Convergenza uniforme e non
(1)  Successione di funzioni che a N associa la funzione che trasforma x in x^N:  fn(x) = x^n se x sta in [0,1].
    Rappresentiamo la successione con la funzione F: (n,x) → fn(x)
> restart;
> F:= (n,x) -> x^n;
Vediamo ad es. i valori che le funzioni f1, f2, f3 assumono in 1/2
> F(1, 1/2); F(2, 1/2); F(3, 1/2);
  1/2       1/4       1/8
> plot ([F(1,x), F(2,x), F(3,x), F(4,x), F(50,x)], x=0..1);
   
Per n → ∞  fn → G dove G(x) = 0 per x in [0,1), G(1) = 1. Infatti, comunque fissi x in [0,1], fn(x) → G(x), ossia dato ε posso trovare n tale che il punto di ascissa x del grafico di fj con j ≥ n dista meno di ε dal grafico di G, ossia il segmento dell'asse x tra 0 e 1 escluso al più il punto (1, 1).
Questa convergenza è solo "puntuale", non "uniforme":  fissato ε non riesco a trovare n tale che da lì in poi x^n (ovunque sia x in [0,1]) disti da G(x) meno di ε; il massimo scarto si mantiene uguale ad 1 (vedi l'esempio negli appunti).
(2)  Date  1/(1+x)2  e  1/(1+x)3,  trovarne le serie di Taylor attorno a 0 a partire dallo sviluppo di (vedi) 1/(1-x) (convergenza tra -1 e 1) utilizzando il fatto che la somma della serie delle derivate coincide con la derivata della somma della serie (se vuoi vedi http://macosa.dima.unige.it/mat/calculus/seriesf.htm per richiami)
> taylor(1/(1-x), x=0);
1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + O(x^6)
> diff(1/(1-x),x);
1/(1−x)2
Derivando i tremini della serie precedente trovo lo sviluppo in serie di 1/(1−x)2
> taylor(1/(1-x)^2, x=0);
1 + 2 x + 3 x^2 + 4 x^3 + 5 x^4 + 6 x^5 + O(x^6)
da cui ricavo quello di 1/(1+x)^2 … (1 − 2 x + 3 x^2 − 4 x^3 + …)
Si procede analogamente per 1/(1+x)^3 (1 − 3 x + 6 x^2 − 10 x^3 + …)
(3)  (a) Si calcoli il raggio di convergenza della serie ∑ n=1..∞ n(x−2)n / 2n  e (b)  se ne calcoli la somma per x = 1.
(a) Criterio del rapporto
> a:= n -> n/2^n*(x-2)^n; abs(a(n+1)/a(n)); simplify(abs(a(n+1)/a(n))); 

                    n
           n (x - 2)
 a := n -> ----------
                n
               2
                          |               n + 1  n 
                          |(n + 1) (x - 2)      2 |
                          |-----------------------|
                          |    n + 1          n   |
                          |   2      n (x - 2)    |
     |(n + 1) (x - 2)|
 1/2 |---------------|
     |       n       |
> R := limit (simplify(abs(a(n+1)/a(n))), n=infinity); 
  R := 1/2 | x - 2 |
Grafico di R in funzione di x:
> plot(R, x=-1..5);
   
R minore di 1 per x in (0,4). Del resto, con Maple:
> solve(R < 1, x);
RealRange(Open(0), Open(4))
Negli estremi si ha divergenza in quanto a(n) in entrambi i casi non tende a 0:
Per x=4
> Sum(n/2^n*(4-2)^n, n=1..infinity) = sum(n/2^n*(4-2)^n, n=1..infinity);
∑ n=1..∞ n = ∞
controllo:
> sum(n/2^n*(4-2)^n, n=1..10); sum(n/2^n*(4-2)^n, n=1..11); sum(n/2^n*(4-2)^n, n=1..k);
55     66     (k+1)2/2 − k/2 − 1/2
Per x=0
> Sum(n/2^n*(0-2)^n, n=1..infinity) = sum(n/2^n*(0-2)^n, n=1..infinity);
∑ n=1..∞ n(-2)n/2n = -1/4   oppure   undefined
a seconda della versione di Maple;
controllo:
> sum(n/2^n*(0-2)^n, n=1..9); sum(n/2^n*(0-2)^n, n=1..10); sum(n/2^n*(0-2)^n, n=1..11);
   sum(n/2^n*(0-2)^n, n=1..12); expand(sum(n/2^n*(0-2)^n, n=1..k));
−5     5     −6     6     (-1)kk/2 + (-1)k/4 - 1/4
diverge.
(b)  Per x = 1:
> Sum(n/2^n*(1-2)^n, n=1..infinity) = sum(n/2^n*(1-2)^n, n=1..infinity);
∑ n=1..∞ n(-1)n/2n = −2/9
controllo:
> evalf(sum(n/2^n*(1-2)^n, n=1..30)); evalf(sum(n/2^n*(1-2)^n, n=1..31));
−.2222222127      −.2222222271
Questo valore è stato ottenuto con Maple. La cosa potrebbe essere ottenuta riordinando opportunamente la serie, come può suggerire il seguente calcolo ottenuto con Maple (chi vuole, ci ragioni su):
> Sum(n/2^n*(1-2)^n, n=1..2*k) = simplify(sum(n/2^n*(1-2)^n, n=1..2*k));
∑ n=1..2k n (-1)n / 2n = 2 / 3 · 4−k k + 2 / 9 · 4−k − 2 / 9
o ricorrendo alla somma della seguente serie (il cui studio, come si è visto, è ricavabile differenziando la serie geometrica):
> -1/(1+x)^2 = taylor(-1/(1+x)^2, x);
−1/(1+x)2 = − 1 + 2x − 3x2 + 4x3 − 5x4 + 6x5 + O(x6)
> Sum(n*x^(n-1)*(-1)^n, n=1..infinity) = sum(n*x^(n-1)*(-1)^n, n=1..infinity);
∑ n=1..∞ n (-1)n xn−1 = −1/(1+x)2
Dunque:
> -x/(1+x)^2 = series(-x/(1+x)^2,x); -x/(1+x)^2 = Sum(n*x^n*(-1)^n,n=1..infinity);
−x/(1+x)2 = − x + 2x2 − 3x3 + 4x4 − 5x5 + O(x6)
−x/(1+x)2 = ∑ n=1..∞ n (-1)n xn
La nostra serie corrisponde al caso x = 1/2:
> subs(x=1/2, -x/(1+x)^2 = Sum(n*x^n*(-1)^n,n=1..infinity)); sum(n*(1/2)^n*(-1)^n,n=1..infinity);
−2/9 = ∑ n=1..∞ n (-1)n (1/2)n             −2/9