∑ n=1..∞ (−2)n (n+1)2 log(1+1/n3) (x+1)n
• Per x = −1 la serie vale 0.
Poniamo y = x+1, per semplificare la scrittura.
Vediamo quel che accade per y maggiore e minore di 0.
∑ n=1..∞ (−2)n (n+1)2 log(1+1/n3) yn
=
∑ n=1..∞ (−1)n (2y)n (n+1)2 log(1+1/n3)
Pongo z = 2y per semplificare la scrittura:
∑ n=1..∞ (−1)n zn (n+1)2 log(1+1/n3)
È una serie di potenze. Data la forma, può essere comodo usare il criterio del rapporto:
(n+2)2 log(1+1/(n+1)3) / ( (n+1)2 log(1+1/n3) ) → 1 per n → ∞
[usiamo il fatto che (vedi) per x → 0 log(1+x) ≈ x;
quindi il rapporto precedente per n → ∞ tende a comportarsi come
(n+2)2n3/((n+1)2(n+1)3),
che tende ad 1]
z in (−1,1) equivale a y in (−1/2,1/2) e, quindi, a x in (−3/2,−1/2).
Dunque la serie converge (assolutamente) in (−3/2,−1/2), e uniformemente in ogni [a,b] (non in ogni intervallo)
contenuto in
(−3/2,−1/2). Vedremo, poi, quel che accade negli estremi.
• Per x = −1/2 (ovvero z=1) la serie si riduce a
∑ n=1..∞ (−1)n (n+1)2 log(1+1/n3). Con
> evalf(sum((-1)^n*(n+1)^2*ln(1+1/n^3),n=1..100));
evalf(sum((-1)^n*(n+1)^2*ln(1+1/n^3),n=1..101));
evalf(sum((-1)^n*(n+1)^2*ln(1+1/n^3),n=1..1000));
evalf(sum((-1)^n*(n+1)^2*ln(1+1/n^3),n=1..1001))
Ottengo -2.063629483 -2.073731762 -2.068018430
-2.069022434
Del resto con evalf(sum((-1)^n*(n+1)^2*ln(1+1/n^3),n=1..infinity)); ottengo:
-2.068678203
A conferma della convergenza osservo che sono verificate le condizioni del criterio di Leibniz
(vedi, e considera la figura a fianco;
a conferma della decrescenza della funzione raffigurata si può
notare che log(1+1/x3) ≈ 1/x3 e che quindi
(x+1)2log(1+1/x3) ≈ 1/x).
Dunque, trattandosi di una serie di potenze, anche qui ho la convergenza uniforme
(vedi).
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• Per x = −3/2 (ovvero z = −1) la serie si riduce a
∑ n=1..∞ (n+1)2 log(1+1/n3),
che diverge, come posso intuire con Maple:
> evalf(sum((n+1)^2*ln(1+1/n^3),n=1..10));
evalf(sum((n+1)^2*ln(1+1/n^3),n=1..100));
evalf(sum((n+1)^2*ln(1+1/n^3),n=1..1000);
5.917691518 8.350835708 10.65453641
La cosa è ovvia: (n+1)^2*ln(1+1/n^3) è un infinito
dello stesso ordine di 1/n (in quanto ln(1+x) per x → 0 tende a comportarsi come x),
e ∑ n=1..∞ 1/n diverge.
• La serie per |x+1| = 1/2 coincide con quest'ultima serie, che diverge.
• La somma è una funzione continua in tutto l'intervallo (-3/2, -1/2]
in cui si ha la convergenza uniforme, ed è derivabile in (-3/2, -1/2)
(vedi).
• La funzione non è definita in alcun intervallo aperto contenente −1/2,
quindi ivi la funzione non è derivabile (altro sarebbe la valutazione della
derivata sinistra in tal punto).
• Ecco il grafico, ottenuto con Maple:
> f:= x -> sum((-2)^n*(n+1)^2*ln(1+1/n^3)*(x+1)^n,n=1..infinity);
plot (f, -3/2..-1/2);
In −1 sappiamo che f è nulla. Inoltre
(vedi:
f(k)(a) = k! ak)
D(f)(−1) =
(−2)1 (1+1)2 log(1+1/13) =
−8 log(2),
f(2)(−1) =
2·(−2)2 (2+1)2 log(1+1/8) =
72 ln(9/8).
Quindi f è decrescente e ha la concavità verso l'alto.
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