Domande specifiche per le classi 47 e 48         Candidato

1)  Considera

con b numero intero maggiore di 1. Allora:

A)  la serie diverge

B)  la convergenza della serie dipende da b

C)  la serie converge ad un numero razionale

D)  la serie converge ad un numero irrazionale

E)  la serie converge ad un numero la cui razionalità dipende da b

2)  Sia f: R⁺ R la funzione avente il seguente grafico. Allora:

[ f continua, f(x) = 0 se x è naturale, f(x) = 1/(n+1) se x = n+1/2 con n naturale, f lineare negli intervalli [n, n+1/2] e [n+1/2, n+1] con n naturale ]

A)  R+ f  =	B)  ƒ non è integrabile su R+	C)  R+ f  è finito
D)  non esistono funzioni primitive di f		E)  non esiste il limite per x di f(x)

3)  Siano X e Y insiemi qualsiasi e F: X Y una mappa tale che esista G: Y X per cui F°G = Id_Y. Allora si può concludere che:

A)  F è iniettiva	B)  F è suriettiva	C)  F non può essere iniettiva
D)  F non può essere suriettiva	E)  F è invertibile

4)  Sia E R. Allora:

A)  Non esiste f: RR tale che E = f –1(0)

B)  Se E è chiuso esiste f: RR continua tale che E = f –1(0)

C)  Se E è aperto esiste f: RR continua tale che E = f –1(0)

D)  Se E è aperto limitato esiste f: RR continua tale che E = f –1(0)

E)  Se E è illimitato non esiste f: RR continua tale che E = f –1(0)

5)  Sapendo che log₁₀63 = 1.7993…, stabilire quanto è lunga la rappresentazione in base dieci del numero naturale 63⁹⁵.

A)  120 cifre

B)  121 cifre

C)  170 cifre

D)  171 cifre

E)  180 cifre

6)  Sia S il sottoinsieme del piano definito da {(x, y) t.c. |x| + |y| ≤ 4}. L’area di S è pari a

A)  4

B)  10

C)  20

D)  30

E)  32

7)  L’intersezione di tre sfere nello spazio euclideo non può mai essere data da:

A)  una sfera	B)  una circonferenza	C)  tre punti
D)  due punti	E)  un punto

8)  8¹⁰¹ è congruo modulo 101 a

A)  –1

B)  0

C)  1

D)  8

E)  101

9)  Quali dei seguenti sottoinsiemi dello spazio non è compatto

A)  {(x,y,z) | x2+ y2+ z2£1}	B)  {(x,y,z) | x2+ y2+ z3£1}
C)  {(x,y,z) | x2+ y2+ z4£1}	D)  {(x,y,z) | x2+ y4+ z2£1}
E)  {(x,y,z) | x6+ y6+ z6£1}

10)  La funzione (x,y,z) 100x + 101y + 102z sul tetraedro di vertici (1,1,1), (1,1,-1), (1,-1,1), (-1,1,1) assume il massimo:

A)  in (1,1,1)

B)  in (1,1,-1)

C)  in (1,-1,1)

D)  in (-1,1,1)

E)  nel baricentro del tetraedro

11)  Se i numeri 102 e q hanno MCD pari a 2 e mcm pari a 51·10⁴, allora il numero q è uguale a

A)  104

B)  2·104

C)  104–1

D)  105

E)  51

12)  Completa il passo (5) del seguente algoritmo in modo che esso generi la rappresentazione decimale di un numero irrazionale.

(1) scrivi "1."
(2) poni K = 0, H = 0
(3) se K è dispari scrivi "1", altrimenti scrivi H volte "0"
(4) poni K = K+1
(5) poni H = ...
(6) vai al passo (3)

A)  H = 2	B)  H = 3	C)  H = K	D)  H = H + H
E)  non è possibile generare con un algoritmo un numero irrazionale

13)  Quanti numeri reali risolvono la seguente equazione rispetto ad X?
            X³ · (X⁵ + X³ +5 )² · (X² + π) = 0

A)  è una equazione di grado 15: non se ne conosce una formula risolutiva; quindi non si può rispondere al quesito
B)  15	C)  8	D)  6	E)  2

14)  Sotto sono tracciati i campi direzionali di 5 equazioni differenziali y'(x) = f(x, y), cioè per vari punti (x,y) del rettangolo sono tracciati segmentini aventi pendenza pari a f(x,y); le divisioni sugli assi sono ampie 1.
      Qual è il campo direzionale dell'equazione y' = y/x?

15)  Sia  F(N) =

.  Allora

F(N) :

A)  è 1

B)  è –1

C)  è 0

D)  è infinito

E)  non esiste

16)  I poliedri regolari con facce triangolari sono:

A)  nessuno

B)  cinque

C)  infiniti

D)  tre

E)  uno

17)  Data una circonferenza, qual è il numero massimo di triangoli rettangoli, con intersezione di area nulla, che si possono inscrivere nella circonferenza?

A)  2

B)  4

C)  5

D)  8

E)  infiniti

18)  Dato x reale, la disuguaglianza (x² – x + 1) < x è verificata

A)  per ogni x	B)  per nessun x	C)  solo per  x > 1
D)  solo per  x < 1/2	E)  solo per  0 < x < 3

19)  Si sa che  a + b = 8  e  a³ + b³ = 152. Quanto vale  a² + b² ?

A)  19	B)  32	C)  34	D)  40
E)  non è possibile conoscere  a2 + b2

20)  Siano A e B due punti distinti del piano. Il luogo dei punti del piano che sono proiezioni ortogonali di A su una qualche retta passante per B è:

A)  tutto il piano	B)  tutto il piano privato del punto A	C)  una retta
D)  una coppia di rette	E)  una circonferenza

21)  Dati in R[x] i polinomi  f = x³–3x+2  e  g = x²–1

A)  essi sono primi tra loro

B)  f è divisibile per g

C)  il resto delle divisione di f per g è 1–x

D)  il resto della divisione di f per g è 1+x

E)  –3x+3 è un massimo comune divisore di f e g

22)  Oltre a (3,4,5) le terne pitagoriche esistenti sono:

A)  nessuna

B)  una

C)  5

D)  64

E)  infinite

23)  I nomi dei seguenti quattro matematici sono ordinati alfabeticamente:
        Descartes, Newton, Riemann, Turing.
    Ordinandoli per data di nascita, da quella più antica alla più recente, si ottiene:

A)  Descartes, Newton, Turing, Riemann

B)  Descartes, Newton, Riemann, Turing

C)  Newton, Descartes, Turing, Riemann

D)  Descartes, Turing, Newton, Riemann

E)  Newton, Descartes, Riemann, Turing

24)  Quanti sono gli interi positivi n per i quali il numero  (3n + 85) / (n + 5)  è un intero?

A)  Infiniti

B)  5

C)  4

D)  2

E)  0

25)  Se

f(x) = 0 e f è ovunque derivabile, si può concludere che:

A)		f '(x) = 0
B)		|f '(x)| = 0
C)		f '(x) esiste ed è finito
D)		f '(x) =
E)	nessuna delle precedenti affermazioni