Richiami sul significato geometrico di derivata [scorri fino ad Appendice, e guarda in particolare l'animazione]
Esercizio 1 e
soluzione (all'es. 10 del link)
Esercizio 2 e
soluzione (all'es. 1 del link)
Esercizio 3 e
soluzione (all'es. 3 del link)
Esercizio 4 e
soluzione (all'es. 4 del link)
In Oggetti Matematici: materiali → formule → derivate → derivate (kF F+G)
Esercizio 5 dal foglio di esercizi - 5 (vedi soluzioni al foglio 5)
In Oggetti Matematici: materiali → formule → derivate → derivate (F·G F(G(.) F^-1)
Sia F(x) = sin(x2)/x.
Voglio derivare F, ossia trovare D(F), indicata anche F' o dF(x)/dx (vedi).
Per applicare le "regole di derivazione" devo aver chiara la struttura del
termine. Poligon può essere utile per esplorarla. Se definisco:
F(x) = SIN(x^2)/x
e poi batto F(x): si ottiene la sequenza di assegnazione elementari
attraverso cui Poligon esegue il calcolo di F(x):
v0 = x ^ 2
v1 = v0 SIN
v2 = v1 / x
ovvero F(x) = y con y = u/x con u = sin(w) con w=x^2.
Dobbiamo usare D(f/g), D(f(g(.))), D(sin), D(.^2)
du dx du dw dsin(w) dx^2
x - u x - 1*u x - sin(x^2)
dy dx dx dw dx dw dx
= = = =
dx x^2 x^2 x^2
cos(w) 2x^2 - sin(x^2) sin(x^2)
= 2cos(x^2) -
x^2 x^2
Se traccio il grafico di una funzione e poi ne ricavo quello della
sua pendenza, posso controllare, calcolata la derivata, se il suo
grafico coincide con quello ricavato automaticamente.
Possiamo impiegare ciò per controllare i nostri calcoli.
Ad esempio nel caso precedente possiamo fare:n F(x) = SIN(x^2)/x G(x) = 2*COS(x^2) - SIN(x^2)/x^2 plot x: 1..5 n=1001 y: f|14 scala sx:-1..6 sy:-3..3 stop plot x: y: =deriv|11 stop plot x: 1..5 y: g|12Il grafico in colore 12 si sovrappone a quello in colore 11: (nella fig. che segue i colori sono invertiti: il giallo-14 diventa blu, il celeste-11 diventa rosso, il rosso-12 diventa celeste)
Esercizio 5 e soluzione (all'es. 5 del link)
Qual è la derivata di x → |x+1|?
x → x+1 = u → |u| =|x+1|;
d(x+1)/dx = 1, d|u|/du = 1 se u> 0, = −1 se u<0. Quindi:
d|u| / dx = d|u| / du · du / dx = d|u| / du · d(x+1) / dx = d|u| / du
= 1 se u > 0, = −1 se u < 0, ossia
= 1 se x > −1, = −1 se x < −1.
Volendo esprimerci con una formula:
d|u|/du = SGN(u) se u ≠ 0;
per u=0 il termine d|u|/du non è definito.
d|u|/dx = d|u|/du·du/dx = SGN(u)·1 = SGN(x+1), se x ≠ −1.
Ecco i grafici di x → |x+1| e di x → Dx (|x+1|): |
N | |
Esercizio 6 e soluzione (all'es. 6 del link)
QUI trovate altri esercizi su cui mettervi alla prova. Successivamente verranno messe in rete le soluzioni.