ANALISI I - SMID - Gennaio 2007

• Chi svolge la 2ª prova intermedia affronti gli esercizi (1) e (2), scrivendo le soluzioni su due fogli distinti.
• Chi svolge l'intera prova scritta affronti tutti gli esercizi, scrivendo la soluzione di (1) su un foglio e quelle di (2) e (3) su un altro.


(1)  Studiare la funzione f così definita:
                      f(x) = e ^{x3/ (x2 − 1)}



(2)  Sia f(x) = sin(3x) se x < 0, f(x) = ax³ + bx² + cx + d altrimenti.
Si vogliono determinare a, b, c, d in modo tale che f sia derivabile in tutto il suo dominio e abbia il grafico seguente, dove nel punto evidenziato la funzione ha un minimo relativo.
(a) Si dimostri che è possibile farlo, e che c'è un'unica soluzione, e la si individui.
(b) Si completi lo studio della funzione f così individuata.





(3)  Si calcoli   lim _{x → ∞} ( 1 + 1/x) ^{− x2}