Richiami sul significato geometrico di derivata [scorri fino ad Appendice, e guarda in particolare l'animazione]

Esercizio 1 e soluzione (all'es. 10 del link)
Esercizio 2 e soluzione (all'es. 1 del link)
Esercizio 3 e soluzione (all'es. 3 del link)
Esercizio 4 e soluzione (all'es. 4 del link)

In Oggetti Matematici:  materiali → formule → derivate → derivate  (kF   F+G)

Esercizio 5 dal foglio di esercizi - 5 (vedi soluzioni al foglio 5)

In Oggetti Matematici:  materiali → formule → derivate → derivate  (F·G   F(G(.)   F^-1)

Sia F(x) = sin(x2)/x.  Voglio derivare F, ossia trovare D(F), indicata anche F' o dF(x)/dx (vedi).
Per applicare le "regole di derivazione" devo aver chiara la struttura del termine. Poligon può essere utile per esplorarla. Se definisco:
F(x) = SIN(x^2)/x
e poi batto F(x): si ottiene la sequenza di assegnazione elementari attraverso cui Poligon esegue il calcolo di F(x):
v0 = x ^ 2
v1 = v0 SIN
v2 = v1 / x
ovvero F(x) = y con y = u/x con u = sin(w) con w=x^2.
Dobbiamo usare D(f/g), D(f(g(.))), D(sin), D(.^2)


     du     dx     du dw           dsin(w) dx^2
     —— x - —— u   —— —— x - 1*u   ——————— ———— x - sin(x^2)
dy   dx     dx     dw dx             dw     dx
—— = ——————————— = ————————————— = ————————————————————————— =
dx      x^2             x^2                  x^2

cos(w) 2x^2 - sin(x^2)               sin(x^2)
—————————————————————— = 2cos(x^2) - ————————
       x^2                             x^2
Se traccio il grafico di una funzione e poi ne ricavo quello della sua pendenza, posso controllare, calcolata la derivata, se il suo grafico coincide con quello ricavato automaticamente.  Possiamo impiegare ciò per controllare i nostri calcoli.  Ad esempio nel caso precedente possiamo fare:

- definire F(x) = SIN(x^2)/x e G(x) = 2*COS(x^2) - SIN(x^2)/x^2
- tracciare il grafico di F in un intervallo non troppo grande vicino a 0 (per evitare troppe oscillazioni dovute alla presenza di sin); può convenire farlo fare con molti punti:
plot x: 1..5 n=1001 y: f|14
- ricavare il grafico della derivata:  plot x: y: =deriv|11
- zoommare ed eventualmente richiamare il grafico originale (con due pressioni veloci su [P]), - tracciare il grafico di G e vedere se si sovrappone a quello ottenuto automaticamente:  plot x: 1..5 y: g|12

Copia le seguenti righe e aziona [CLP] se non vuoi fare direttamente tu le cose descritte sopra ("_" consente di concatenare comandi sulla stessa riga; qui è comodo per economizzare spazio):
n
F(x) = SIN(x^2)/x
G(x) = 2*COS(x^2) - SIN(x^2)/x^2
plot x: 1..5 n=1001 y: f|14
scala sx:-1..6 sy:-3..3
stop
plot x: y: =deriv|11
stop
plot x: 1..5 y: g|12
Il grafico in colore 12 si sovrappone a quello in colore 11: (nella fig. che segue i colori sono invertiti: il giallo-14 diventa blu, il celeste-11 diventa rosso, il rosso-12 diventa celeste)
   

Esercizio 5 e soluzione (all'es. 5 del link)

Qual è la derivata di x → |x+1|?
x → x+1 = u → |u| =|x+1|;  d(x+1)/dx  =  1, d|u|/du  =  1  se  u> 0,  = −1  se  u<0.  Quindi:
d|u| / dx = d|u| / du · du / dx  =  d|u| / du · d(x+1) / dx  =  d|u| / du
= 1 se u > 0,  = −1 se u < 0,  ossia  = 1 se x > −1,  = −1 se x < −1.
Volendo esprimerci con una formula:
d|u|/du = SGN(u) se u ≠ 0;  per u=0 il termine d|u|/du non è definito.
d|u|/dx = d|u|/du·du/dx = SGN(u)·1 = SGN(x+1), se x ≠ −1.

Ecco i grafici di  x → |x+1|  e di
x → Dx (|x+1|):
     

N
F(x) = ABS(x+1)
plot x: -5..5 n=1000 y: f | 14
scala sx:-9..9 sy:-5..7
plot x: y: =deriv | 13
stop
pp
punticong=0
stop
pp
punticong=1


[A destra sono riprodotti i comandi usabili con Poligon per costruire il grafico, con degli "stop" aggiunti per capire l'effetto dei vari comandi (esaminate l'help html per capirli). Con "n=50" al posto di "n=1000" che cosa avrei ottenuto? Provate]
Qui abbiamo usato un procedimento articolato per esercitarci sulle proprietà delle derivate. Conveniva esprimersi più brevemente così:
x |x+1| ha come grafico quello di x |x| traslato di Δx = −1.  La derivata di questa seconda funzione vale −1 per input negativi, 1 per input positivi e non è definita in 0.  Quindi la derivata della nostra funzione vale −1 per input minori di −1, 1 per input maggiori e non è definita in −1.

Esercizio 6  e  soluzione (all'es. 6 del link)

 QUI  trovate altri esercizi su cui mettervi alla prova. Successivamente verranno messe in rete le soluzioni.