Soluzione agli "ulteriori esercizi"
 Σ_{n = 0…∞} 1/10ⁿ
1+0.1+0.01+0.001+… = 1.111… = 1 + 0.111… = 1 + 1/9 = 10/9. È uno dei primi esempi di serie che si incontrano, nella scuola dell'obbligo ... (anche se non formulati in questo modo).
 Σ_{n = 0…∞} aⁿ/n!
È una generalizzazione di Σ_{n = 0…∞} 1/n! che vale e. Con Maple troveremmo che vale e^a. Possiamo dedurne la convergenza ad es. col criterio del rapporto:  simplify(a^(n+1)/(n+1)!/(a^n/n!));  dà  a/(n+1)  che tende a 0, e che quindi, da un certo punto in poi, è minore di 1.
 Σ_{n = 1…∞} 1/(n+√n)
Maple non ci dà in alcun modo quanto vale questa somma. Con  evalf(sum(1/(n+sqrt(n)),n=1..3000));  e comandi analoghi troviamo che le somme dei primi 3000, 4000, 5000 e 6000 termini sono (approssimando) 9.213689266, 9.499828464, 9.721918769 e 9.903462676. La serie sembra non avere limite finito (ogni 1000 tende a crescere di circa 0.2). La conferma teorica è semplice: 1/(n+√n) è un infinitesimo (per n → ∞) dello stesso ordine di 1/n e Σ_{n = 1…∞} 1/n diverge.
 Σ_{n = 2…∞} 1/(n·ln(n))
Il modo forse più semplice per studiare questa serie è ricorrere al test integrale:  ∫1/(x·ln(x)) dx  vale ln(ln(x)) (+C), quindi  ∫ _[2,n] 1/(x·ln(x)) dx  si comporta come ln(ln(n)) − vale ln(ln(n))−ln(ln(2)) − che tende all'infinito. Quindi la serie diverge. Lo studio sperimentale non darebbe conclusioni facilmente interpretabili in quanto si tratta di una serie che diverge molto lentamente. La conferma di questa lentezza è data dal contenuto della nota seguente.
Nota. Osserviamo che  ∫1/(x·ln(x)^s) dx  per  s > 1  vale  − ln(x)^1−s / (s-1) = −1 / (ln(x)^s−1(s-1)) (+C), e dunque  ∫ _[2,n] 1/(x·ln(x)^s) dx  per n → ∞ tende ad un valore finito (in quanto −1/(ln(n)^s−1(s-1)) tende a 0). Quindi la serie Σ_{n = 2…∞} 1/(n·ln(n)^s) converge.
 Σ_{n = 2…∞} 1/ln(n!)
Con  evalf(sum(1/ln(n!),n=1..100));  e comandi analoghi troviamo che le somme dei primi 100, 200, 400, 800 e 1600 termini sono (approssimando) 3.962852697, 4.136813545, 4.285551649, 4.415263811 e 4.530179957 (al raddoppiare del numero degli addendi la differenza delle uscite scende molto lentamente). Dalle uscite numeriche non capiamo quello che accade. Teoricamente, se ricordiamo che nⁿ cresce più rapidamente di n!, o anche solo che, da un certo punto in poi, nⁿ > n!, possiamo concludere che la serie diverge, per quanto trovato nell'esercizio precedente. Infatti log(nⁿ) = n·log(n) > 0 e, quindi, da un certo n in poi, 1/log(n!) > 1/(n·log(n)) > 0 (quindi per il test del confronto …).
 Σ_{n = 1…∞} (√(n+1) − √n)³
Con Maple, con evalf, ho immediatamente la convergenza a 0.247317349864127... Valutiamo la cosa teoricamente. Innanzi tutto osserviamo che (√(n+1) − √n)³ → 0 per n → ∞ in quanto √(n+1)−√n → 0:
√(n+1)−√n = (√(n+1)−√n)(√(n+1)+√n)/(√(n+1)+√n) = (n+1−n)/(√(n+1)+√n) = 1/(√(n+1)+√n) → 0.
Nel far questo abbiamo anche visto che (√(n+1) − √n)³ = 1/(√(n+1)+√n)³. Abbiamo, dunque, che il termine generico della nostra serie va a 0 come 1/n^3/2, 3/2 > 1, quindi la serie converge.
 Σ_{n = 1…∞} (−1)ⁿ ln(n) / n!
Con Maple, con evalf, ho immediatamente la convergenza a 0.20997038389801... Valutiamo la cosa teoricamente. Innanzi tutto osserviamo che si tratta di una serie a segni alterni. Vediamo prima che cosa accade per  Σ_{n = 1…∞} (−1)ⁿ ln(n) / n.  Con Maple abbiamo che anche questa converge (a 0.15986890374243...). La dimostrazione è facile: basta far vedere che ln(n)/n tende a 0 decrescendo da un certo n in poi.  D_x(ln(x)/x) = (1−ln(x))/x² < 0 per x > e;  OK.
Quindi questa seconda serie converge e, a maggior ragione, dato che ln(n)/n! < ln(n)/n, converge anche la prima.
 Σ_{n = 1…∞} ln(n) / n!
Con Maple, con evalf, ho immediatamente la convergenza a 0.60378286279148... La presenza del fattoriale ci suggerisce di procedere col metodo del rapporto:
(ln(n+1)/(n+1)!) / (ln(n)/n!) = (ln(n+1)/(n+1)) / ln(n) che tende a 0 (tende a comportarsi come 1/n), e quindi, da un certo punto in poi, è sicuramente minore di 1.
 Σ_{n = 2…∞} n / C(n,2)
Σ_{n = 2…∞} n / C(n,2) = Σ_{n = 2…∞} n / (n·(n−1)/2) = Σ_{n = 2…∞} 2 / (n−1) che diverge (in quanto 2/(n−1) va a 0 come 1/n).
 Σ_{n = 3…∞} n / C(n,3)
Σ_{n = 3…∞} n / C(n,3) = Σ_{n = 3…∞} n / (n(n−1)(n−2)/6) = Σ_{n = 3…∞} 6 / ((n−1)(n−2)) che converge (in quanto 6/((n−1)(n−2)) va a 0 come 1/n²).  Con Maple  (sum(n/binomial(n, 3),n=3..infinity);)  ho che la serie vale 6.
 Σ_{n = 1…∞} sin(1/n)
Per x → 0 sin(x) ≈ x, quindi per n → ∞ sin(1/n) ≈ 1/n. Dunque la serie diverge.

