Per il calcolo tensoriale useremo come riferimento il manuale di G.E. Mase. Lo seguiremo percorrendone le sezioni con un percorso diverso da quello indicato nel manuale, in relazione ai riferimenti e agli approfondimenti di analisi matematica e di algebra lineare che svilupperemo in parallelo. Per una revisione/ripasso finale si potranno poi rileggere le sezioni nel loro ordine naturale.


da: G.E. Mase, Meccanica dei Continui, McGraw-Hill (piccoli estratti - il volume è consultabile nella biblioteca universitaria o acquistabile presso una libreria scientifica)
Capitolo 1 (vettori,tensori, diadiche, t. di Stokes e Gauss)
Problemi risolti - parte 1
Problemi risolti - parte 2
Dal capitolo 2 (analisi degli sforzi, il continuo, isotropia, tensore degli sforzi)
Dal capitolo 3 (spost. e deformazione, descrizioni euler. e lagrangiana, gradiente di posiz. e spost.)
Indice

Sezioni 1.3, 1.4, 1.5 di "G.E. Mase" (in particolare notazione simbolica di Gibbs e prodotto misto). Problemi risolti 1.1-1.3
Sezioni 1.1, 1.2 (le grandezze vettoriali sono rappresentate mediante componenti riferite a un sistema di riferimento ma le relazioni che vengono stabilite tra esse sono indipendenti dal sistema di riferimento; i tensori, generalizzando i vettori, consentono di rappresentare in modo analogo ulteriori tipi di entità fisiche)
Nota. La distinzione tra i tensori generali e il caso specifico dei tensori cartesiani (al quale ci riferiremo) sarà precisata nella sezione 1.12.

Motivazioni alla introduzione dei tensori e delle diadi

(1)   Consideriamo le forze che agiscono all'interno di un corpo continuo.
Prendiamo in esame una porzione interna di tale corpo. Sia R la regione (parte di spazio) che occupa e sia S la superficie che ne è il contorno (ossia che lo separa dal resto del corpo).
Supponiamo che R sia di forma opportuna in modo che, preso comunque un P di S, si possano considerare il versore normale n a S in P diretto esternamente a R e porzioni S' di S contenenti P di area ΔS via via più piccola, tendente a 0.

Il materiale del corpo esterno a R esercita sulla parte interna, attraverso S', una forza F di trazione che dipende, per intensità e direzione, sia dall'area ΔS che dall'orientamento di S', ovvero da n.
Una forza simile, di uguale intensità ma direzione opposta, è esercitata attraverso S' dalla parte interna sulla parte esterna.
Indichiamo con t(n) il "fattore" che rappresenta nel modo seguente la relazione tra F e ΔS:
Ft(n) ΔS,  ovvero:   t(n) = F / ΔS.
In pratica t(n) indica la direzione in cui agisce F (che non ha in generale direzione normale a S', ma dipende, ad es., da come le masse si distribuiscono dentro ad S e al suo esterno) rapportata all'estensione di S'.
In opportune condizioni (del materiale del corpo) possiamo supporre che esista il limite per ΔS → 0 di t(n).
Indichiamo con lo stesso simbolo, t(n), il limite, e lo chiamiamo vettore di trazione superficiale o vettore di sforzo (o vettore stress) nel punto P sulla superficie di normale n.
Come caratterizzare la trazione in P indipendentemente dalla normale n scelta?
Non potremo usare un vettore, ma un oggetto matematico costituito da una quantità maggiore di componenti.
L'idea è questa: considerare i vettori sforzo t1, t2 e t3 associati ai versori degli assi coordinati (la figura sotto a sinistra illustra il significato di t1) e descrivere lo sforzo complessivamente esercitato sul punto P mediante la terna di questi vettori.
 
Se indichiamo con σi, j le componenti del vettore ti (che possiamo immaginare come nella figura sopra a destra, ossia come le componenti delle forze che agiscono sulle facce di un cubo di lato unitario), lo sforzo complessivo può essere dunque indicato con il seguente oggetto, chiamato tensore degli sforzi (o stress):

/ t1 \   / σ1,1e1 + σ1,2e2 + σ1,3e3 \
| t2 | = | σ2,1e1 + σ2,2e2 + σ2,3e3 |
\ t3 /   \ σ3,1e1 + σ3,2e2 + σ3,3e3 /
i, j è la componente di ti nella direzione di ej; ad es. σ3,2 in un punto è positivo se il materiale da una parte di un elemento di superficie (centrata nel punto) normale all'asse x3 esercita sul materiale dal lato opposto una trazione che ha una componente positiva nella direzione dell'asse x2 (la stessa trazione è esercitata dal secondo materiale sul primo); se σ3,3 è positivo si ha una trazione rispetto a un elemento di superficie normale all'asse x3 con componente positiva nella direzione dello stesso asse x3: in questo caso il materiale, nel punto considerato, è "in trazione" nella direzione dell'asse x3; se invece σ3,3 fosse stata negativa il materiale sarebbe stato "in compressione" nella direzione dell'asse x3]
È un oggetto fisico di tipo nuovo, che ha 9 componenti. Le grandezze scalari hanno 1 componente, quelle vettoriali ne hanno 3, gli oggetti fisici descritti da una terna di vettori, ossia da 9 componenti, sono chiamati tensori [vedremo che questi, più precisamente, sono chiamati tensori del secondo ordine, essendo chiamato tensore di ordine N un oggetto che nello spazio fisico ha 3N componenti].

