• Sezione 1.12 di "G.E. Mase".
(1.83) è la forma "indiciale" per ds = √( (dx1)2+(dx2)2+(dx3)2 )
Il tensore metrico gpq sotto forma di matrice 3×3 ha come elementi:

  ∂xi ∂xi    ∂xi ∂xi    ∂xi ∂xi
Σi——— ———  Σi——— ———  Σi——— ———
  ∂θ1 ∂θ1    ∂θ1 ∂θ2    ∂θ1 ∂θ3

  ∂xi ∂xi    ∂xi ∂xi    ∂xi ∂xi
Σi——— ———  Σi——— ———  Σi——— ———
  ∂θ2 ∂θ1    ∂θ2 ∂θ2    ∂θ2 ∂θ3

  ∂xi ∂xi    ∂xi ∂xi    ∂xi ∂xi
Σi——— ———  Σi——— ———  Σi——— ———
  ∂θ3 ∂θ1    ∂θ3 ∂θ2    ∂θ3 ∂θ3
Spiegazione di (1.87).  Se i due sistemi sono ortogonali con origine in comune e stesse unità sugli assi, i ∂xi/∂θj sono gli elementi della matrice Jacobiana associata al cambio di coordinate, formata dai coseni direttori (vedi Cambio di base nelle dispense di Calculus), per cui:
Σi(∂xi/∂θp)(∂xi/∂θp) = Σi(∂xi/∂θp)2 = 1
(pensare al caso bidimensionale:  (∂x/∂x')2+(∂y/∂x')2 = cos(θ)2+cos(π/2-θ)2 = 1; anche nel caso tridimensionale si tratta della somma dei quadrati delle componenti di un versore - quello dell'asse θp rispetto al vecchio sistema - e dunque vale 1)
Σi(∂xi/∂θp)(∂xi/∂θq) = 0
(pensare al caso bidimensionale:  (∂x/∂x')(∂x/∂y')+(∂y/∂x')(∂y/∂y') = cos(θ)cos(π/2+θ)+cos(π/2-θ)cos(θ) = 0; anche nel caso nel caso tridimensionale si tratta del prodotto scalare di due versori ortogonali - quelli degli assi θp e θq - e dunque vale 0)
    Ossia ci si riduce alla matrice identica: gpq=1 se p=q, gpq=0 altrimenti.

• problemi risolti 1.29, 1.32 (vedi anche quanto visto sugli Jacobiani)

1.13   Problemi risolti 1.34
Vengono precisate le condizioni affinché una trasformazione lineare sia ortogonale. Le condizioni che vengono trovate sono, sostanzialmente, quelle già utilizzate sopra nei commenti a 1.12 (e, in parte, nelle considerazioni fatte alla fine dei commenti fatti come introduzione alla sezione 1.11).
1.17, 1.18
Vengono estese ai tensori nomenclature delle matrici.
Importante il concetto di simmetria. Vedremo che il tensore degli sforzi ha la caratteristica di essere simmetrico.
1.14 - 1.16
Ricordiamo che le diadi sono prodotti tensoriali (esterni) tra vettori
1.19
Vengono riprese, nel contesto del calcolo tensoriale, considerazioni già sviluppate nella sezione Autovalori e autovettori delle dispense di Calculus (• la matrice di una applicazione lineare F rispetto a una base formata da autovettori di F assume forma diagonale, con diagonale formata dai rispettivi autovalori; • le matrici simmetriche hanno solo autovalori reali, e in corrispondenza di autovalori diversi hanno autovettori tra loro ortogonali, e • nel caso di un autovalore con spazio dei suoi autovettori di dimensione K si possono trovare K autovettori tra loro ortogonali)

Problemi risolti 1.42 - 1.45, 1.47

Rivedere le considerazioni sul tensore di stress nella parte introduttiva (o consultare il capitolo 2 del manuale di Mase). Si può provare (vedi il manuale di Mase se vuoi esaminare una dimostrazione) che la trazione t(n) su una superficie con versore normale n è data da: ti(n) = niσi,j   (σi,j sono le componenti di ti) ovvero (usando una notazione alternativa alla 2.14 del Mase):
/
|
|
\		 t1(n)
t2(n)
t3(n)		 \
|
|
/		 = /
|
|
\		 σ1,1  σ1,2  σ1,3
σ2,1  σ2,2  σ2,3
σ3,1  σ3,2  σ3,3 		\
|
|
/		 T /
|
|
\		 n1
n2
n3		 \
|
|
/
Provare ad affrontare i problemi risolti 2.2-2.4, 2.5 del capitolo 2 di Mase.

1.21- 1.23
Vedi dispense di Calculus per i concetti. Qui è descritto come sono rappresentabili in notazione indiciale.
Problemi risolti 1.51, 1.52

NOTA su possibili approfondimenti
 •  Se esaminate, anche superficialmente, i capitoli 2 e 3 di Mase avete un'idea di come i concetti e le tecniche introdotte si applicano alla Meccanica del Continuo (come vedrete, poi, in un successivo corso).
•  Alcuni esempi di applicazioni alla fisica del calcolo differenziale vettoriale: può essere un'occasione per rivedere, con un "occhio" diverso, argomenti affrontati in altri corsi (tratti da R.A.Adams - Calcolo Differenziale 1).
•  Qui potete trovare come usare Maple per risolvere equazioni differenziali (ordinarie e alle derivate parziali). Esercizio.

da: G.E. Mase, Meccanica dei Continui, McGraw-Hill (piccoli estratti - il volume è consultabile nella biblioteca universitaria o acquistabile presso una libreria scientifica)
Capitolo 1 (vettori,tensori, diadiche, t. di Stokes e Gauss)
Problemi risolti - parte 1
Problemi risolti - parte 2
Dal capitolo 2 (analisi degli sforzi, il continuo, isotropia, tensore degli sforzi)
Dal capitolo 3 (spost. e deformazione, descrizioni euler. e lagrangiana, gradiente di posiz. e spost.)
Indice