Completamento dell'esercitazione della volta scorsa

1)  Schizza i grafici di x → x, x → x2, x → -x, x → 1/x, x → x3, x → 1/(x+3), x → (x-5)3+1.
Quali hanno assi di simmetria? Quali hanno centri di simmetria?

2)  Schizza il grafico delle funzioni x → 1/x  e  x → 4, e risolvi rispetto a x la disequazione 1/x > 4

[commenti]

3)  Sotto è tracciato (parzialmente) il grafico della funzione G. Da esso si ricava che se x = 7.5 ± 0.5 allora G(x) sta (circa) in [0.7, 1].
Che cosa possiamo dire del valore di G(x) se x = 11.5 ± 1.5?

4)  A lato è tracciato il grafico di una funzione F avente per dominio [-4,8]. Rappresenta graficamente, nel loro dominio, le funzioni:
x → F(-x)
x → F(|x|)
x → |F(x)|
[commenti]

NOTA 1. Sulle "simmetrie" potete cercare nell'indice alfabetico la voce qui e guardare che cosa si dice nelle varie parti collegate.

NOTA 2. Per me i numeri naturali includono lo zero, per altri no (vedi). In matematica alcune definizioni sono diverse a seconda del settore o degli autori. È cosa "buona" essere consapevoli di ciò, e, quando si guarda un libro di matematica (non un libro di scuola ...), dare sempre un'occhiata alle definizioni che vengono assunte.

5)  Come abbiamo visto la volta scorsa (vedi) in Poligon si può tracciare un grafico senza che i punti vengano congiunti con il comando punticong=0. Esiste, tuttavia, un'alternativa, richiamata dallo stesso help (vai nel punto collegato e poi clicca "vedi"), che consiste nel mettere una P (come "per Punti") a destra nel box X. Rivediamo il grafico della parte intera (se vuoi, puoi direttamente copiare le righe seguenti; il grafico viene eseguito in giallo: 14 è il codice di tale colore; ma devi anche imparare ad eseguire i comandi - digitandone i nomi o cliccando i corrispondenti bottoni - senza copiarli):

N
f(x)=int(x)
plot x:-5..5 n=500 P y:f|14
o
Proviamo, ora, a controllare con Poligon gli esiti dell'ultimo esercizio della volta scorsa (vedi), su una funzione diversa. È una particolare funzione polinomiale:
F(x)=x^4-2*x^2+x-1
N
plot x: -2.5..2 y: f | 14
scala sx: -4..4  sy: -25..25
stop
G(x) = F(-x)
plot x: -2..2.5  y:g | 13
stop
H(x) = F(ABS(x))
plot x: -2..2  y: h | 12
stop
K(x) = ABS(F(x))
plot x: -2.5..2  y: k | 11
stop
L(x) = -F(x)
plot x: -2.5..2  y: l | 10
Riesegui, eventualmente, i comandi e cerca di capire il collegamento tra essi e ciò che viene tracciato (guarda in fondo alla finestra destra i comandi man mano eseguiti). Poi controlla qui gli esiti (che appaiono in colori invertiti).
[che sono (e che non sono) i polinomi: http://macosa.dima.unige.it/om/ind/funzpol_4.htm]

6)  Grafico di x −> (x−2)^3+1 come traslazione di quello di x −> x^3 (il comando s traccia il segmento che ha per estremi i punti le cui coordinate sono indicate tra parentesi; l'opzione "|11" lo fa tracciare nel colore "11"; il comando "scrivi" scrive il messaggio che segue i ":" a partire dalle coordinate indicate prima dei ":"; il simbolo "_" consente di concatenare due comandi sulla stessa riga; vedi l'help):

N
f(x) = x^3
plot x: -3..5  y: f | 14
scala sx: -3..5  sy: -5..6
g(x) = f(x-2)+1
plot x: -3..5  y: g | 12
s|11 (0,0,2,1)
scrivi 2,-1/2:2 _ scrivi -0.2,1:1
ovvero, traslando il grafico; ecco come operare la trasformazione così descrivibile: x' = x+2, y' = y+1
N
f(x) = x^3
plot x: -3..5  y: f | 14
scala sx: -3..5  sy: -5..6
plot x: = x+2 y: = y+1 | 12

Poi controlla qui gli esiti.

7)  Abbiamo visto che tracciare grafici al computer usando Poligon ha analogie e differenze rispetto al tracciamento a mano. Richiami: http://macosa.dima.unige.it/om/ind/diagram_3.htm.  Approfondiamo rapidamente l'uso di Poligon. Consideriamo l'Help html relativamente ai comandi grafici di base e poi proviamo ad esplorare sperimentalmente i menu:
– disegnando un quadrato di lato 2 con lati paralleli agli assi e centrato nell'origine
– disegnando un parallelogramma non rettangolo, un trapezio non parallelogramma
– capendo la differenza tra [o] e [o][o] (doppio clic su [o])
– uso di [>], ..., [+], [-], ...
    [ecco un possibile esito, tracciato nel rettangolo cartesiano originale, poi dilatato e spostato a sinistra]
Vedremo, poi, come salvare le figure in vari formati.

