Completamento dell'esercitazione della volta scorsa

1)  Alcune figure sono predefinite. Ad es. con:  C(1,2,3)  (nel box File) al cliccare  [Imp]  (o al premere Invio) si ottiene il cerchio di centro (1,2) e raggio 3.
Se cambiamo scala con [+y] la figura assume l'aspetto di una ellisse circolare, ma, dal punto di vista matematico, nononstante le apparenze, è ancora un cerchio.  (vedi)

F(x)=x^2
G(x)=sqr(x)
H(x)=G(F(x))
K(x)=F(G(x))

plot x:-5..5 y:h|14
o
stop
plot x:-5..5 y:k|12

3)  Copiare le seguenti righe e, in Poligon, azionare CLIP
(vedi  "zoom, scale"  nell'help Html di Poligon per capire  "sx:@0 sy:...")

N
punt=1
f(x,y)=y-x+1 _ plot x:f(x,y)=0 | 6 y:-5..5|-5..5
o
stop
scala sx:@0 sy:-6..6
stop
f(x,y)=(x>y) _ plot x:f(x,y)=0 | 7 y:-5..5|-5..5
stop
f(x,y)=x+y _ plot x:f(x,y)=0 | 8 y:-5..5|-5..5
stop
f(x,y)=x-y _ plot x:f(x,y)=0 | 9 y:-5..5|-5..5
stop
f(x,y)=x*y-1 _ plot x:f(x,y)=0 | 10 y:-5..5|-5..5
stop
f(x,y)=abs(x) _ plot x:f(x,y)=3 | 11 y:-5..5|-5..5
stop
f(x,y)=x-1 _ plot x:f(x,y)=0 | 12 y:-5..5|-5..5
stop
f(x,y)=abs(x)+abs(y) _ plot x:f(x,y)=1 | 13 y:-5..5|-5..5
stop
f(x,y)=x-y^3 _ plot x:f(x,y)=0 | 14 y:-5..5|-5..5

4)  Tracciare i grafici di x -> sin(x) e x -> cos(x) e i grafici delle relazioni inverse, con [x<->y].  Quali parti dei grafici delle relazioni inverse potrebbero essere grafici di funzione?
Nota 1.  Come calcolare sin(18°) con Poligon? 1° equivale a π/180 e in Poligon esistono le costanti PI, che vale π, e GR, che vale 1°. Quindi si può calcolare battendo sin(18PI/180) o sin(18GR). (vedi)
Nota 2.  Nel linguaggio dell'analisi spesso non si delimita con una coppia di parentesi l'argomento delle funzioni sin, cos, tan ed altre, lasciando all'interpretazione di spazi opportunamente messi l'individuazione dell'argomento. Nel caso del sofwtare occorre sempre usare le parentesi:
sin(x*y), sin(x)*y, sin(x^2), sin(x)^2 corrispondono, nelle usuali convenzioni, a sin xy, (sin x)y, sin x², (sin x)² (vedi)

5)  Con diverse definizioni di F(x), provare a capire che legame c'è (e ad esprimerlo in termini geometrici) tra il grafico di F e quello delle funzioni così definite  (potete copiare le seguenti definizioni e importarle in Poligon con CLIP, e successivamente via via ridefinire F):

G(x) = -F(x)
H(x) = 1/F(x)
K(x) = F(-x)
P(x) = abs(F(x))
Q(x) = 2+F(x+1)
M(x) = 2*F(x*3)

6)  Le funzioni x → 1/x e x → −x sono inverse di sé stesse; infatti il reciproco del reciproco di un numero è il numero stesso e l'opposto dell'opposto di un numero è il numero stesso.
I loro grafici sono del resto simmetrici rispetto alla retta y = x.
Trovare tutte le funzioni lineari che sono inverse di sé stesse:  pensare a quelle che hanno grafico simmetrico rispetto alla retta y = x.
[ ricerca con metodi algebrici:
y = ax+b; ricerco la relazione inversa esprimendo x in funzione di y
ax + b = y
ax = y − b
x = y/a − b/a
Quando è esprimibile come x = ay + b?
1/a = a AND −b/a = b
(a=1 AND b=0) OR a=−1
La funzione x → x e tutte le funzioni x → −x + b, come avevamo capito ragionando sui grafici. Verificare eventualmente la cosa con Poligon (come?)]

7)  Risolvere rispetto a x le disequazioni seguenti prima senza computer e, poi, aiutandosi opportunamente con qualche rappresentazione grafica.
Riflettere sull'origine degli eventuali errori commessi.
                        [clicca per la soluzione di quanto proposto alla fine di (6)]

–(x+1) > 3        x2 > 9       1/x > 2


 x+1     x-2
————— > ————— 
-5-x2   -5-x2

8)  Quanti sono i sottinsiemi di un insieme di N elementi?
Proviamo con:
Ø [1 sottinsieme: Ø]
{1} [2 sottinsiemi: Ø, {1}]
{1,2} [4 sottinsiemi: Ø, {1}, {2}, {1,2}]
{1,2,3} [8 sottinsiemi: Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}]
...
Ci siamo fatti un'idea e congetturiamo che siano 2^N. Proviamo a dimostare la congettura:

ogni volta che aggiungo un elemento ho tutti i sottoinsiemei precedenti, più altrettanti che posso ottenere aggiungendo il nuovo elemento; quindi, se indico con p(N) il n° dei sottinsiemi di un insieme di N elementi, ho:
    p(0) = 1, p(N+1) = 2·p(N)
E questa non è altro che la definizione ricorsiva di 2^N:
    2⁰ = 1, 2^N+1 = 2^N·2
(x → 2^x: funzione esponenziale; se p(0) è la popolazione iniziale, p(N+1) = 2·p(N) rappresenta una popolazione che cresce "esponenzialmente", raddoppiando di anno in anno.  Chi voglia approfondire veda qui.)

Dimostrazione alternativa:
I sia un insieme di N elementi; per formare un sottinsieme posso considerare uno ad uno gli elementi e decidere se prenderlo o no:  2 scelte possibili per ogni elemento; in tutto 2·2·...·2 = 2^N modi in cui posso prendere un sottinsieme
(in pratica sono i modi in cui posso definire una funzione I → {0,1}: ad ogni x ∈ I posso associare 0 - non lo prendo - o 1 - lo prendo; quindi le funzioni da I in {0,1} sono 2^N)

9)  Altro esempio di def. ricorsiva:  n!
    0! = 1, (n+1)! = n!·(n+1)
Richiami di calcolo combinatorio

10)  Descrivere la costruzione del triangolo di Pascal/Tartaglia con la ricorsione (vedi il link precedente):
...
C(n,n) = 1, C(n,0) = 1, C(n+1,k+1) = C(n,k) + C(n,k+1)

 QUI  trovate altri esercizi su cui mettervi alla prova. Successivamente verranno messe in rete le soluzioni. Esercitatevi inizialmente sui primi 15.