(2) Azionando (con Poligon):
FOR #i=0 TO 5: plot x: cos(360*gr/5*#i) y: sin(360*gr/5*#i)
che cosa si ottiene? (eventualmente azioniamo anche, 2 o 3, volte [+]) perché?
[in Poligon si possono usare dei cicli FOR dalla forma:
for #..=.. TO ..: comando (il comando può essere eventualmente preceduto da altri comandi del tipo #a=…, #b=… separati da ';')
che, ad es. nel caso di
#h=8
comando
#h=9
comando
...
#h=14
comando] clicca
(3) Proviamo a tracciare un po' di grafici di funzioni esponenziali (possiamo farlo un grafico per volta; oppure possiamo copiare le 4 righe seguenti e azionare CLIP - che cosa viene tracciato?):
N
f(x) = #a^x
for #i=0 to 10 : #a=val(0.5+#i/10); plot x:-4..4 y:f | #i+5
scala sx: @0 sy: -0.5 .. 5.5
[#a varia da 0.5 a 1.5; il colore varia da 5 a 15]
(4) Ricerca "intuitiva" del valore da dare ad A (che chiameremo numero di Nepero e indicheremo con e) affinché la curva y=A^x non scenda al di sotto della retta y=x+1:
http://macosa.dima.unige.it/om/ind/animexp.htm
Quindi il nostro numero cercato (e) potremo trovarlo facendo limx → 0+ (x + 1)1/x
Valutiamo questo limite con Poligon:
F(x) = (1+x)^(1/x)
F(1) =
F(1/10) =
F(10^-2) =
F(10^-3) =
F(10^-7) =
F(10^-8) =
F(10^-9) =
F(10^-10) =
F(10^-11) =
F(10^-12) =
F(10^-13) =
F(10^-14) =
F(10^-15) =
F(10^-16) =
Si ottengono: ... F(10^-7)=2.718281694132547, F(10^-8)=2.718281798339126,
Si vede che per x → 0 le uscite tendono a stabilizzarsi. Tuttavia, a un certo punto, l'andamento delle uscite perde regolarità, fino ad ottenersi uscite "strane". Il fenomeno è dovuto all'intervento di errori di arrotondamento. Comunque le uscite ci fanno supporre con forza che il limite esista, e che valga, arrotondando, 2.718282. Verifichiamo calcolando exp(1) – exp(x) indica ex – ovvero direttamente il valore di e, che in Poligon è indicato NE:
EXP(1)=2.718281828459045
NE=2.718281828459045
(5) Avremmo anche potuto calcolare, equivalentemente, limx → ∞ (1 + 1/x)x. Perché?
[commenti]
(6) Tracciamo i grafici di x
exp(x) e di x x+1.f(x)=exp(x) _ g(x)=x+1
plot x:-4..4 y:f |14
plot x:-4..4 y:g |12
scala sx: @0 sy:-0.5 .. 5.5
(7) Richiami sul concetto di logaritmo (solo paragrafi 5, 6 e 8 [per come vedere i numeri dei paragrafi clicca qui])
In Poligon i logaritmi in base e, 2 e 10 sono indicati con LOG (o LN), LB e LD.
Tracciamo il grafico di una funzione F esponenziale (in un certo colore) e poi quella della funzione G logaritmo sua inversa in un altro colore) e verifichiamo se cliccando
N _ f(x)=10^x _ g(x)=ld(x)
plot x:-4..4 y:f |14
plot x:-4..4 y:g |12
scala sx: @0 sy: -5 .. 5
stop
x<->y
stop
x<->y
Se definiamo H(x)=G(F(x)) e K(x)=F(G(x)) quali grafici otteniamo per esse? sono gli stessi o no? perché?
N _ H(x)=G(F(x)) _ K(x)=F(G(x))
plot x:-4..4 y: H |14
stop
plot x:-4..4 y: K |12
(8) Se definiamo f(x)=2^x e g(x)=log(f(x)), quale grafico otteniamo per f?
N _ f(x)=2^x _ g(x)=log(f(x))
plot x:-4..4 y:f |14 _ plot x:-4..4 y:g |12
Se ho dei dati sperimentali che sospetto abbiano andamento esponenziale come posso verificare la mia ipotesi ed eventualmente individuare la base dell'esponenziale?
(9) Disequazioni in cui intervengono logaritmi ed esponenziali (solo ultimo paragrafo di esempi)
(10) infiniti / infinitesimi (e "trascurabiltà", uso dei simboli "o" e "≈", …)
(11) in Oggetti Matematici: materiali - formule - limiti - limiti utili (comportamento di sin, cos ed exp vicino a 0, di log vicino a 1)