Problemi:
— ci sono diversi aspetti:
– come definire l'operazione di esponenziazione,
– come/quando studiare le funzioni esponenziali,
– come/quando introdurre il numero "e",
– come motivare lo studio delle funzioni esponenziali,
– quali sono le loro caratteristiche essenziali da mettere a fuoco,
– ...
— prima di studiare le funzioni esponenziali occorre introdurre motivatamente l'estensione della esponenziazione dal caso dell'esponente intero a quelli dell'esponente frazionario e, più in generale, reale
— il primo passaggio è da collegare
– all'introduzione delle funzioni inverse degli elevamenti ad esponente intero, ossia le funzioni di estrazione di radice, e
– alla messa a punto delle loro proprietà (nell'ottica di non studiare i "radicali" come oggetti a sé, ma come particolari elevamenti a potenza)
— occorre anche affrontare alcuni problemi tecnici:
– non basta dire che a^m/n = ⁿ√a^m; infatti facendo (−2)^2.5 = (−2)^10/4 = ⁴√1024 avrei un termine definito, mentre facendo (−2)^2.5 = (−2)^5/2 = ²√(−32) otterrei un termine indefinito;
– occorrerà far emergere il problema e adottare la convenzione che tra tutti i rapporti m/n con cui si può esprimere l'esponente si sceglie quello non semplificabile (ossia quello ridotto ai minimi termini);
– nel caso esemplificato si sceglie 5/2 (e quindi (−2)^2.5 non è definito)
— per estendersi agli esponenti reali dobbiamo procedere con un "prolungamento per continuità", ossia definire la potenza come il valore che si può approssimare con la precisione che si vuole approssimando adeguatamente gli esponenti con numeri decimali limitati;
— l'aspetto che caratterizza le funzioni esponenziali è che hanno derivata proporzionale alla funzione stessa; difatti la funzione exp, ossia x → e^x, può essere definita (nei corsi universitari) come quella funzione f tale che D(f) = f e f(0) = 1; questo sarà l'aspetto essenziale da mettere a fuoco (come?); una caratteristica, collegata, è quella che, pensando la variabile di input come un tempo, hanno tempo di dimezzamento costante; queste sono le caratteristiche che sono rilevanti in ogni applicazione delle funzioni esponenziali; e queste sono caratteristiche a cui dovremo far riferimento per individuare dei contesti da modellizzare con funzioni esponenziali che possano motivare lo studio di esse;
— potremo inizialmente fare riferimento anche a situazioni che abbiano queste caratteristiche e che siano modellizzabili con funzioni esponenziali aventi come dominio N, come n → 2ⁿ − del tipo: popolazione P(n) con P(0) = 1, P(n+1) = 2*P(n), ossia ΔP(n) = P(n+1)−P(n) = P(n);
— il numero e dovremo introdurlo non separatamente da questo contesto, ma come quella particolare base tale che la derivata coincida con la funzione esponenziale stessa, e collegare a questa idea la possibilità di esprimerlo come limite;
— sarà opportuno, anche, collegare il fenomeno della crescita esponenziale a tematiche di calcolo combinatorio;
— successivamente si potranno trovare intrecci con argomenti di calcolo delle probabilità: la densità esponenziale, la densità gaussiana.