Il concetto di funzione

•  Dalla lezione scorsa:
Nel prossimo incontro ci occuperemo dell'area matematica decisamente più importante, a livello di scuola secondaria superiore:  l'analisi.  Poi, probabilmente, di geometria bi- e tri-dimensionale,  di statistica e probabilità e, infine,  di algebra (e polinomi).  Faremo un uso diffuso anche di risorse informatiche, a cui non dedicheremo però uno spazio specifico.

Sulla analisi la volta scorsa abbiamo solo fatto alcune brevi osservazioni. Rivediamo, rapidamente, solo gli esempi fatti (forse il secondo esempio lo avevamo saltato):
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•  Innanzi tutto vediamo qualche esempio di funzione, e proviamo, caso per caso, a mettere a fuoco quali sono gli input e quali gli output. Per essere certi di esprimerci correttamente, descriviamo le funzioni in R (cioè nel software R) e proviamo, sempre in R, ad usare tali definizioni su qualche input. Copiamo tutte le 11 righe seguenti e incolliamole in R.

s <- function(x,y) x+y; s(2,7)
s2 <- function(x) sum(x); s2( c(5,2,1,3) )
k <- function(x) sort(x); k( c(5,2,1,3) )
h <- function(p,t) round(p/t*100,2); h(3,7)
M <- function(x) c(min(x),max(x)); M( c(5,2,1,3) )
E <- function(x,y) x & y; E(0,0); E(0,1); E(1,0); E(1,1)
V <- function(x,y,z) (x & y) | (z & y); V(1,0,1); V(0,1,1)
dadi <- function(n) {i <- 1:n; floor(runif(i)*6+1)}
dadi(2); dadi(5); dadi(5)
G <- function(f) {plot(f,-2,2); abline(h=0,v=0,col="red")}
f <- function(x) x^2-1; G(f)
windows(); k <- function(x) x^2-1/2; G(k)

Oltre che a descrivere input ed output, proviamo ad individuare assieme come operano le diverse istruzioni (vedi qui per un indice alfabetico delle cose che si possono fare con R, e qui per un indice dei comandi)  ...

•  Val la pena ribadire che, anche se spesso si usa la "notazione operazionale" (u+v per indicare l'immagine della coppia u,v mediante l'operazione di somma), le operazioni non sono altro che delle particolari funzioni (una operazione è una funzione che ha input e output nello stesso insieme, mentre, più in generale, una funzione [o "mappa"], come in molti degli esempi fatti sopra, può avere output in insiemi diversi da quelli da cui provengno gli input). Tutti lo sappiamo. Ma quando diventiamo insegnanti …:
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    Qui trovi un estratto da un libro, assai diffuso, dal contenuto simile a quello del libro a cui fa riferimento l'esercizio precedente.

•  Purtroppo, da una trentina d'anni a questa parte, il 90% dei libri adottati ha taglio e modalità di presentazione simili a quelle del libri a cui si è accennato sopra, e per aspetti ben peggiori:
• contro le indicazioni di tutti i programmi - Piano Nazionale Informatica, Brocca, ... fino agli ultimi programmi - inziano con una parte che chiamano "logica", con errori grossolani;
• affrontano lo studio dei polinomi all'inizio delle superiori, come oggetti algebrici, senza metterne in luce le caratteritiche essenziali (che necessiterebbero una distinzione tra i polinomi in una indeterminata e quelli in più - come vedremo nell'ultima lezione), invece che affrontarne lo studio in anni successivi, quando si saranno messi a punto strumenti e concetti necessari, e invece che riferirsi al concetto di funzione, già introdotto nella scuola dell'obbligo;
• introducono lo studio dei numeri partendo da N con delle buffe costruzioni degli altri insiemi numerici, non alla portata nè degli alunni nè degli autori stessi;
• trascurano o mettono in secondo piano la statistica e il calcolo delle probabilità, ridotti all'esecuzione di esercizi ripetitivi e con "buffe" definizioni; ….
    Non avremo il tempo per esplorare tutti questi aspetti. Basti pensare che i pochi libri che non hanno questi difetti sono i manuali fatti dai più presitigiosi matematici italiani della seconda metà del secolo scorso; ricordiamo i libri di Lucio Lombardo Radice, Francesco Speranza, Giovanni Prodi, Vinicio Villani.
    Val la pena ricordare che Vinicio Villani (che è stato presidente dell'Unione Matematica Italiana dal 1980 al 1988) dopo la pubblicazione di libri per il primo biennio presso la più famosa casa editrice italiana, ha rotto con essa, che avrebbe voluto che i testi fossero corredati da centinaia di esercizi ripetitivi, classificati per tipo, …. E Prodi e Villani hanno coordinato le commissioni nazionali che redassero i (vecchi) "nuovi programmi"!
    Chi vuole qualche rapida informazione su questi aspetti veda  matematica-old.unibocconi.it/villani/villani.htm (chi volesse qualche informazione "tecnica" sulla Logica Matematica veda qui, qui e qui).
    Diamo, invece, tutti una rapida occhiata ai programmi di quasi 100 anni fa. I programmi del 1936 (circa 50 anni prima della nascita dei personal computer, quando non esisteva buona parte degli attuali settori di matematica applicata, …): vedi. Sono "vecchi", intrisi di una visione spiritualista (ma per la quale ogni argomento non è una nozione astratta da memorizzare ma un atto di ricerca attiva e creativa); tuttavia per molti aspetti sono fantascientifici rispetto ai manuali attualmente più diffusi.

