Esercizi
(1)  Verificare che in R³ i due vettori (1,2,3) e (1,1,1) sono linearmente indipendenti
(2)  Dimostrare che in R³ i vettori (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) costituiscono una base
(3)  Sia F: R² → R³ l'applicazione lineare tale che F(e₁+e₂)=e'₁, F(e₁-e₂)=e'₂ [e'_i base canonica di R³]. Determinare la matrice associata ad F.
(4)  Sia F: R³ → R³ l'applicazione lineare tale che F(x,y,z) = (3x+y-z, x+z, y). È invertibile?
(5)  Sia T la trasformazione che inclina (nella direzione dell'asse x) di 45° le figure del piano (trasforma il quadrato [0,1]×[0,1] nel parallelogramma di altezza 1 avente l'intervallo [0,1] dell'asse x come "base" e avente due lati inclinati di 45°). Provare ad esprimerla analiticamente e in forma matriciale.

(6)  Data la matrice A, la funzione F e il quadrato seguenti,
(a) traccia il trasformato del quadrato mediante F,
(b) traccia il sistema di riferimento i cui versori degli assi sono i trasformati mediante F dei versori del sistema di riferimento di partenza,
(c) determina l'equazione che rappresenta nel piano x,y la curva sotto raffigurata, che nel piano X,Y ha equazione (2/3x + y/3)(-2/3x + 2/3y)=1.

A =  / |  \ 1     -1/2 \  | / 1 1

F / |  \ x \  | /  = A × / |  \ x \  | / y y