8)  Invece che usare i bottoni si possono dare i "comandi da tastiera" (vedi l'help già aperto o la sintesi di tutti i comandi). Il quadrato di cui sopra avremmo potuto tracciarlo con i comandi seguenti  (perché abbiamo messo due volte plot x:1 y:1 ? ):

plot x:1 y:1
plot x:-1 y:1
plot x:-1 y:-1
plot x:1 y:-1
plot x:1 y:1
9)  Per tracciare una figura possiamo scriverne le coordinate separate da virgola in un file qualunque, mettere in testa il numero dei punti, copiare nella memoria di Windows, e, in Poligon, mettere CLIP.GFU e cliccare [Imp]. Proviamo con:
5
78,212
79,226
80,213
81,217
82,284
[usiamo [o][o] per vedere meglio la figura]

Come possiamo modificare l'origine. Consultiamo l'help all'interno della finestra appunti.
RICHIAMO COMANDI 
...
>>> Costanti:
...
>>> variabili indiciate:
...
>>> Simboli di funzione:
...
>>> ABBREVIAZIONI
...
>>> GRAFICI
...
>>> TRASFORMAZIONI:
...
>>> FIGURE importabili:
...
>>> FUNZIONI importabili:
...
>>> CALCOLI (nel box con Enter).
...
>>> Altri COMANDI (box + Enter)
...
ORIGINE=a,b [|Col] (cambia origine assi, e loro colore - se negativo sono trasparenti)

origine = 75,200 
scala sx: 74..85  sy: 190..300
Quella rappresentata è una funzione; il suo dominio è l'insieme {78, 79, 80, 81, 82}. Il programma ha congiunto i punti, ma i segmenti non fanno, in realtà parte del vero "grafico": ci sono utili per capire l'andamento.
(vedi)
Come abbiamo già visto, per tracciare grafici di funzioni in cui l'output è associato all'input mediante una espressione si deve scegliere una lettera come nome della funzione, ad es. F, scrivere F(x)=... con "..." termine (contenente x se la funzione non deve essere una costante). Il programma usa "x" per convenzione (in via teorica si potrebbe usare qualunque nome).
Riportiamo l'origine in (0,0) e cancelliamo il grafico.
N
origine=0,0
NOTA 3. I nomi delle variabili possono essere lettere, parole, lettere o parole con indice. Non c'è uno specifico collegamento tra nome usato e dominio della variabile. Ad esempio non è detto che m e n varino solo tra i numeri interi (basti pensare al fatto che spesso le funzioni polinomiali di primo grado vengono indicate con x → m·x+n, dove m ≠ 0 e m e n variano tra i numeri reali, non tra i naturali; o all'uso di m per indicare una media). Ciò non esclude che in un particolare ambito matematico si sottointenda spesso uno specifico insieme in cui possono assumere valori le variabili. In particolare in questo corso capiterà che, quando non si specifichi il dominio, si sottointenda che esso sia l'insieme dei numeri reali (o, nel caso di una variabile che compaia nella definizione di una funzione, il più grande insieme di numeri reali assegnabile ad essa in modo tale che la funzione sia definita).

10)  Esempi:

– funzione che a x associa x scontato del 27%:
F(x) = x*0.73   oppure  F(x)=0.73x
plot x:-10..200  y:f
oo
È una retta passante per l'origine con pendenza 0.73:  http://macosa.dima.unige.it/om/ind/pendenz.htm

– funzione che a una temperatura in gradi Celsius associa il valore in gradi Fahreneit:  http://macosa.dima.unige.it/om/ind/proporz_12.htm
N
F(x) = 32+x*(212-32)/100
plot x:-50..150 y:f | 14
oo
show2(100,212)
show2(0,32)
scrivi 10,32:(0,32)
scrivi 110,212:(100,212)
(il comando show - vedi la sintesi di tutti i comandi - evidenzia temporaneamente un punto).

11)  Il grafico della funzione che al valore in gradi Fahreneit associa quello in gradi Celsius possiamo ottenerlo col bottone
[x<->y]
Perché?

12)  Funzione che a x associa area del cerchio di raggio x

N
A(x) = pi*x^2
plot x:-3..3 y:a
oo
V
Col bottone seguente il grafico non cambia, perché?
[x'=-x]
– funzione che a x associa il valore assoluto di x
f(x)=abs(x)
Col seguente comando il grafico non cambia.
[x'=-x]
13)  Grafico del cerchio di centro (0,0) e raggio 1.
Insieme dei punti che distano 1 da (0,0).  Distanza di (x,y) da (0,0):  √(x2+y2)√(x2+y2) = 1 equivale a: x2+y2 = 1http://macosa.dima.unige.it/om/ind/distanza.htm
N
f(x,y)=x^2+y^2
plot x: f(x,y)=1 y:-2..2|-2..2
o
-
o:
N
f(x,y)=x^2+y^2
plot x: f(x,y)=1 n=100 y:-2..2|-2..2
o
-
( Nota: con nessuno dei seguenti comandi cambia. Perché?
x' = -x
y' = -y
)

Non può essere un grafico di funzione a 1 input e 1 output.  Perché?
(quali sono le prime funzioni che avete incontrato a scuola? quanti input e output avevevano? [commenti]  La media aritmetica quanti input ha?)
E questo?  (poi vedi)
N
g(x,y)=x-y^2
plot x: g(x,y)=0 n=100 y:-5..5|-5..5
o
+


 QUI  trovate vari esercizi su cui esercitarvi. Successivamente verranno messe in rete le soluzioni.

Chi voglia esercitarsi, qui trova molti altri esercizi su cui verificare le proprie conoscenze/abilità.