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Dalle dispense di Calculus si è considerato
il capitolo "integrazione multipla" compresi gli approfondimenti [+].
Esercizi:
1) Calcolare ∫R F dove F(x,y)=1/(3+x+y) e R è il rettangolo [0,1]×[0,1]
2) Calcolare ∫T F dove F(x,y)=x3y e T è la parte del cerchio unitario compresa nel primo quadrante
3) Calcolare ∫sin(3x2-1)x dx col cambio u = 3x2-1.
4) Calcolare l'integrale dell'es. 2) utilizzando le coordinate polari
5) Calcolare ∫E xy dxdy dove E è l'ellisse x2/a2+y2/b2 ≤ 1 (a e b positivi) usando le
variabili u e v secondo
la trasformazione x=au, y=bv.
[ Commenti ]
• Dalle dispense di Calculus si è considerato il capitolo:
"divergenza, rotore e ..."
Altre attività con Maple
Esercizi
1 Usare il teorema della divergenza (o di Gauss)
per calcolare l'integrale di superficie
2 Siano S1 la porzione del piano z = 2x + 2y -1 e S2 la porzione del paraboloide z = x2+y2 delimitate dalla curva in cui piano e paraboloide si intersecano. Orientiamo entrambe le superfici con il lato superiore positivo (ossia con N diretto verso l'alto) e sia C il loro, comune, contorno orientato. Sia
Valutare
Con T si è indicato il vettore unitario tangente alla curva orientata, ossia tale che
[commenti]
• Sezione 1.11 di "G.E. Mase"
Prima di tale sezione leggere questa introduzione ai
tensori covarianti e controvarianti.
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Attenzione: le formule sono in "notazione indiciale". | ||||||||||||
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ovvero, usando la notazione matriciale invece di quella indiciale: | ||||||||||||
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[esprime come cambia il differenziale passando da un sistema di coordinate all'altro; qui J è la matrice Jacobiana J(x1,x2,x3) di θ1, rispetto a x1, (vedi)] | ||||||||||||
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[quella a destra non è altro che la matrice Jacobiana di x1, rispetto a θ1, ] |
• Se il cambiamento di coordinate θi = θi(x1,x2,x3) è tra
due sistemi di coordinate ortogonali con origine in comune e stesse unità sugli assi, rientriamo nel caso del cambiamento di base descritto da
una matrice ortogonale: vedi parte finale delle dispense sul "cambiamento di base". La matrice Jacobiana risulta dunque essere una matrice di costanti e lo Jacobiano il numero 1 o -1.
È utile tenere presente ciò per interpretare 1.11 e 1.12, anche se in "G.E. Mase"
questi aspetti sono poi affrontati nelle sezioni 1.13 e 1.17.