•  Per accelerare i tempi, e per rendere un po' più operativa la lezione, esaminate queste schede di lavoro, per la classe 2ª superiore (sono schede di lavoro che in classe sono da affrontare, ovviamente, in più lezioni) messe a punto da un gruppo di insegnanti. Annotate brevemente e mettete nel forum, a gruppi di 2 o 3 persone, le vostre osservazioni circa le differenze nella modalità di presentazione e nei contenuti dai libri di testo più diffusi di cui siete a conoscenza. Non analizzate in dettaglio le schede, ma cercate di percepirne il taglio culturale-didattico, il modo di usarle in classe, …. Tra mezz'oretta incominceremo a discutere alcuni problemi che esse possono sollevare:
funzioni ed equazioni 1,  funzioni ed equazioni 2  (saltate il paragrafo "introduzione" della scheda 1; se vi servono qui trovate le guide alle due schede).

•  problema.

•  Gli antichi Babilonesi, circa 4 mila anni fa, usavano la scrittura posizionale (vedi). Non avevano problemi "teorici" nell'estendere la precisione di una misura a più cifre. Sono i Greci e i Romani, e la successiva cultura occidentale, per vari secoli, che "persero" la scrittura posizionale e si arrovellarono di fronte al problema della "continuità". Per noi (come per i "Babilonesi") che 1/3 faccia 0.333… non è un problema; l'infinito "potenziale" (ossia la possibilità di procedere oltre, senza sosta) è un fatto di cui "tecnicamente" siamo padroni (almeno fino a che non ce ne parlano in un certo modo a scuola, facendoci tornare come gli antichi Greci ...). Le difficoltà sono solo negli algoritmi con cui operare con i numeri illimitati: il problema è che per sommare o moltiplicare due numeri illimitati non possiamo partire dalla cifra "più a destra".
    Vedi qui per la "definizione" dei numeri reali (occorre identificare le espressioni decimali con perido 9 ad altre con periodo 0), e qui (operativamente, in R, per fare prima) il problema delle definizioni delle operazioni in R (se hai tempo puoi vedere un approfondimento qui).

•  Abbiamo visto, rapidamente, come possono essere introdotte le operazioni tra numeri reali.
Sempre per stare nei tempi, esaminiamo due schede di lavoro per la classe 3ª superiore con cui vengono introdotti i concetti di derivata e i (due concetti di) integrazione. L'idea è di introdurli in 3ª per consentire il loro uso per l'insegnamento della fisica. Sono introdotti alla "Galileo" (il rapporto incrementale viene semplificato per cui l'incremento a denominatore "sparisce").  In 4ª questi concetti verranno estesi alle altre funzioni e messi a punto teoremi specifici (ad esempio per la derivazione del quoziente e della composizione di funzioni):
la derivazione di funzioni,  gli integrali  (se vi servono qui e qui trovate le guide alle due schede).
    Annotate brevemente e mettete nel forum, a gruppi di 2 o 3 persone, le vostre osservazioni circa le differenze nei contenuti tra queste schede e i libri di testo più diffusi di cui siete a conoscenza. Tra mezz'oretta incominceremo a discutere alcuni dei problemi che avete sollevato.
Nota.  Queste schede (e le due precedenti) sono ovviamente discutibili. Le usiamo come materiale didattico per stimolare (velocemente) delle riflessioni e delle discussioni sul tema.
    La prossima settimana metterò in rete qualche breve commento alle vostre considerazioni.

