(1) Sia A la matrice 2×2 tale che A(i,j)=2 se i=2 e j=1, A(i,j)=1 altrimenti. Sia F la trasformazione R2 → R2 tale che F(X)=A×X (X è il vettore colonna x,y). Si cambi sistema di riferimento prendendo come nuove basi (1,√2) e (1,-√2). Che forma F' assume F riferita alla nuova base?

A = /1 1\ × /x\ = / x+y\
    \2 1/   \y/   \2x+y/    F(x,y) = (x+y, 2x+y)
Sia (X,Y) la rappresentazione nella nuova base.
(x,y) l'ottengo da (X,Y) moltiplicando per M, 
(X,Y) l'ottengo da (x,y) moltiplicando per M-1 dove:

M = / 1  1 \
    \√2 -√2/   Per M^(-1) ottengo (vedi):

M^(-1) = /1/2   √2/4\
         \1/2  -√2/4/

/X\ corrisponde a /x\ = M^(-1)×/X\
\Y/               \y/          \Y/
/x\ viene trasformato in /x'\ = A×/x\
\y/                      \y'/     \y/
/x'\ corrisponde a /X'\ = M×/x'\
\y'/               \Y'/     \y'/
riepilogando: /X'\ = M×A×M^(-1)×/X\
              \Y'/              \Y/
M×A×M^(-1) = ... = /1+√2  0\  è la matrice che esprime la
                   \0  1-√2/  trasformazione nella nuova base

/1+√2  0\ × /X\ = / (1+√2)X \
\0  1-√2/   \Y/   \ (1-√2)Y /    F'(X,Y) = ((1+√2)X, (1-√2)Y)
Altra strategia (equivalente): il versore (1,0) nel piano X,Y corrisponde a (1,√2) in x,y.
F lo trasforma in (1+√2, 2+√2).
Questo in X,Y corrisponde (moltiplicando per M-1) a:
(1/2(1+√2)+√2/4(2+√2), 1/2(1+√2)-√2/4(2+√2)) = (1+√2, 0). Questa è la prima colonna della matrice associata a F'.
Analogamente si trova che la seconda colonna è (0, 1-√2).

(2)  Siano a = 2i + 2j - k, b = 2i + 3j - k e c = i - j + 3k
Determina, se possibile, a · (b × c), a × (b · c), a × (b × c)

a · (b × c) = (2i + 2j - k) · ((2i + 3j - k) × (i - j + 3k)) = (2i + 2j - k) · (2i×i + 3j×i - k×i - 2i×j - 3j×j + k×j + 6i×k + 9j×k - 3k×k) = (2i + 2j - k) · (8i - 7j - 5k) = 2(8)+2(-7)+(-1)(-5) = 7   ovvero:

| 2  2 -1|
| 2  3 -1| = 2(9-1)-2(6+1)-(-2-3) = 7
| 1 -1  3|
a × (b · c) non definto in quanto b·c è uno scalare, e non può essere un argomento di un prodotto vettoriale.

a × (b × c) = [vedi calcolo precedente] (2i + 2j - k) × (8i - 7j - 5k) = (-10-7)jk + (-8+10)ki + (-14-16)ij = -17i + 2j - 30k
 

(3)  La seguente espressione in "notazione simbolica"

abbrevia il sistema di equazioni:

Abbrevia il sistema usando la "notazione indiciale".

(4)  Siano u, v e w tre vettori. Esprimi in "notazione simbolica" (ossia nella notazione usualmente impiegata in Fisica) la relazione tra i tre vettori che in "notazione indiciale" ha la forma wi = εijkujvk

Tenendo conto che ε1jkujvk=0 se i=1 o j=1:
w1 = ε1jkujvk = ε123u2v3 + ε132u3v2 = u2v3 - u3v2
Analogamente w2 = ε213u1v3 + ε231u3v1 = u3v1 - u1v3
w3 = ε312u1v2 + ε321u2v1 = u1v2 - u2v1
Quindi  w = u × v