Come Maple poteva essere di aiuto per affrontare il compito.
(1) 
    ∑ _n=0..∞ √(n²+1) sin(1/(n+1))² 3⁻ⁿ (x−2)ⁿ
Criterio del rapporto (attenzione: serve abs):
> (sqrt((n+1)^2+1)*sin(1/(n+2))^2*3^(-n-1)*(x)^(n+1))/(sqrt(n^2+1)*sin(1/(n+1))^2*3^(-n)*(x)^n);
> limit(", n=infinity); solve(abs(")=1, x);
  x/3           3, −3
La serie sicuramente converge tra 2−3 e 2+3, ossia in (−1, 5). Vediamo quel che accade negli estremi.
> sum(sqrt(n^2+1)*sin(1/(n+1))^2*3^(-n)*(5-2)^n,n=0..infinity);  evalf(sum(sqrt(n^2+1)*sin(1/(n+1))^2*3^(-n)*(5-2)^n,n=0..500));  evalf(sum(sqrt(n^2+1)*sin(1/(n+1))^2*3^(-n)*(5-2)^n,n=0..1000));  evalf(sum(sqrt(n^2+1)*sin(1/(n+1))^2*3^(-n)*(5-2)^n,n=0..2000));
Maple non dà la somma nel caso x=5. Numericamente, per n = 500, 1000, 2000 vediamo che si ottiene:
  5.965403866         6.656059019         7.347958202
Al raddoppiare di n la somma cresce circa di 0.7. Capiamo che la serie diverge.
Del resto √(n²+1)sin(1/(n+1))² per n → ∞ si comporta come √(n²+1)/(n+1)², ossia come 1/n, e quindi la serie diverge (in quanto diverge ∑ 1/n).
Per x = −1:
> evalf(sum(sqrt(n^2+1)*sin(1/(n+1))^2*3^(-n)*(-1-2)^n,n=0..500));  evalf(sum(sqrt(n^2+1)*sin(1/(n+1))^2*3^(-n)*(-1-2)^n,n=0..1000));  evalf(sum(sqrt(n^2+1)*sin(1/(n+1))^2*3^(-n)*(-1-2)^n,n=0..2000));  evalf(sum(sqrt(n^2+1)*sin(1/(n+1))^2*3^(-n)*(-1-2)^n,n=0..4000));
  .5176137927       .5171175302       .5168684537       .5167436854
Al raddoppiare di n la differenza tra le somme tende a dimezzarsi (0.0005, 0.00025, 0.000125). Capiamo che la serie converge.
Del resto (−1)ⁿ√(n²+1)sin(1/(n+1))² per n → ∞ si comporta come (−1)ⁿ1/n, quindi la serie converge.
Concludendo la serie (che è una serie di potenze) converge in [−1, 5), e converge uniformemente in ogni intervallo [−1, k] con k tra −1 e 5. Converge assolutamente in (−1, 5), ed ivi abbiamo anche la derivabiltà della somma.

A destra il grafico ottenuto con: > f:= x-> sum(sqrt(n^2+1)*sin(1/(n+1))^2*3^(-n)*(x-2)^n,n=0..infinity); plot (f,-1..5,0..1.5); (da cui, per altro, abbiamo una conferma delle conclusioni precedenti).
La derivata in 3/2 con Maple la ottengo con: > evalf(D(f)(3/2)); o, per esempio, con: > evalf(D(f)(3/2), 20); trovando:   0.08627895327     0.086278953268778594293 in accordo, approssimativo, con la stima grafica (vedi disegno a fianco). A mano, posso usare "Taylor". D(f)(x) è uguale a: ∑ n=1..∞ n√(n2+1) sin(1/(n+1))2 3−n (x−2)n-1

Calcolando i vari termini con approssimazioni "manuali" o facendo fare i conti a Maple (o ad altri mezzi di calcolo) otteniamo:
> evalf(sum(n*sqrt(n^2+1)*sin(1/(n+1))^2*3^(-n)*(3/2-2)^(n-1),n=1..1));  evalf(sum(n*sqrt(n^2+1)*sin(1/(n+1))^2*3^(-n)*(3/2-2)^(n-1),n=2..2));  evalf(sum(n*sqrt(n^2+1)*sin(1/(n+1))^2*3^(-n)*(3/2-2)^(n-1),n=3..3));  evalf(sum(n*sqrt(n^2+1)*sin(1/(n+1))^2*3^(-n)*(3/2-2)^(n-1),n=4..4));  evalf(sum(n*sqrt(n^2+1)*sin(1/(n+1))^2*3^(-n)*(3/2-2)^(n-1),n=5..5));
 0.1083517856   -0.02659836888   0.005376637914   -0.001004548950   0.0001804691388
È una serie a segni alterni. Ogni termine è un maggiorante dell'errore. Se mi fermo ai primi 4 ho 0.08612550568 con errore (positivo) inferiore a 0.0002.
> evalf(sum(n*sqrt(n^2+1)*sin(1/(n+1))^2*3^(-n)*(3/2-2)^(n-1),n=1..4));
  0.08612550568

(2)  • Serie di Taylor di punto iniziale 0 di:
(a) f(x) = ln(1+2x)   (b) g(x) = ln(1+2x)/x per x ≠ 0, g(0) = 2   (c) F(x) = ₀∫^xg
Con Maple:
> taylor(ln(1+2*x),x,8); taylor(ln(1+2*x)/x,x,8); taylor( int(ln(1+2*t)/t,t=0..x),x,8);
  2*x-2*x^2+8/3*x^3-4*x^4+32/5*x^5-32/3*x^6+128/7*x^7+O(x^8)
  2-2*x+8/3*x^2-4*x^3+32/5*x^4-32/3*x^5+128/7*x^6+O(x^7)
  2*x-1*x^2+8/9*x^3-1*x^4+32/25*x^5-16/9*x^6+128/49*x^7+O(x^8)
Posso ottenere tutto facilmente dallo sviluppo di ln(1+x) (convergenza tra -1/2, escluso, e 1/2, compreso), dalla sua divisione per x e dalla sua integrazione (convergenza negli stessi punti).
• Polinomio di Taylor di ordine 2 e punto iniziale 0 per f e resto di Lagrange:
2 x − 2 x²
|R| = |f ⁽³⁾(c) / 3! x³| = |16/(1+2c)³ / 3! x³| < 8/(1+0)³ / 3·1/10³ = 1/375 = 0.002666… (sembra che l'errore non sia minore di 1/1000; più che un "sembra" non posso dire; se avessi ottenuto una risposta affermativa avrei potuto non usare il "sembra").