Date  f(x) = x3/(x2−x−6)  e  g(x) = ex ln(e2x+8)
(a) calcolare  ∫f  e  ∫g   (b) calcolare l'area compresa tra il grafico di f e quello di g per gli input in [−1,1].
(a)  Se calcolo con Maple:
> int(x^3/(x^2-x-6), x);
ottengo x+x^2/2+8/5*ln(x+2)+27/5*ln(x-3): Maple mi dà una soluzione, ma non tutte, così come per l'integrale (rispetto ad x) di 1/x mi dà ln(x) (per x positivo), perdendo ln(−x) (per x negativo), come abbiamo già discusso più volte.
Proviamo a fare il calcolo esplicito. A mano, o con:
> factor(x^3/(x^2-x-6));
otteniamo x^3/((x+2)*(x-3)). A mano, o col seguente comando (in cui si usa convert .. parfrac, che non abbiamo ancora usato), possiamo ottenere:
> convert(x^3/(x^2-x-6), parfrac, x);
x + 1 + 8/5/(x+2) + 27/5/(x-3)
∫1/(x+2) dx = log(|x+2|) (e due costanti additive diverse per x>−2 e per x<−2).
∫1/(x−3) dx = log(|x−3|) (e due costanti additive diverse per x>3 e per x<3).
∫x+1+8/5/(x+2)+27/5/(x-3) dx = x2/2 + x + 8/5·log(|x+2|) + 27/5·log(|x−3|) (e tre costanti additive diverse per ciascuno dei tre intervalli), ovvero:
x2/2 + x + 8/5·log(−x−2) + 27/5·log(3−x) + C1 per x in (−∞, −2),
x2/2 + x + 8/5·log(x+2) + 27/5·log(3−x) + C2 per x in (−2, 3),
x2/2 + x + 8/5·log(x+2) + 27/5·log(x−3) + C3 per x in (3, ∞).
Se calcolo con Maple:
> int(exp(x)*ln(exp(2*x)+8), x);
ottengo un'espressione che contiene anche la costante complessa I. Posso ovviare a questo introducendo l'espressione equivalente:
> int(exp(x)*ln(exp(x)^2+8), x);
(o int(expand(exp(x)*ln(exp(2*x)+8)), x);)
ottenendo:  exp(x)*ln(exp(x)^2+8)-2*exp(x)+4*2^(1/2)*arctan(1/4*exp(x)*2^(1/2))
ovvero:  ex log(e2x+8) − 2ex + 4√2 atan(ex√2/4) (+ C), definita per ogni x.
A mano il calcolo lo posso fare con la sostituzione ex = t, dx / dt = 1/t; mi riconduco a:
∫ log(t2+8) dt  che posso affrontare per parti pensando l'intergranda come h'(t)·k(t) con k(t) = log(t2+8), h(t) = t
∫ log(t2+8) dt = t·log(t2+8) − 2∫t2/(t2+8) dt = t·log(t2+8) − 2∫1 dt − 16∫1/(t2+8) dt
∫1/(t2+8) dt = √2/4·atan(t√2/4) (+C)
Sommando e sostituendo ottengo l'espressione trovata sopra con Maple.
(b)  A lato i grafici di f e g. Il primo grafico, in [−1,1], sta sotto al secondo, quindi per calcolare l'area cercata basta fare la differenza degli integrali, in questo intervallo, delle due funzioni (che un grafico stia sotto all'altro potremmo verificarlo calcolando il valore delle funzioni in -1 e verificando che a destra una cresce e l'altra decresce, ma possiamo anche accontentarci dei grafici visualizzati dal computer). Basta fare il calcolo utilizzando i risultati ottenuti in (a) per ottenere il valore (approssimato)  5.543018 (che possiamo verificare con Maple, fendogli calcolare l'integrale definito tra -1 ed 1 della differenza delle due funzioni, e poi esprimendone il valore con evalf). Sotto i calcoli con Poligon:
  f(x) = x^3/(x^2-x-6)
  g(x) = EXP(x)*LOG(EXP(2*x)+8)
  h(x) = g(x)-f(x)
  [-1,1] h INT = 5.543017912