Del resto

F(x)=SIN(1/x) [1,10] F SUM = 2.737823151 [1,100] F SUM = 4.995486683 [1,1000] F SUM = 7.293571858 [1,10000] F SUM = 9.595706951 [1,100000] F SUM = 11.89824704

 Σ_{n = 1…∞} (−1)ⁿ (n+1) / (n²+100)
Con Maple, con evalf, ho immediatamente la convergenza a -0.00751276150427223...
Lo stesso posso averlo con Poligon:

F(x)=(-1)^x*(x+1)/(x^2+100)
[1,100] F SUM = -0.002537512803
[1,1000] F SUM = -0.007012561974
[1,10000] F SUM = -0.007462759055
[1,100000] F SUM = -0.007507761479

F(x)=(-1)^x*(x+1)/(x^2+100)
#T=300
N
noscrivi=1
FOR #N=1 TO #T : #S=[1,#N] F SUM ; PLOT X:#N Y:#S
noscrivi=0
oo

G(x) = (x+1)/(x^2+100)

G(x) = (x+1)/(x^2+100)
[1,100] G SUM = 2.453830604
[1,1000] G SUM = 4.755966045
[1,10000] G SUM = 7.058951245
[1,100000] G SUM = 9.361580839

F(x)=x*SIN(#A)^(x-1)
#A=30*GR
[1,100] F SUM = 4
[1,101] F SUM = 4
#A=PI/2
[1,100] F SUM = 5050
[1,1000] F SUM = 500500
#A=60*GR
[1,400] F SUM = 55.71281292
[1,401] F SUM = 55.71281292
#A=225*GR
[1,100] F SUM = 0.3431457505
[1,101] F SUM = 0.3431457505
#B=1/(1-SIN(#A))^2
#A=30*GR
#B=4
#A=60*GR
#B=55.71281292110199
#A=225*GR
#B=0.3431457505076198

F(x) = SQR(x^2+1)-x
F(100)/F(50) = 0.5000374943761793
F(200)/F(100) = 0.5000093746477777
F(400)/F(200) = 0.5000023437313356

F(x) = 1/x^(1+1/x)
[1,50] F SUM = 3.76589169
[1,100] F SUM = 4.413685353
[1,200] F SUM = 5.08037843
[1,400] F SUM = 5.75845537
[1,800] F SUM = 6.443164205
F(200)/F(100) = 0.5098763337386893
F(400)/F(200) = 0.5057897271299492
F(800)/F(400) = 0.5033224382926408

F(x) = SQR(x^#A+1)-SQR(x^#A)
#A = 2.5
F(200)/F(100) = 0.4204490729037894
F(400)/F(200) = 0.4204483606745886
F(800)/F(400) = 0.4204482359154465