La temperatura passa da 4° a −3°. |  |
| Abbiamo 5 euro. Dobbiamo dividerli in tre. Facciamo la divisione con la calcolatrice. Otteniamo il risultato a fianco. Quanto diamo a ciascuno di noi? |  |
• Il concetto di funzione va introdotto, operativamente, graficamente, contestualizzato, …, all'inizio della scuola elementare perché è su di esso che si basa, oggi, tutta l'organizzazione della matematica. E, ovviamente, va introdotto subito, anche se non in modo formalizzato, il concetto di numero reale. Due esempi:
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• Vediamo qui, rapidissimamente, alcuni esempi di esercizi affrontabili tra la scuola di base e il primo anno di scuola superiore, con qualche commento (sulla loro modalità, finalità, contestualizzazione nel percorso didattico, … - che facciamo oralmente, e che dovremmo essere in grado di svolgere spontaneamente). Vediamo in particolare gli esercizi 0.1, 0.2, 0.6, 0.9, 0.11, 1.1, 1.2, 1.7, 1.9, 1.17, 1a.2, 1a.10, 1a.11.
•
Per accelerare i tempi, e per rendere un po' più operativa la lezione,
esaminate queste schede di lavoro, per la classe 2ª superiore (sono schede di lavoro che in classe sono da affrontare,
ovviamente, in più lezioni). Annotate brevemente, a gruppi di 2 o 3 persone, le vostre osservazioni circa le differenze nella modalità di presentazione
e nei contenuti dai libri di testo più diffusi di cui siete a conoscenza.
Non analizzate in dettaglio le schede, ma cercate di percepirne il taglio culturale-didattico, il modo di usarle
in classe, …. Tra mezz'oretta incominceremo a discutere alcuni problemi che esse possono sollevare:
funzioni ed equazioni 1,
funzioni ed equazioni 2
(saltate il paragrafo "introduzione" della scheda 1; se vi servono
qui trovate le guide alle due schede).
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Gli antichi Babilonesi, circa 4 mila anni fa, usavano la scrittura posizionale
(vedi).
Non avevano problemi "teorici" nell'estendere la precisione di una misura a più cifre.
Sono i Greci e i Romani, e la successiva cultura occidentale, per vari secoli, che
"persero" la scrittura posizionale e si arrovellarono di fronte al problema
della "continuità". Per noi (come per i "Babilonesi") che 1/3 faccia 0.333… non è un problema;
l'infinito "potenziale" (ossia la possibilità di procedere oltre, senza sosta)
è un fatto di cui "tecnicamente" siamo padroni (almeno fino a che non ce ne
parlano in un certo modo a scuola, facendoci tornare come gli antichi Greci ...). Le difficoltà sono solo negli
algoritmi con cui operare con i numeri illimitati: il problema è che per sommare o moltiplicare
due numeri illimitati non possiamo partire dalla cifra "più a destra".
Un approccio (sostanzialmente uguale a quello di Cantor) per definire le operazioni è il seguente (clicca qui):
 x ∈ [3.8, 3.9], y ∈ [6.4, 6.5] → x·y ∈ [24.32, 25.35] |
In generale (per ciascuna delle cinque operazioni) migliorando la precisione dei termini dell'operazione si può migliorare quanto si vuole la precisione del risultato:
calcolo di x/y con x = √10 = 3.162277660168… e y = √2 = 1.414213562373… utilizzando i troncamenti di x e di y a cifre di posto man mano più piccolo:
x y min max indet 3.1 3.2 1.4 1.5 2.06666666… 2.28571428… 0.21904761… 3.16 3.17 1.41 1.42 2.22535211… 2.24822695… 0.02287483… 3.162 3.163 1.414 1.415 2.23462897… 2.23691654… 0.00228757… |
Come si può
osservare, man mano che divido per 10 l'indeterminazione di x e di y
(all'inizio è 0.1, poi è 0.01, …) ottengo il risultato con
un'indeterminazione che man mano si divide circa per 10.
Se hai tempo puoi vedere un approfondimento qui.
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Abbiamo visto, rapidamente, come possono essere introdotte le operazioni tra numeri reali.
Sempre per stare nei tempi, esaminiamo due schede di lavoro per la classe 3ª superiore
con cui vengono introdotti i concetti di derivata e i (due concetti di) integrazione.
L'idea è di introdurli in 3ª per consentire il loro uso per
l'insegnamento della fisica. Sono introdotti alla "Galileo" (il rapporto incrementale
viene semplificato per cui l'incremento a denominatore "sparisce"). In 4ª questi concetti verranno
estesi alle altre funzioni e messi a punto teoremi specifici (ad esempio per la
derivazione del quoziente e della composizione di funzioni):
la derivazione di funzioni,
gli integrali
(se vi servono
qui e
qui
trovate le guide alle due schede).
Annotate brevemente le vostre osservazioni
circa le differenze nei contenuti tra queste schede e i libri di testo più diffusi di cui siete a conoscenza.
Discuteremo alcuni dei problemi che sollevate.
Nota 1. Queste schede (e le due precedenti) sono ovviamente discutibili. Le usiamo come materiale
didattico per stimolare (velocemente) delle riflessioni e delle discussioni sul tema.
Nota 2. Oggi non siamo riusciti ad discutere la scheda sull'integrazione. Ci soffermeremo su di essa
nella prossima lezione.
