Per il calcolo tensoriale useremo come riferimento il manuale di G.E. Mase. Lo seguiremo percorrendone le sezioni con un percorso diverso da quello indicato nel manuale, in relazione ai riferimenti e agli approfondimenti di analisi matematica e di algebra lineare che svilupperemo in parallelo. Per una revisione/ripasso finale si potranno poi rileggere le sezioni nel loro ordine naturale.
• Sezioni 1.3, 1.4, 1.5 di "G.E. Mase" (in particolare
notazione simbolica di Gibbs e prodotto misto). Problemi risolti 1.1-1.3
• Sezioni 1.1, 1.2
(le grandezze vettoriali sono rappresentate mediante componenti riferite a un
sistema di riferimento ma le relazioni che vengono stabilite tra esse sono indipendenti
dal sistema di riferimento; i tensori, generalizzando i vettori, consentono di rappresentare
in modo analogo ulteriori tipi di entità fisiche)
Nota. La distinzione tra i tensori generali e il caso specifico dei tensori cartesiani (al quale ci riferiremo)
sarà precisata nella sezione 1.12.
Motivazioni alla introduzione dei tensori e delle diadi
(1) Consideriamo le forze che agiscono all'interno di un corpo continuo.
Prendiamo in esame una porzione interna di tale corpo. Sia R la regione (parte di spazio) che occupa
e sia S la superficie che ne è il contorno (ossia che lo separa dal resto del corpo).
Supponiamo che R sia di forma opportuna in modo che, preso comunque un
P di S, si possano considerare il versore normale n a S in P diretto esternamente a R e
porzioni S' di S contenenti P di area ΔS via via più piccola, tendente a 0.
Il materiale del corpo esterno a R esercita sulla parte interna, attraverso S',
una forza F di trazione che dipende, per intensità e direzione, sia dall'area ΔS che dall'orientamento di S', ovvero da n.
Una forza simile, di uguale intensità ma direzione opposta, è esercitata attraverso S' dalla parte interna sulla parte esterna.
Indichiamo con t(n) il "fattore" che rappresenta nel modo seguente la relazione tra F e ΔS:
F = t(n) ΔS, ovvero:
t(n) = F / ΔS.
In pratica t(n) indica la direzione in cui agisce F (che non ha in generale direzione normale a S', ma
dipende, ad es., da come le masse si distribuiscono dentro ad S e al suo esterno)
rapportata all'estensione di S'.
In opportune condizioni (del materiale del corpo) possiamo supporre che esista il limite per ΔS → 0 di t(n).
Indichiamo con lo stesso simbolo, t(n), il limite,
e lo chiamiamo vettore di trazione superficiale o vettore di sforzo (o vettore stress)
nel punto P sulla superficie di normale n.
Come caratterizzare la trazione in P indipendentemente dalla normale n scelta?
Non potremo usare un vettore, ma un oggetto matematico costituito da una quantità maggiore di componenti.
L'idea è questa: considerare i vettori sforzo t1, t2 e t3
associati ai versori degli assi coordinati (la figura sotto a sinistra illustra il significato di t1)
e descrivere lo sforzo complessivamente esercitato sul punto P mediante la terna di questi vettori.
Se indichiamo con σi, j le componenti del vettore ti
(che possiamo immaginare come nella figura sopra a destra, ossia come le componenti delle forze che agiscono sulle facce
di un cubo di lato unitario),
lo sforzo complessivo può
essere dunque indicato con il seguente oggetto, chiamato tensore degli sforzi (o stress):
/ t1 \ / σ1,1e1 + σ1,2e2 + σ1,3e3 \ | t2 | = | σ2,1e1 + σ2,2e2 + σ2,3e3 | \ t3 / \ σ3,1e1 + σ3,2e2 + σ3,3e3 /[σi, j è la componente di ti nella direzione di ej; ad es.
• Sezione 1.6 di "Mase" ed esercizi (problemi risolti 1.10, 1.12, 1.15).
Nota. La diade viene chiamata anche prodotto diadico.
Il prodotto diadico tra i vettori a e b in molti manuali è indicato con
Vedremo (sezione 1.7 di Mase) che il prodotto diadico tra due vettori è l'esempio più semplice di tensore del secondo ordine:
se a = axi + ayj + azk e
b = bxi + byj + bzk,
ab ha 3·3 componenti:
axbxii +
axbyij +
axbzik +
aybxji +
aybyjj +
aybzjk +
azbxki +
azbykj +
azbzkk.
Per questo (dato che spesso con tensore si intende uno del secondo ordine) viene chiamato anche prodotto tensoriale tra vettori (quello scalare dà uno scalare, quello vettoriale un vettore, quello tensoriale un tensore del secondo ordine). Vedremo (sezione 1.15 di Mase) che è un caso particolare di prodotto tensoriale esterno (è il prodotto esterno di due tensori del primo ordine).
Vedremo che anche una diadica (sviluppando i prodotti diadici e raccogliendo rispetto ad ii,
ij, ...kk), si riduce a 9 componenti, e quindi a un
tensore del secondo ordine. In altre parole, riferendosi alle componenti cartesiane, le diadiche possono essere trasformate in diadi.
• Sezioni 1.9 e 1.16 di "Mase". Problemi risolti 1.21-1.23 (il δ di Kronecker: δij vale 1 se i=j, 0 altrimenti).
Altri esercizi
(1) Sia A la matrice 2×2 tale che A(i,j)=2 se i=2 e j=1, A(i,j)=1 altrimenti. Sia F la trasformazione R2 → R2
tale che F(X)=A×X (X è il vettore colonna x,y). Si cambi sistema di riferimento prendendo come nuove basi
(2) Sia a = 2i - 3j - 6k, b = i + 3j - k e
c = i - j + 3k
Determina, se possibile, a · (b × c), a × (b · c),
a × (b × c)
(3) La seguente espressione in "notazione simbolica"
abbrevia il sistema di equazioni:
Abbrevia il sistema usando la "notazione indiciale".
(4) Siano u, v e w tre vettori.
Esprimi in "notazione simbolica" (ossia nella notazione usualmente impiegata in Fisica)
la relazione tra i tre vettori che in "notazione indiciale" ha la forma
• Sezioni 1.7, 1.8 e 1.10 di "G.E. Mase" (e problemi risolti 1.16-1.18).
Nota 1. La sezione 1.8 è "centrale": dà senso all'uso dei tensori per rappresentare
trasformazioni.
Nota 2. La trasformazione lineare f associata alla diade D = ab (prodotto diadico o tensoriale dei vettori a e b) trasforma il vettore c in un vettore
Nota 3. In presentazioni alternative, i prodotti tensoriali tra vettori sono direttamente presentati come particolari applicazioni lineari.