(1)  Con diverse definizioni di F(x), provare a capire che legame c'è (e ad esprimerlo in termini geometrici) tra il grafico di F e quello delle funzioni così definite  (potete copiare le seguenti definizioni e importarle in Poligon con CLIP, e successivamente via via ridefinire F):

G(x) = -F(x)
H(x) = 1/F(x)
K(x) = F(-x)
P(x) = abs(F(x))
Q(x) = 2+F(x+1)
M(x) = 2*F(x*3)

(2)  Le funzioni x → 1/x e x → −x sono inverse di sé stesse; infatti il reciproco del reciproco di un numero è il numero stesso e l'opposto dell'opposto di un numero è il numero stesso.
I loro grafici sono del resto simmetrici rispetto alla retta y = x.
Trovare tutte le funzioni lineari che sono inverse di sé stesse:  pensare a quelle che hanno grafico simmetrico rispetto alla retta y = x.
[ ricerca con metodi algebrici:
y = ax+b; ricerco la relazione inversa esprimendo x in funzione di y
ax + b = y
ax = y − b
x = y/a − b/a
Quando è esprimibile come x = ay + b?
1/a = a AND −b/a = b
(a=1 AND b=0) OR a=−1
La funzione x → x e tutte le funzioni x → −x + b, come avevamo capito ragionando sui grafici. Verificare eventualmente la cosa con Poligon (come?)]

(3)  Risolvere rispetto a x le disequazioni seguenti prima senza computer e, poi, aiutandosi opportunamente con qualche rappresentazione grafica.
Riflettere sull'origine degli eventuali errori commessi.
                        [clicca per la soluzione di quanto proposto alla fine di (2)]

–(x+1) > 3
x2 > 9
1/x > 2


 x+1     x-2
————— > ————— 
-5-x2   -5-x2

(4)  Quanti sono i sottinsiemi di un insieme di N elementi?
Proviamo con:
Ø [1 sottinsieme: Ø]
{1} [2 sottinsiemi: Ø, {1}]
{1,2} [4 sottinsiemi: Ø, {1}, {2}, {1,2}]
{1,2,3} [8 sottinsiemi: Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}]
...
Ci siamo fatti un'idea e congetturiamo che siano 2^N. Proviamo a dimostare la congettura:

ogni volta che aggiungo un elemento ho tutti i sottoinsiemei precedenti, più altrettanti che posso ottenere aggiungendo il nuovo elemento; quindi, se indico con p(N) il n° dei sottinsiemi di un insieme di N elementi, ho:
    p(0) = 1, p(N+1) = 2·p(N)
E questa non è altro che la definizione ricorsiva di 2^N:
    2⁰ = 1, 2^N+1 = 2^N·2
(x → 2^x: funzione esponenziale; se p(0) è la popolazione iniziale, p(N+1) = 2·p(N) rappresenta una popolazione che cresce "esponenzialmente", raddoppiando di anno in anno.  Chi voglia approfondire veda qui.)

Dimostrazione alternativa:
I sia un insieme di N elementi; per formare un sottinsieme posso considerare uno ad uno gli elementi e decidere se prenderlo o no:  2 scelte possibili per ogni elemento; in tutto 2·2·...·2 = 2^N modi in cui posso prendere un sottinsieme
(in pratica sono i modi in cui posso definire una funzione I → {0,1}: ad ogni x ∈ I posso associare 0 - non lo prendo - o 1 - lo prendo; quindi le funzioni da I in {0,1} sono 2^N)

(5)  Altro esempio di def. ricorsiva:  n!
    0! = 1, (n+1)! = n!·(n+1)
Richiami di calcolo combinatorio

(6)  Descrivere la costruzione del triangolo di Pascal/Tartaglia con la ricorsione (vedi il link precedente):
...
C(n,n) = 1, C(n,0) = 1, C(n+1,k+1) = C(n,k) + C(n,k+1)

(7)  Confronto tra n → 2ⁿ e n → n!

f(x)=2^x
plot x:0..5 n=5 y:f | 14
g(x)=!(x)
plot x:0..5 n=5 y:g | 12
oo
<
v
legenda=1
:
:

Dovresti ottenere (invertiti i colori) una rappresentazione simile a quella a lato: Qual è il grafico del fattoriale?

(8)  Come definire una successione con un ciclo FOR (in linguaggi di programmazione e in altri software i cicli FOR sono definiti diversamente):

x[0]=1
for #i=1 to 15: x[#i]=x[#i-1]*2
x[](15)=

(9)  In Poligon si può richiamare un modo di calcolare il coefficiente bimomiale così:

h(x,y) = cbin
h(13,1)
h(13,2)
h(13,6)
h(13,7)

(10)  N! / ((N-K)!·K!) equivale a:
  (moltipl. dei K interi immediatamente ≤ N) / (moltipl. degli interi poitivi ≤ K)
in quanto (per K positivo):  N!/(N-K)! = N·(N-1)·...·(N-K+1) = molt. dei K interi immediatamente minori o uguali a N
K! = moltiplicaz. degli interi poitivi minori o uguali a K
Quindi  C(13,2) = 13·12/(2·1) = 13·6 = 78
Analogamente  C(25,3) = 25·24·23/(3·2) = 25·4·23 = 100·23 = 2300.

N
F(x)=!(#N)/(!(#N-x)*!(x))
#N=12
plot x:0..12 n=12 y:f|14
scala sx:-1..13 sy:-100..1000
#N=11
plot x:0..11 n=11 y:f|12

(11)  Facciamo, ora, "alcuni" esercizi dal "foglio 1" dato la volta scorsa: importante è provare a fare gli esercizi da soli, confrontare le soluzioni proposte con le vostre, riflettere sulle differenze, eventualmente chiedere spiegazioni su di esse.

 QUI  trovate altri esercizi su cui mettervi alla prova. Successivamente verranno messe in rete le soluzioni. Esercitatevi prima sui primi 15.