A

(1)  Sia F(x) =  sin(x3) cos(x2)   + e−|x|
———————
2x3

(a) Determinare dominio di F, studiarne il segno (è positiva o negativa in tutto il dominio o cambia segno in esso?), stabilire se è dispari, pari o né pari né dispari.
(b) Calcolare, se esistono, i limiti di F(x) per x → ∞ e per x → −∞.
(c) Stabilire i valori reali di C per cui la funzione G definita nel modo seguente è continua in 0:  G: x → F(x) per x≠0, 0 → C.
(d) Se x è compreso tra -1/10 e 2/10 che cosa si può dire dei valori che assume G(x)?


(2)  Si consideri la successione   a: n → 1  ((−1)n n3 + n3) e−n
————
√(n + 2)

(a) Stabilire se la successione è crescente, decrescente o né l'una cosa né l'altra.
(b) Determinare l'estremo inferiore e quello superiore di {a(n) / n intero non negativo}
(c) Stabilire se esiste (ed eventualmente calcolare) lim n → ∞ a(n)


(3)  Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:
lim x → π/2  (1−cos(x))
—————
π/2 − x
lim x → 0  x
————
tan(sin(x))
lim x → 0−  log(cos(x))
—————
√(1 − 10x)


B

(1)  Sia F(x) =  sin(x2) cos(x3)   + e−|x|
———————
2x2

(a) Determinare dominio di F, studiarne il segno (è positiva o negativa in tutto il dominio o cambia segno in esso?), stabilire se è dispari, pari o né pari né dispari.
(b) Calcolare, se esistono, i limiti di F(x) per x → ∞ e per x → −∞.
(c) Stabilire i valori reali di C per cui la funzione G definita nel modo seguente è continua in 0:  G: x → F(x) per x≠0, 0 → C.
(d) Se x è compreso tra -1/10 e 2/10 che cosa si può dire dei valori che assume G(x)?


(2)  Si consideri la successione   a: n → 1 ((−1)n √n + √n) e−n
————
√(n2 + 1)

(a) Stabilire se la successione è crescente, decrescente o né l'una cosa né l'altra.
(b) Determinare l'estremo inferiore e quello superiore di {a(n) / n intero non negativo}
(c) Stabilire se esiste (ed eventualmente calcolare) lim n → ∞ a(n)


(3)  Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:
lim x → 0−  log(−cos(π+x))
——————
√(1 − 2x)
lim x → −π/2  (1−cos(x))
—————
x + π/2
lim x → 0  sin(tan(x))
————
x