(1) Si calcolino tutte le primitive di f := x->1/(x^2-x) per x in (0, 1) e si determini la primitiva F tale che F(1/2) = 0. Potremmo usare direttamente Maple e ottenere;

> f:=x->1/(x^2-x);

> Int(f(x),x) = int(f(x),x);

ma in casi come questo, in cui f(x) è definito in un'unione di intervalli, occorre stare attenti: potrebbe produrre primitive buone su uno e non su tutti. Controlliamo a mano (e, comunque, nel compito dobbiamo giustificare l'intergale ottenuto): idea: cerco di espriemere l'integranda come somma di frazioni aventi per denominatore i fattori del denominatore attuale:

> a/x+b/(x-1)=1/(x^2-x); simplify(a/x+b/(x-1)=1/(x^2-x));

Posso prendere a = -1 e b = 1. Verifica:

> simplify(-1/x+1/(x-1));

So che le primitive di 1/t hanno la forma log(t)+c1 per t > 0 e log(-t)+c2 per t < 0. Per x in (0,1) x > 0 e x-1 < 0, per cui, a meno di costanti additive,

Ora cerco F(x) = -log(x) + log(1-x) + c tale che F(1/2) = 0

> solve(-log(1/2)+log(1-1/2)+c = 0,c);

0

F(x) = -log(x) - log(1-x). Verifica:

> F := x -> -log(x)+log(1-x): F(1/2); simplify(diff(F(x),x));

OK
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(2) Si calcolino al variare di x in R:

(a) Pensiamo all'andamento dell'integranda:

> f:= t -> abs(t^2-1): plot (f,-3..3);

in quanto t varia in un intervallo in cui  |t²-1|= t²-1
Per x in [-1,1]

Abbiamo separato quanto accade per t tra 2 e 1 e per t che varia in [-1,1], in cui  |t²-1|= -(t²-1)
Per x <= -1

I calcoli con Maple:

> int(t^2-1,t = 2 .. x);
> int(t^2-1,t = 2 .. 1)+int(-(t^2-1),t = 1 .. x);
> int(t^2-1,t = 2 .. 1)+int(-(t^2-1),t = 1 .. -1)+int((t^2-1),t = -1 .. x);

Facciamo un controllo grafico; dovremmo ottenere una funzione continua e un grafico con una simmetria centrale rispetto al pun to di ascissa 0:

> F := x -> piecewise(x>=1,1/3*x^3-x-2/3,x<1 and x>=-1,-2-1/3*x^3+x,x<-1,-10/3+1/3*x^3-x);

> plot (F,-3..3);

OK
(b) Facilmente fattibile con la sostituzione t = 3u, u=t/3, t^2 = 9u, dt = 3 du

> Int(1/(t^2+9),t=0..x) = 1/3*Int(1/(u^2+1),u=0..x/3);
> 1/3*Int(1/(u^2+1),u=0..x/3) = 1/3*int(1/(u^2+1),u=0..x/3);

Controllo con Maple:

> Int(1/(t^2+9),t=0..x) = int(1/(t^2+9),t=0..x);