Geometria bi- e tri-dimensionale

•  Avete messo molti commenti, affrontando il "compito" (assegnato la vota scorsa) di esame critico delle schede di lavoro allegate (lo avete svolto tutti?). Nei prossimi giorni ne metteremo in rete una sintesi "organizzata" e qualche commento.  Facciamo solo qualche annotazione.
    Al di là del contenuto delle schede esaminate, condivisibile o meno, osserviamo che esse costituiscono solo un esempio di una modalità di lavoro abbastanza diffusa:  vi sono  gruppi di lavoro che fanno capo a diverse università italiane  (e, sin dagli anni 60, diversi "progetti" di paesi anglosassoni - per la matematica: Nuffield, SMP, ..., ma anche per la fisica)  e diverse scuole  che,  invece che adottare libri di testo,  producono materiali per le classi in cui la presentazione degli argomenti si intreccia con attività che devono affrontare gli alunni,  individualmente, a gruppi o collettivamente (poi, in genere, le schede sono affiancate da una sintesi degli argomenti affrontati: in questo caso in fondo alle schede esiste un riquadro - vedi - in cui viene chiesta agli alunni una sintesi di alcuni aspetti; poi vengono loro proposte delle schede in cui vengono presentati esplicitamente i contenuti disciplinari: vedi qui).
    Ora, con la diffusione dei videoproiettori (e dei computer nelle case, e la progressiva scomparsa dei laboratori informatici), si stanno diffondendo  materiali in versioni dimensionabili da proiettare in classe,  affiancati da versioni standard per la stampa:  vedi.
    Vista e discussa questa modalità di lavoro, nel seguito non esamineremo più dettagliatamente schede per le classi; le useremo, ogni tanto, per illustrare brevemente - dato il poco tempo a disposizione - alcuni aspetti didattici.
    Anche il software che impieghiamo (R) è uno dei vari software impiegabili. Lo usiamo come riferimento unico per economizzare il tempo.  Esiste anche altro software gratuito impiegabile (ad esempio un programma gratuito per la geometria dinamica, che consente di svolgere anche alcune attività elementari di algebra ed analisi, è GeoGebra - vedi qui), così come esistono veri e propri linguaggi di programmazione incoporporati in tutti i browser  [per un semplice esempio di programma vedi qui; prova a mettere  1, 2, 3, 4, 5*7, -2*4   nella casella "dati" e poi primi "n", "sum", "media", …; prova a calcolare  √(150!) - devi ottenere 2.3902…·10¹³¹; calcola 150! e poi √B -; calcola sin(π/4) - calcola π/4 e poi sin(A)].

•  Inciso (per i "patiti"): l'insegnante può (in R) scrivere formule "belle" in Teχ. Esempio (copia tutto e incolla in R):

par( mai = c(0,0,0,0), bg="#FFFF99" )
plot(c(0,10),c(0,10),type="n")
text(2,8,expression(A[2]))
text(2,5,expression(lim(frac(1,2^n),n %->% infinity)))
text(2,2,expression("k = "*bgroup("(",atop(m,n),")")))
# o text(2,2,expression("k = "~bgroup("(",atop(m,n),")")))
text(5,8,expression(frac(a+b,frac(c+b,2^n))~+1))
text(5,5,expression(integral(f(x)*dx,a,b)))
text(5,2,expression(integral(f(x)*~dx,a,b)))
text(8,8,expression(widehat(ABC)))
text(8,5,expression(hat(ABC)))
text(8,2,expression(bar(ABC)))

•  Nel prino incontro abbiamo esaminato, rapidamente, vari esempi riferiti alla "geometria". Rivediamoli, velocemente. Limitiamoci ad osservare i contesti ("quotidiani") a cui erano riferiti, solo per introdurre il discorso:
    clicca

•  Sono esempi parziali. Ma sono riferiti a cose che sono al di fuori della portata della cosiddetta "geometria degli Elementi di Euclide". Lo vedremo meglio fra poco.