• Aggiunta (e modifiche ai compiti).
– Non siamo stati nei tempi. Abbiamo discusso alcuni problemi, avevo preparato troppo materiale, … e non ce l'abbiamo fatta ad affrontare la discussione di tutti i temi. Ci diamo quindi il compito di mettere in rete, a gruppi o individualmente, dei brevi commenti alle schede allegate sopra (qui potete accedere al complesso delle schede da cui sono state estratte quelle considerate a lezione). Diamo come scadenza domenica della prossima settimana (fra 10 giorni). Potete mettere osservazioni critiche, perplessità, aspetti positivi, dubbi da chiarire, problemi che ponete a me e/o ai vostri colleghi, rimandi ad osservazioni fatte da altri, …, liberamente. Cercate di non essere prolissi (per dare tempo a tutti di leggere le vostre osservazioni); è meglio, tenendo conto di ciò, se fate delle osservazioni collettive (potete fare delle riflessioni anche di 4 o 5 persone, se volete), ma anche le osservazioni individuali vanno bene. Se si vuole si può intervenire anche più volte (senza però fare dei "botta e risposta"). Questa attività, extra-orario del corso, verrà utilizzata come parte della verifica.
– Chi vuole può trovare i vari programmi scolastici qui.
– Chi vuole vedere come risolvere le equazioni differenziali con WolframAlpha, provi a introdurvi:
s''(t) = g, s(0) = 8, s'(0) = 5
– In una delle due ultime lezioni vedo di far partecipare uno o due insegnanti di scuola secondaria superiore "stabili" per discutere con loro dei problemi dell'insegnamento della matematica (e della fisica). Vi saprò dire in quale dei due giorni.
Arrivederci ...
Nota (considerazioni a "livello adulto").  Le funzioni, in generale, per un matematico, sono insiemi di coppie ordinate tali che non ce ne siano due aventi i primi elementi uguali; questa è la definizione usata, in genere, nei manuali di Calculus dagli anni 70, dallo Spivak all'Apostol (il Calculus non è, nella tradizione universitaria americana, propriamente la nostra analisi, ma è qualcosa che racchiude anche elementi di algebra e di geometria), ed anche nel nostro "vecchio" Prodi (il manuale di analisi per la Normale di Pisa, del 1970). I primi e i secondi elementi vengono, spesso, ai nostri giorni, chiamati, rispettivamente, "input" ed "output" (ad esempio nel più recente Adams, Single Variable Calculus). L'insieme dei primi elementi delle coppie che costituiscono una funzione F viene chiamato dominio di F e l'insieme degli secondi elementi viene chiamato range o immagine di F.
Da alcuni, in alcuni settori (ad es. in teoria delle categorie), viene ancora usata la definizione bourbakista (una funzione è una terna f = (G,E,F) dove G viene chiamato il grafo di f, E l'insieme di partenza ed F l'insieme di arrivo). Essa, tuttavia, rende difficile, in altri ambiti, fare molte cose, se si vuole essere coerenti …
D'altronde si pensi alla funzione A: (M,N) → "numero dei passi entro cui la funzione ricorsiva M-esima si arresta dandole come input N" (le funzioni ricorsive sono le funzioni "calcolabili", ossia le funzioni ad input ed output naturali che possono essere eseguite da un computer teorico, che non abbia limitazioni fisiche; esse possono essere numerate, ad esempio ordinando alfabeticamente tutti i programmi). Non è possibile "decidere" quale sia il dominio di A (chi fosse interessato veda qui; veda WolframAlpha per altri esempi di funzioni di cui non si può decidere quale sia il dominio; per un altro famoso esempio di problema indecidibile si veda qui). Questo è uno dei motivi per cui la definizione bourbakista non viene accettata come definzione "generale" (i bourbakisti sono un movimento di matematici francesi che, a cavallo della seconda guerra mondiale, tentarono di rifondare la matematica; nel loro tentativo - che pur ha avuto anche molte ricadute positive nella ricerca matematica - tagliarono fuori tutta la matematica applicata e la logica matematica, che cercarono di riorganizzare ex-novo; distatrosa è stata la loro influenza, in Francia, in campo didattico: i programmi scolastici messi a punto sotto la loro influenza hanno avuto un esito pessimo che ha provocato una reazione di tutta la nazione; per qualche informazione storica si veda qui).
Per come il concetto di funzione viene introtto in WolfrmaAlpha vedi qui. Per come è introdotto nel Bell & Machover (uno dei manuali standard di logica, North-Holland, 1977) vedi.
Osserviamo che input ed output possono essere coppie, terne o oggetti qualunque; ad es. nel manuale universitario (di "analisi 1") del Prodi uno dei primi esempi di funzione proposti è la proiezione canonica (x,y) → x; poi sono proposte funzioni da Z² in Z², …, anche se, poi, ci si restringe a studiare funzioni ad input ed output in R (alla fine vengono studiate anche funzioni ad input in N ed output in R, funzioni da in insiemi qualunque [numeri, intervalli od altri oggetti matematici] in R, da R in C, …).