[0,1]
∫[0,1]∫[0,1] F(x,y) dx dy = ∫[0,1]log(4+y)-log(3+y) dy =
[log(4+y)(4+y)-1-log(3+y)(3+y)]y=1 - log(4+y)(4+y)-1-log(3+y)(3+y)y=0 =
-16*log(2)+5*log(5)+3*log(3)
2) Calcolare ∫TF dove F(x,y)=x3y e T è la parte del cerchio unitario compresa nel primo quadrante
1/24 [vedi]
3) Calcolare ∫sin(3x2-1)x dx col cambio u = 3x2-1.
du/dx = 6x; du = 6x dx; ∫sin(3x2-1)x dx = ∫sin(u)/6 du = -cos(u)/6 = -cos(3x2-1)/6
4) Calcolare l'integrale dell'es. 2) utilizzando le coordinate polari
[vedi]
5) Calcolare ∫Exy dxdy dove E è l'ellisse x2/a2+y2/b2 ≤ 1 (a e b positivi) usando le
variabili u e v secondo
la trasformazione x=au, y=bv.
J(u,v) = /∂x/∂u ∂x/∂v\ = /a 0\
\∂y/∂u ∂y/∂v/ \0 b/
dx dy = |J(u,v)| du dv = ab du dv;
E = {(x,y) / u2+v2 ≤ 1};
E' = {(u,v) / u2+v2 ≤ 1}
∫E xy dxdy =
∫E' a2b2uv dudv =
a2b2 ∫E' uv dudv
u = ρcos(θ), v = ρsin(θ); dudv = |J(ρ,θ)| dρdθ = ρ dρdθ;
E = {(x,y) / 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π}; E" = {(ρ,θ) / 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π}
∫E' uv dudv = ∫E" ρ2sin(2θ)/2 ρ dρdθ =
∫[0,1] ∫[0,2π] ρ3/2 sin(2θ) dθdρ =
∫[0,1] -ρ3/4 ([cos(2θ)]θ=2π-[cos(2θ)]θ=0) dρ =
∫[0,1] 0 dρ = 0
∫E xy dxdy = a2b2·0 = 0
[ci si poteva arrivare con considerazioni di simmetria] 