•  Prima cosa, decisiva, per introdurre le problematiche di tipo geometrico è il chiarimento che ci dobbiamo fare sull'uso della parola modello, che in matematica ha due principali significati, ben distinti:  sul primo significato, da introdurre "subito";  sul secondo (e sulla natura della geometria), da introdurre verso la fine delle superiori. Per altro, una definizione assiomatica di una teoria non definisce nulla, se non si dimostra che la teoria non è contradditoria, ovvero che ha almeno un modello …

•  Affrontiamo, dunque, qualche rapida considerazione sull'impostazione dell'insegnamento della geometria nei libri di testo attuali, e sulle ambiguità e i clamorosi errori presenti nell'ultima versione dei programmi:  qui.
[Se cliccate qua, e poi andate sul "qui" alla fine del 2º paragrafo trovate una riflessione organica sulle varie assiomatizzazioni della geometria, che in questo corso non abbiamo il tempo di affrontare;  può essere utile riflettere sul "salto" che c'è tra le cose che trovate sui libri di testo e come le avete viste del primo anno dell'università (come mai c'è questa divaricazione e i docenti non se ne rendono conto???).
Ecco qualche link a come la geometria è presentata in WolframAlpha:  geometry,  Euclidean geometry,  Euclidean space,  space]

•  Dunque, simmetrie, trasformazioni di scala, deformazioni, ... quasi tutti i movimenti e le trasformazioni geometriche che si possono fare col semplicissimo Paint (vedi) non si possono fare con la geometria degli "Elementi di Euclide". Essa non include le più elementari operazioni geometriche con cui un bambino, sin dai primi anni di infanzia, opera. E, come abbiamo visto, non è affatto rigorosa.

•  A questo punto, per inciso, vediamo come queste trasformazioni geometriche si possono fare, oltre che con Paint, con usuali programmi generali. Qui, per brevità, continuiamo a riferirci a R (copiamo e incolliamo nel programma tutte le istruzioni seguenti).
x <- c(-2,-2,-4,-3,-4)
y <- c( 1, 3, 4, 2, 1)  # coord. del poligono
plot(c(-6,6), c(-6,6), type = "n", xlab="x", ylab="y", asp=1)
abline(h=seq(-6,6,1),v=seq(-6,6,1),col="grey70",lty=3)
abline(h=0,v=0,col="brown")  # scelta spazio, griglia, assi
text(0,-5.5,"clicca ripetutamente")
{ polygon(x,y,col="grey"); locator(1)   # ho tracciato il poligono
polygon(y,-x,border="blue",lwd=2); locator(1)
polygon(x+4,y-5,border="red",lwd=2); locator(1)
polygon(x*3/2,y/2,border="brown",lwd=2); locator(1)
abline(2,-1,lty=3); locator(1)
polygon(-(y-2),-x+2,border="green4",lwd=2); locator(1)
polygon(-(y-4)-4,x+4+4,border="purple",lwd=2); locator(1); points(-4,4)}
text(5,2.5,"x=y,y=-x",col="blue"); text(-3,-3.5,"x=x+4,y=y-5",col="red")
text(-3.5,-0.5,"x=x*3/2,y=y/2",col="brown"); text(4.5,-0.5,"r: y=2-x")
text(3.7,5.5,"simm. risp. r",col="green4")
text(-5,5.5,"rotaz.",col="purple")
    Idea, ad es. per la rotaz. attorno a (-4,4) di 90°:
porto (-4,4) in (0,0):  (x+4, y-4);
ruoto di 90° attorno ad O:  (-(y-4), x+4);
faccio la traslazione opposta a quella iniziale:  (-(y-4)-4, x+4+4)
•  Chiudiamo questa parentesi "informatica" osservando come il computer sia fondamentale per vedere il "movimento", aspetto centrale dell'educazione geometrica, su cui ci soffermeremo tra un po'. Limitiamoci, qui, a vedere qualche animazione usabile in classe (qui vedi, se sei interessato, come costruirle).

