ANALISI I - SMID - Gennaio 2008

• Chi svolge la 2ª prova intermedia affronti gli esercizi (3) e (4), scrivendo le soluzioni su due fogli distinti.
• Chi svolge l'intera prova scritta affronti tutti gli esercizi, scrivendo le soluzioni di (1) e (3) su un foglio e quelle di (2) e (4) su un altro.

(1)  (a) Studiare la funzione f definita nel modo seguente, tracciandone il grafico.

f(x) =  x3 + 1 ——— x3 − 1

(b) Risolvere (rispetto ad x) la disequazione:

x3 + 1  ≤ 2 ——— x3 − 1

(c) Studiare la concavità di f.

(2)   Calcolare:

lim x → 0  cos x − 1 ———— x ex − x

(3)   Determinare h e k in modo che la funzione f definita nel modo seguente sia derivabile in tutto il suo dominio.

f(x) = {  x·cos(x+k)   se x > 0  x + h   se x ≤ 0

(4)   Studiare la funzione f definita nel modo seguente, tracciandone il grafico, determinandone gli eventuali punti di massimo e di minimo, gli intervalli di crescenza e decrescenza e studiandone la concavità.

f(x) = x e1 − x2