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SMID - Analisi Matematica I - prova di preparazione al I compito - novembre 2008

[ • Si possono usare libri o appunti, calcolatrici, il programma Poligon, la calcolatrice di Windows, ma non altre risorse informatiche o cellulari;
• il domino di ogni funzione f oggetto degli esercizi proposti è l'insieme più grande dei numeri reali x per cui f(x) è definito;
• Poligon può essere usato per fare congetture o controllare grafici e calcoli da voi ottenuti; questi, comunque, devono essere motivati - in "italiano" - indipendentemente da quanto ottenuto con Poligon ]

(1)  Sia f(x) =	4 x2 + 10 x − 6
	———————
	2 x2 − 18

(A)  Individuare il dominio D di f

(B)  Tracciare il grafico di f motivandone l'andamento (eventualmente mediante il calcolo di opportuni limiti)

(C)  Determinare l'immagine mediante f di  D ∩ [2,4].

(2)  [ facolativo ]  Determinare il limite seguente motivando lo svolgimento [traccia: utilizzare un opportuno cambiamento di variabili].

lim x → 0  sin(sin x) ——————— 7 sin x + sin3 x

Ricorda:  sin³ x, e l'equivalente (sin x)³, sono scritti usando convenzioni non ammesse dal software matematico, con cui occorre impiegare sin(x)^3.

(3)  Sia f(x) = √(1 − x²)

(A)  Tracciare il grafico di f motivandone l'andamento

(B)  Individuare l'intervallo I di massima ampiezza che abbia 1/2 come elemento e tale che f ristretta al dominio I sia invertibile.

(C)  Sia h l'inversa della funzione f (ristretta ad I). Tracciare il grafico di h ed esplicitare analiticamente h.

(4)  Sia f(x) = (	cos x	+	10	) · √x.
	——		—
	100		x

Calcolare (se esistono)  lim _{x → ∞} f(x)  e  lim _{x → 0+} f(x)