Dalle dispense di Calculus si è considerato il capitolo "integrazione multipla" compresi gli approfondimenti [+].
Esercizi:
1) Calcolare ∫R F dove F(x,y)=1/(3+x+y) e R è il rettangolo [0,1]×[0,1]
2) Calcolare ∫T F dove F(x,y)=x3y e T è la parte del cerchio unitario compresa nel primo quadrante
3) Calcolare  ∫sin(3x2-1)x dx  col cambio u = 3x2-1.
4) Calcolare l'integrale dell'es. 2) utilizzando le coordinate polari
5) Calcolare  ∫E xy dxdy  dove E è l'ellisse x2/a2+y2/b2 ≤ 1 (a e b positivi) usando le variabili u e v secondo la trasformazione x=au, y=bv.
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Dalle dispense di Calculus si è considerato il capitolo:
"divergenza, rotore e ..."

Altre attività con Maple

Esercizi

1   Usare il teorema della divergenza (o di Gauss) per calcolare l'integrale di superficie S F·N dS dove S è il contorno del cubo che ha per lati i tre segmenti [0,1] degli assi coordinati e F(x,y,z) = exi + eyj + xyzk

2   Siano S1 la porzione del piano z = 2x + 2y -1 e S2 la porzione del paraboloide z = x2+y2 delimitate dalla curva in cui piano e paraboloide si intersecano. Orientiamo entrambe le superfici con il lato superiore positivo (ossia con N diretto verso l'alto) e sia C il loro, comune, contorno orientato. Sia F(x,y,z) = zi + xj + yk.
Valutare   S1 rot(F)·N1 dS1,   S2 rot(F)·N2 dS2,   C F·T ds
Con T si è indicato il vettore unitario tangente alla curva orientata, ossia tale che  T ds  = dx i + dy j + dz k

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Sezione 1.11 di "G.E. Mase"
Prima di tale sezione leggere questa introduzione ai tensori covarianti e controvarianti.
A lato, quello che potrebbe essere un nuovo sistema di riferimento non cartesiano.
Gli assi non sono necessariamente "rettilinei", se interpretati nel vecchio sistema.
Al posto dei piani coordinati xi = 0 abbiamo delle superfici θi = 0 che possono essere non piane, se interpretate nel vecchio sistema (a fianco ne sono evidenziate delle porzioni).
   Nel nuovo sistema la distanza tra due punti non è detto che sia calcolabile con la metrica eculidea (distanza tra due punti data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze delle coordinate).
Attenzione: le formule sono in "notazione indiciale".
Ad es. la (1.76)   dθi ∂θi dxj  sta per:
∂xj
/ dθ1(x1,x2,x3) \
| dθ2(x1,x2,x3) |
\ dθ3(x1,x2,x3) / 
/ ∂θ1(x1,x2,x3)/∂x1 dx1 + ∂θ1(…)/∂x2 dx2 + ∂θ1(…)/∂x3 dx3 \
| ∂θ2(x1,x2,x3)/∂x1 dx2 + ∂θ2(…)/∂x2 dx2 + ∂θ2(…)/∂x3 dx3 |
\ ∂θ3(x1,x2,x3)/∂x1 dx3 + ∂θ3(…)/∂x2 dx2 + ∂θ3(…)/∂x3 dx3 /
ovvero, usando la notazione matriciale invece di quella indiciale:
/ dθ1 \
| dθ2 |
\ dθ3 / 
= J × 
/ dx1 \
| dx2 |
\ dx3 /
[esprime come cambia il differenziale passando da un sistema di coordinate all'altro; qui J è la matrice Jacobiana J(x1,x2,x3) di θ1,… rispetto a x1,… (vedi)]
La (1.79)   ∂φ = ∂φ∂xj  [(grad nuovo)i = (grad vecchio)j·…] sta per:
 — 
∂θi∂xj∂θi
gradiente di φ
rispetto nuove coord.
  =   gradiente di φ
rispetto vecchie coord.
 ×  
/ ∂x1/∂θ1 ∂x1/∂θ2 ∂x1/∂θ3 \
| ∂x2/∂θ1 ∂x2/∂θ2 ∂x2/∂θ3 |
\ ∂x3/∂θ1 ∂x3/∂θ2 ∂x3/∂θ3 /
[quella a destra non è altro che la matrice Jacobiana di x1,… rispetto a θ1,…]

Se il cambiamento di coordinate θi = θi(x1,x2,x3) è tra due sistemi di coordinate ortogonali con origine in comune e stesse unità sugli assi, rientriamo nel caso del cambiamento di base descritto da una matrice ortogonale: vedi parte finale delle dispense sul "cambiamento di base". La matrice Jacobiana risulta dunque essere una matrice di costanti e lo Jacobiano il numero 1 o -1.
È utile tenere presente ciò per interpretare 1.11 e 1.12, anche se in "G.E. Mase" questi aspetti sono poi affrontati nelle sezioni 1.13 e 1.17.