(2)   Il gradiente (vedi) del campo scalare f(x,y,z), cioè (∂f(x,y,z)/(∂x), ∂f(x,y,z)/(∂y), ∂f(x,y,z)/(∂z)), può essere descritto con ∇ f(x,y,z) dove con si è indicato (∂/(∂x1), ∂/(∂x2), ∂/(∂x2)).
La divergenza di un campo vettoriale f(x,y,z) = (f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z)), può descritta con ∇ · f(x,y,z) intendendo con questa scrittura una specie di prodotto scalare tra e f(x,y,z):
(∂/(∂x1), ∂/(∂x2), ∂/(∂x3)) · (f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z)) = ∂f1(x,y,z)/(∂x1) + ∂f2(x,y,z)/(∂x2) + ∂f3(x,y,z)/(∂x3).
In questo "calcolo" abbiamo via via accostato ∂/(∂x1) e f1(x,y,z),  ∂/(∂x2) e f2(x,y,z), … ma non si tratta di moltiplicazioni.
Anche il rotore viene indicato, mediante un "trucco" simile, con ∇ × f(x,y,z), come una specie di prodotto vettoriale.
    Vedremo che uno degli aspetti del calcolo tensoriale è lo sviluppo sistematico di ulteriori notazioni formali che consentano di rendere compatta la descrizione di operazioni, trasformazioni, proprietà ... che coinvolgono i vettori, campi vettoriali,….

Sezione 1.6 di "Mase" ed esercizi (problemi risolti 1.10, 1.12, 1.15).

Nota. La diade viene chiamata anche prodotto diadico. Il prodotto diadico tra i vettori a e b in molti manuali è indicato con a ⊗ b invece che con ab.
    Vedremo (sezione 1.7 di Mase) che il prodotto diadico tra due vettori è l'esempio più semplice di tensore del secondo ordine:
se a = axi + ayj + azk e b = bxi + byj + bzk, ab ha 3·3 componenti:
axbxii + axbyij + axbzik + aybxji + aybyjj + aybzjk + azbxki + azbykj + azbzkk.
Per questo (dato che spesso con tensore si intende uno del secondo ordine) viene chiamato anche prodotto tensoriale tra vettori (quello scalare dà uno scalare, quello vettoriale un vettore, quello tensoriale un tensore del secondo ordine). Vedremo (sezione 1.15 di Mase) che è un caso particolare di prodotto tensoriale esterno (è il prodotto esterno di due tensori del primo ordine).
    Vedremo che anche una diadica (sviluppando i prodotti diadici e raccogliendo rispetto ad ii, ij, ...kk), si riduce a 9 componenti, e quindi a un tensore del secondo ordine. In altre parole, riferendosi alle componenti cartesiane, le diadiche possono essere trasformate in diadi.

Sezioni 1.9 e 1.16 di "Mase". Problemi risolti 1.21-1.23 (il δ di Kronecker: δij vale 1 se i=j, 0 altrimenti).

Altri esercizi
(1)  Sia A la matrice 2×2 tale che A(i,j)=2 se i=2 e j=1, A(i,j)=1 altrimenti. Sia F la trasformazione R2R2 tale che F(X)=A×X (X è il vettore colonna x,y). Si cambi sistema di riferimento prendendo come nuove basi (1,√2) e (1,-√2). Che forma assume F riferita alla nuova base?

(2)  Sia a = 2i - 3j - 6k, b = i + 3j - k e c = i - j + 3k
Determina, se possibile, a · (b × c), a × (b · c), a × (b × c)

(3)  La seguente espressione in "notazione simbolica"

abbrevia il sistema di equazioni:

Abbrevia il sistema usando la "notazione indiciale".

(4)  Siano u, v e w tre vettori. Esprimi in "notazione simbolica" (ossia nella notazione usualmente impiegata in Fisica) la relazione tra i tre vettori che in "notazione indiciale" ha la forma wi = εijkujvk

Sezioni 1.7, 1.8 e 1.10 di "G.E. Mase" (e problemi risolti 1.16-1.18).
Nota 1. La sezione 1.8 è "centrale": dà senso all'uso dei tensori per rappresentare trasformazioni.
Nota 2. La trasformazione lineare f associata alla diade D = ab (prodotto diadico o tensoriale dei vettori a e b) trasforma il vettore c in un vettore f(c) = D·c = a(b·c) = ka (con k = b·c) parallelo ad a.
Nota 3. In presentazioni alternative, i prodotti tensoriali tra vettori sono direttamente presentati come particolari applicazioni lineari.

[commenti agli esercizi]