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SMID - Analisi Matematica I - prova scritta intermedia - 30/10/06

[Si possono usare libri o appunti, calcolatrici, il programma Poligon, la calcolatrice di Windows, ma non altre risorse informatiche o cellulari; Poligon può essere usato per fare congetture o controllare grafici e calcoli da voi ottenuti; questi, comunque, devono essere motivati indipendentemente da quanto ottenuto con Poligon]

(A)  Determinare i limiti seguenti motivando lo svolgimento.

(1)   lim x → 1−  2x3 − x2 + 1 ————— x2 − 1	(2)   lim x → ∞  3x2 − 2 ———— 4x2 + 1
(3)   lim x → 0  sin(x)3 + x4 ————— 4x3	(4)   lim x → 0  (sin(x) + x)3 ————— x3

Nota. Se F è un simbolo di funzione e F(x) è il valore che F assume in corrispondenza dell'input x, F(x)³ indica il cubo di F(x), non F(x³).
In particolare, sin(x)³, usando la convenzione di distinguere l'argomento dal simbolo di funzione con uno spazio bianco invece che con una coppia di parentesi, corrisponde a (sin x)³, o a sin³ x, usando anche la convenzione - non sempre usata in matematica - di indicare con Fⁿ la funzione che a x associa la potenza n-esima di F(x).

(B)  Sia f(x) = 2 +	1
	————
	sin(x) + 2

(1) Stabilire dove f cresce/decresce

(2) Tracciare il grafico di f motivandone l'andamento

(3) Stabilire se esiste il limite di f(x) per x → −∞ (se esiste, determinarlo, altrimenti motivarne la non esistenza).

(C)  Siano G e H due grandezze legate dalla relazione G = (2H+5) / (H+2).
Se so che H sta tra 9.5 e 10.5, qual è la migliore valutazione che posso ottenere di G?