Sezione 1.11 di "G.E. Mase"
Prima di tale sezione leggere questa introduzione ai tensori covarianti e controvarianti.
A lato, quello che potrebbe essere un nuovo sistema di riferimento non cartesiano.
Gli assi non sono necessariamente "rettilinei", se interpretati nel vecchio sistema.
Al posto dei piani coordinati xi = 0 abbiamo delle superfici θi = 0 che possono essere non piane, se interpretate nel vecchio sistema (a fianco ne sono evidenziate delle porzioni).
   Nel nuovo sistema la distanza tra due punti non è detto che sia calcolabile con la metrica eculidea (distanza tra due punti data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze delle coordinate).
Attenzione: le formule sono in "notazione indiciale".
Ad es. la (1.76)   dθi ∂θi dxj  sta per:
∂xj
/ dθ1(x1,x2,x3) \
| dθ2(x1,x2,x3) |
\ dθ3(x1,x2,x3) / 
/ ∂θ1(x1,x2,x3)/∂x1 dx1 + ∂θ1(…)/∂x2 dx2 + ∂θ1(…)/∂x3 dx3 \
| ∂θ2(x1,x2,x3)/∂x1 dx2 + ∂θ2(…)/∂x2 dx2 + ∂θ2(…)/∂x3 dx3 |
\ ∂θ3(x1,x2,x3)/∂x1 dx3 + ∂θ3(…)/∂x2 dx2 + ∂θ3(…)/∂x3 dx3 /
ovvero, usando la notazione matriciale invece di quella indiciale:
/ dθ1 \
| dθ2 |
\ dθ3 / 
= J × 
/ dx1 \
| dx2 |
\ dx3 /
[esprime come cambia il differenziale passando da un sistema di coordinate all'altro; qui J è la matrice Jacobiana J(x1,x2,x3) di θ1,… rispetto a x1,… (vedi)]
La (1.79)   ∂φ = ∂φ∂xj  [(grad nuovo)i = (grad vecchio)j·…] sta per:
 — 
∂θi∂xj∂θi
gradiente di φ
rispetto nuove coord.
  =   gradiente di φ
rispetto vecchie coord.
 ×  
/ ∂x1/∂θ1 ∂x1/∂θ2 ∂x1/∂θ3 \
| ∂x2/∂θ1 ∂x2/∂θ2 ∂x2/∂θ3 |
\ ∂x3/∂θ1 ∂x3/∂θ2 ∂x3/∂θ3 /
[quella a destra non è altro che la matrice Jacobiana di x1,… rispetto a θ1,…]

Se il cambiamento di coordinate θi = θi(x1,x2,x3) è tra due sistemi di coordinate ortogonali con origine in comune e stesse unità sugli assi, rientriamo nel caso del cambiamento di base descritto da una matrice ortogonale: vedi parte finale delle dispense sul "cambiamento di base". La matrice Jacobiana risulta dunque essere una matrice di costanti e lo Jacobiano il numero 1 o -1.
È utile tenere presente ciò per interpretare 1.11 e 1.12, anche se in "G.E. Mase" questi aspetti sono poi affrontati nelle sezioni 1.13 e 1.17.


da: G.E. Mase, Meccanica dei Continui, McGraw-Hill (piccoli estratti - il volume è consultabile nella biblioteca universitaria o acquistabile presso una libreria scientifica)
Capitolo 1 (vettori,tensori, diadiche, t. di Stokes e Gauss)
Problemi risolti - parte 1
Problemi risolti - parte 2
Dal capitolo 2 (analisi degli sforzi, il continuo, isotropia, tensore degli sforzi)
Dal capitolo 3 (spost. e deformazione, descrizioni euler. e lagrangiana, gradiente di posiz. e spost.)
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