N
plot x:-2..2 y:f | 14
Vedi esercizi su "funzioni (e grafici)", foglio 6: esercizio 6.17, foglio 6c: esercizi 6c.10, 6c.11, 6c.12.
Cerchiamo di risolvere l'equazione
x5 − x4 − x3 + 1 = 0.
Tracciamo il grafico di x → x5 − x4 − x3 + 1.
F(X) = x^5-x^4-x^3+1 plot x: -5..5 y: f | 14
Come essere certi che le soluzioni stiano tutte in [-2,2]?
Per x → ∞ F(x) → ∞, per x → -∞ F(x) → -∞.
Una eq. polinomiale di 5° grado al più ha 5 soluzioni. 3 le vediamo.
Se ve ne fosse un'altra, ad es. destra, il grafico dovrebbe scendere,
attraversare l'asse x (o almeno toccarlo) e risalire. Potrebbe accadere,
per quel che sappiamo ora (chi ha già studiato l'argomento della
derivazione dovrebbe conoscere la risposta).
Comunque dai grafici possiamo congetturare che
il grafico passi per (-1,0) e (1,0). In effetti è immediato verificare
che
Possiamo allora (perché?) fattorizzare F(x) nella forma
(x+1)(x-1)P(x)=0, ossia (x2-1)P(x)=0. Otterremo P(x) di grado 3.
Eseguiamo la divisione (vedi - alcuni paragrafi più
avanti, nello stesso documento, hai anche la risposta al precedente "perché?").
Otteniamo P(x) = x3−x2−1.
È una eq.polin. di grado 3.
In base alle nostre conoscenze delle cubiche (chi non
ricordasse dalle scuole superiori questi aspetti può trovare una spiegazione
qui)
capiamo che P interseca l'asse x
solo nel punto che si vede sopra (con ascissa un po' più piccola di 1.5),
e che sarà la terza e ultima soluzione
della nostra equazione.
Il programma Poligon ci consente di trovare automaticamente questa soluzione,
ma anche le precedenti. Con:
[-2, 0] F(X) = 0
[0, 1.25] F(X) = 0
[1.25, 1.5] F(X) = 0
gli comandiamo di trovare i punti i cui il grafico di F taglia la retta
y = 0 all'interno delle strisce:
-2 ≤ x ≤0, 0 ≤ x ≤ 1.25 e 1.25 ≤ x ≤1.5
Otteniamo:
[-2, 0] F(x) = 0 se x = −1
[0, 1.25] F(x) = 0 se x = 1
[1.25, 1.5] F(x) = 0 se x = 1.465571231876768
Come funziona il programma. Su quali principi si basa?
Si basa sul fatto che una funzione f continua che cambi segno in [a,b]
ammette ivi almeno una soluzione (rispetto a x) di f(x) = 0, fatto che abbiamo già usato
nelle considerazioni intuitive fatte sopra, e che possono essere
dimostrate con la tecnica di bisezione, illustrata nel seguente:
| Esercizio | Vedi il link accessibile da QUI (con
un ulteriore link) per
individuare come risolvere il problema in → Poligon senza usare l'automatismo visto sopra;
è il problema che avresti potuto risolvere
direttamente con i comandi precedenti, che nel caso della
soluzione di x2=2 diventerebbero, per esempio:
F(x) = x^2 [0,2] F(X)=2 (nel file collegati trovi anche come risolvere il problema in QBasic e in → JavaScript) Vedi l'help html di Poligon; clicca "zeri, intergrali, …" per approfondimenti. Vedi in fondo al link il motivo per cui con un mezzo di calcolo la media di A e B si calcola con A+(B-A)/2. |