Può essere utile, per capire meglio il capitolo, affrontare gli stessi argomenti nel caso dei vettori (ossia dei tensori del primo ordine) prima che nel caso dei tensori (del secondo ordine).

Come cambiano le coordinate di un vettore in corrispondenza di una trasformazione di coordinate generica (più generale di una rototraslazione)?

Consideriamo una grandezza scalare (e, quindi, invariante rispetto a un cambiamento di coordinate), ad esempio il lavoro. Per semplificare le notazioni supponiamo di essere nel caso piano.   dL = F · ds   è il lavoro infinitesimo fatto da F per produrre lo spostamento infinitesimo ds. Nel sistema di riferimento x y la relazione, indicando con Fi (i = 1..2) le due componenti di F e con dx e dy quelle di ds, diventa:   dL = F1 dx + F2 dy Consideriamo il nuovo sistema di riferimento x' y'. Supponiamo di saper passare da un sistema all'altro mediante funzioni derivabili:   x' = x'(x,y), y' = y'(x,y)  e le inverse  x = x(x',y'), y = y(x',y'). Nel nuovo sistema di riferimento avremo:   dL = F '1 dx' + F '2 dy'    (#) dove F 'i sono le componenti di F nel nuovo sistema.

Cerchiamo di esprime la relazione che intercorre tra Fi e F 'i.

Posso esprimere dx come differenziale rispetto a x', y':   ∂x(x',y')  dx' +  ∂x(x',y')  dy' ——— ——— ∂x' ∂y'

Fatto lo stesso per dy, posso esprimere dL nel modo seguente, in cui evito di scrivere gli argomenti, ossia scrivo x e y invece di x(x',y') e y(x',y'):

dL = F1 (  ∂x  dx' +  ∂x  dy' ) + F2 (  ∂y  dx' +  ∂y  dy' ) — — — — ∂x' ∂y' ∂x' ∂y'

Da questa e dalla precedente espressione (#) di dL (che sono equivalenti in quanto, come osservato sopra, il lavoro non dipende dal sistema di riferimento) cerco di ricavare F 'i in funzione di Fi. Riscrivo quindi questa espressione così:

dL = ( F1  ∂x  + F2  ∂y  ) dx' + ( F1  ∂x  + F2  ∂y  ) dy' — — — — ∂x' ∂x' ∂y' ∂y'

Da questa e da (#) ho quindi:

F '1 =  ∂x  F1 +  ∂y  F2         (T1) — — ∂x' ∂x'

F '2 =  ∂x  F1 +  ∂y  F2 — — ∂y' ∂y'

Per quanto riguarda, invece, l'espressione di ds nel nuovo sistema di riferimento o, in maniera analoga a come avevo espresso dx e dy in funzione di dx' e dy':

dx' =  ∂x'  dx +  ∂x'  dy         (T2) — — ∂x ∂y

dy' =  ∂y'  dx +  ∂y'  dy — — ∂x ∂y

La legge (T1) secondo cui si trasforma il vettore F cambiando il sistema di riferimento ha una forma diversa dalla legge (T2) secondo cui si trasforma il vettore ds (le derivate parziali sono "capovolte"). In (T2) i coefficienti sono gli elementi della matrice Jacobiana ∂(x',y')/∂(x,y). In (T1) sono quelli della trasposta di ∂(x,y)/∂(x',y'). Una legge dalla forma (T1) viene chiamata trasformazione per covarianza, una dalla forma (T2) viene chiamata trasformazione per controvarianza. I vettori che si trasformano nel primo modo vengono detti covarianti, quelli che si trasformano nel secondo vengono detti controvarianti. Dunque il vettore spostamento ds è controvariante.

Per comodità si usano distinguere i due tipi di vettori indicando gli indici che indicano le loro componenti in basso (come al solito) per quelli covarianti (come le forze) e in alto per quelli controvarianti (come gli spostamenti). Quindi per i vettori spostamento invece di x, y e z, ovvero di x1, x2, x3, useremo x1, x2, x3.

Per i vettori covarianti v = (v1, v2, v3), ovvero vi con la notazione indiciale, abbiamo che T1 diventa:   v'i = (∂x j / ∂x' i ) vj mentre per i vettori controvarianti v = (v1, v2, v3), ovvero vi con la notazione indiciale, abbiamo che T2 diventa:   v' i = (∂x' i / ∂x j ) v j In particolare per ds abbiamo:  dx' i = (∂x' i / ∂x' j ) dx j

Nota.  Nel caso in cui il cambiamento di coordinate sia frutto di una semplice rotazione (come nei casi considerati studiando i cambiamenti di base) i vettori si comportano tutti allo stesso modo in quanto le forme T1 e T2 risultano essere equivalenti. Vediamolo nel caso piano: x' = cos(θ)x + sin(θ)y, y' = -sin(θ)x + cos(θ)y x = cos(θ)x' - sin(θ)y', y = sin(θ)x' + cos(θ)y' ∂x'/∂x = cos(θ) = ∂x/∂x',  ∂x'/∂y = sin(θ) = ∂y/∂x',  ∂y'/∂x = -sin(θ) = ∂x/∂y',  ∂y'/∂y = cos(θ) = ∂y/∂y' [la cosa è legata al fatto che le matrici del cambiamento di coordinate e quella del cambiamento inverso sono una la trasposta dell'altro]

La distinzione fra vettori covarianti e vettori controvarianti (e l'uso di indici posti in apice per indicare le componenti dei vettori spostamento) ha, quindi, rilievo solo nei casi in cui si considera un passaggio a un sistema di coordinate non cartesiano (ovvero a delle coordinate "curvilinee").