•  3 flash. Scorriamo velocemente alcune schede di lavoro, per la classe prima, la classe seconda e la classe terza superiore. Le schede le esamineremo con lo spirito discusso all'inzio di questa lezione, ossia per riflettere su uno dei modi in cui possono essere introdotti e/o definiti i concetti matematici.

•   Insegnare vuol dire intercciare temi riferiti ad aree che nei programmi sono descritte in paragrafi distinti. La cosa era indicata esplicitamente nei programmi PNI e Brocca ed è indicata in modo chiaro anche nei programmi attuali, che hanno delle belle considerazioni generali sull'insegnamento della matematica (che sono contraddette da quelle dettagliate, area per area, anno per anno, che abbiamo già discusso criticamente).
Vediamo, rapidamente, la scheda MS-1 per la classe prima, soffermandoci su:
§1, riflessioni sulle differenze/analogie tra definzioni in matematica e nei dizionari della lingua italiana, inglese, …
§2, uso dei vettori: intrecci col linguaggio della "fisica" (e della "matematica" degli ultimi secoli)
§3, il concetto di "distanza", in matematica e nella vita comune ...
§3-4, intrecci con l'algebra, l'analisi, l'informatica, la "logica", ...
§5, riflessioni generali, considerazioni sugli impieghi dei vettori per rappresentare movimenti composti, …

•   Le attività dimostrative in ambito geometrico comportano un altro, tipico, problema: il fatto che, in molti casi, nel momento in cui si illustra una proprietà con un disegno in realtà se ne illustra un caso particolare e, nella conduzione di un ragionamento (in cui si vuole dimostrare la proprietà o impiegarla per un'altra dimostrazione), può capitare di utilizzare condizioni che valgono solo nel caso illustrato, non in generale. Faccio un esempio un po' banale, ma chiaro e breve da illustrare. Cercando di dimostrare la relazione tra l'area di un parallelogramma e quella del rettangolo di "base" e "altezza" uguali, è possibile ingannarsi e limitarsi a considerare il caso (A) della figura seguente, senza tener conto che è un caso particolare: la tecnica dimostrativa utilizzata non si applica al caso (B).

(A)  (B)

•   Accenniamo, infine, attraverso un breve esame di una scheda per il triennio, PRSP-1, ad un altro tema, la prospettiva, che si intreccia con altre aree disciplinari (disegno, storia dell'arte, geografia, varie materie specifiche di alcuni istituti tecnici):
§0, una guida alla lettura della scheda, con la specificazione di qual è la parte di "approfondimenti" (trascurabile in alcuni tipi di scuole o in alcune classi);
§1, le proiezioni parallele e quelle centrali, connettendoci ai loro, diffusi, usi; e senza eccedere in tecnicismi (non comprensibili e non necessari per una prima introduzione: non si può fare molto di più in una scuola secondaria, nonostante le cose che si trovano sui libri - che poi magari non vengono per nulla fatte, trascurando del tutto il tema);
§2, i collegamenti con la geografia (… e la superficie della sfera);
§3, la prospettiva, attraverso l'esame di foto e di disegni al computer, con riflessioni sulla nascita della matematica che studia come realizzare rappresentazioni prospettiche e sulla, parallela, evoluzione dell'arte pittorica;
§4, qualche approfondimento (per alcune scuole o classi) su come realizzare rappresentazioni prospettiche col computer (è molto facile farle!), qualche link ad altri eventuali approfondimenti (anche sulla storia dell'arte), e, facili e "divertenti", riflessioni sui paradossi della visione.
es.e11  altri approfondimenti facoltativi in rete (su "WolframAlpha").

•  Trascuriamo vari aspetti (calcolo di volumi, lunghezze di curve, ...): non ci stanno …
Vediamo, solo, a scatola nera, qui, qualche altro esempio in cui l'uso del computer può essere utile (e stimolante per attività senza computer!), eventualmente anche solo per costruire immagini su cui far riflettere gli alunni.
    L'obiettivo, di questo e degli altri incontri, non è dire che cosa e come si deve insegnare, ma stimolare il gusto e la voglia di creare, con i ragazzi, dei percorsi significativi e partecipati. Non è facile, ma è possibile …
End.