Siano   f(x) = √x(x+1)³ / (e^2x2−1)   e   F(x) = ₁ ∫ ^x f
(1)  Determinare campo di esistenza di f e di F, precisando dove sono continue.
(2)  Stabilire se i limiti di F agli estremi sono finti o infiniti.
(3)  Studiare la derivabilità di F, dove F cresce e dove decresce.
(4)  Studiare il segno di F.
(5)  Tracciare un grafico qualitativo di F.
(6)  Se G(x) = _1/2 ∫ ^x f,  qual è il dominio di G? Si può dire che il grafico di G è una traslazione di quello di F?

(1)  f(x) è definito per x > 0, in quanto rapporto tra un termine definito per x ≥ 0 e un termine definito per x ≠ 0. In (0, ∞) f è continua. F, in quanto antiderivata di f, è definita e continua sullo stesso intervallo.
(2)  Per x → 0+  F(x) → −∞. La cosa può essere congetturata sperimentalmente in molti modi (ad es., con Poligon o con Maple, si può calcolare l'intergrale in [1,c] di f con c che si avvicina a 0 ed osservare che si ottiene un valore che tende a −∞).
La conclusione teorica è facile: per x → 0+ e^2x2−1 va a 0 come x², √x(x+1)³ va a 0 come x^1/2, e quindi f(x) va a ∞ come 1/x^3/2, 3/2 > 1, e quindi l'integrale improprio diverge.
Per  x → ∞  F(x) → L, L finito. La cosa può essere congetturata sperimentalmente in molti modi (e si può trovare che L = 0.35831...).
[ f(x) = sqr(x)*(x+1)^3/(exp(2*x^2)-1), [1,5] f INT = 0.3583100802, [5,10] f INT = 4.75119064E-21 ]
La conclusione teorica è nuovamente facile: per x → ∞ e^2x2−1 va all'infinito di ordine superiore rispetto a qualunque potenza di x, quindi il rapporto tra √x(x+1)³ ed esso tende a 0 con ordine superiore ad 1, e quindi l'integrale improprio converge.

(3)  F è derivabile, e la sua derivata è uguale a f.  f è positiva (per x > 0 exp(x^2) > 1). Quindi F è crescente.  A conferma, a destra, i grafici di f e di F (ottenuti col computer). (4)  F, essendo crescente e valendo 0 in 1, ha segno positivo in (1,∞). (5)  Vedi il grafico di F, a destra. (6)  G ha lo stesso dominio di F, e G(x) = 1/2 ∫ x f = 1/2 ∫ 1 f + 1 ∫ x f = k + F(x) (con k = 1.15220809...). A destra è tracciato anche il grafico di G, che è traslato verticalmente (di k) rispetto a quello di F.