SMID - Analisi Matematica I - prova scritta intermedia - 30/10/06 - Commenti

(A) 

(1)	lim x → 1−	2x3 − x2 + 1
		—————
		x2 − 1

Per x → 1−, 2x³−x²+1 → 2 e x²−1 → 0− (infatti se 0<x<1  x²−1<0), quindi il loro rapporto tende a −∞ (in forma compatta, "2/0− = −∞")
[Controllo (o congettura) con Poligon:
F(x)=(2*x^3-x^2+1)/(x^2-1)
F(0.99)=-98.517...   F(0.999)=-998.50...   F(0.9999)=-9998.5...
Con questi input, che tendono a 1 da sinistra, F tende ad assumere valori negativi con valore assoluto che sembra crescere oltre ogni limite: OK.]

(2)	lim x → ∞	3x2 − 2
		————
		4x2 + 1

Per x>0 (e questa è una restrizione che non crea problemi in quanto sto studiando il limite per x → ∞), (3x²−2)/(4x²+1) si maniene equivalente se divido i due termini per x², quindi posso studiare il comportamento per x → ∞ di (3−2/x²)/(4+1/x²). Tenendo conto che il passaggio al limite conserva le somme, che 1/x² → 0 per x → ∞ e che il passaggio al limite conserva i rapporti, si ottiene che il limite cercato è (3−0)/(4+0) = 3/4.
[Per controllare (o congetturare) con Poligon, posto F(x)=(3*x^2-2)/(4*x^2+1), avrei calcolato: F(1), F(10), F(100), … o F(2), F(4, F(8), F(16), … o …]

(3)	lim x → 0	sin(x)3 + x4
		—————
		4x3

Il termine equivale a ((sin(x)/x)³+x)/4, quindi posso studiare il limite di questo termine. Tenendo conto che per x → 0 sin(x)/x → 1, che il passaggio al limite conserva l'elevamento al cubo, le somme e le moltiplicazioni per costanti, si ottiene che il limite cercato è (1+0)/4 = 1/4.  Grafico (o prove numeriche ...), per conferma:

F(x) = (SIN(x)^3+x^4)/(4*x^3) F(10^-1) = 0.2737527049465551 F(10^-2) = 0.2524875002708298 F(10^-3) = 0.2502498750000271 F(10^-4) = 0.25002499875 F(10^-5) = 0.2500024999875 F(-10^-5)=0.2499974999875 ...

(4)	lim x → 0	(sin(x) + x)3
		—————
		x3

Il termine equivale a ((sin(x)+x)/x)³, che a sua volta equivale a (sin(x)/x+1)³. Tenendo conto che per x → 0 sin(x)/x → 1, che il passaggio al limite conserva le somme e l'elevamento al cubo, si ottiene che il limite cercato è (1+1)³ = 8.  Grafico (o prove numeriche ...), per conferma:

F(x) = (SIN(x)+x)^3/x^3 F(10^-1) = 7.980026643004819 F(10^-2) = 7.999800002666642 F(10^-3) = 7.999998000000267 F(10^-4) =7 .999999979999999 F(-10^-4) = 7.999999979999999 ...

(B)   f(x) = 2 +	1	= K(H(G(sin(x))))
	————
	sin(x) + 2

  dove    G(u)=u+2,     H(v)=1/v,     K(w)=2+w:
x sin(x) sin(x)+2 1/(sin(x)+2) 2+1/(sin(x)+2).
G cresce,   H decresce per v > 0 (e sin(x)+2 > 0),   K cresce.
Quindi la funzione K(H(G(.))) decresce e, dunque, K(H(G(sin(.)))) • cresce dove sin decresce  (in [π/2,3π/2] e in tutti gli intervalli ottenuti da questo per traslazioni di multipli di 2π),  • decresce dove sin cresce  (in [−π/2,π/2] e in tutti gli intervalli ottenuti da questo per traslazioni di multipli di 2π).
La funzione, essendo ottenuta per successive composizioni a partire dalla funzione sin, è anch'essa periodica di periodo 2π e ha valori che oscillano tra f(π/2) = 7/3 e f(−π/2) = 3.

F(x) = 2+1/(SIN(x)+2) G(x) = 3 H(x) = 7/3 plot x: -10..10 y: f | 11 scala sx: -10..10 sy: -1..4   plot x: -10..10 y: g | 14 plot x: -10..10 y: h | 14 plot x: pi/2 y: 0 plot x: pi/2 y: 7/3

Al posto degli ulitmi due comandi per tracciare il segmento verticale potevo anche usare:  s(pi/2,0,pi/2,7/3)

Il limite per x → −∞ di f(x) non esiste in quanto si tratta di una funzione periodica non costante.

(C)  G = (2H+5) / (H+2) = [eseguendo la divisione] 2 + 1/(H+2).  Si noti l'analogia con la funzione dell'esercizio (B). Si tratta di una funzione decrescente per H > −2. Quindi se H sta in [9.5,10.5] G sta tra i valori di 2+1/(H+2) per, in ordine, H=10.5 e H=9.5, ossia in [2+1/12.5, 2+1/11.5] = [2.08, 2.08695...], che è contenuto in [2.08,2.087]. Possiamo assumere questo intervallo, ovvero 2.0835±0.0035, come approssimazione di G per H = 10±0.5.