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XVIII Convegno U.M.I.-C.I.I.M. sull'Insegnamento della Matematica - 1996

COME DIFFERENZIARE, PER FORMALIZZAZIONE E SVILUPPO "TECNICO", L'INSEGNAMENTO DEI VARI TEMI NEI DIVERSI LIVELLI SCOLASTICI?

→ versione estesa

Carlo Dapueto

Dipartimento di Matematica dell'Università di Genova

1. Premessa

La struttura dell'intervento che avevo previsto inizialmente era la seguente: breve introduzione generale al problema, riflessioni sui raccordi media-biennio-triennio ed esempi riferiti alle attività di progettazione e sperimentazione nelle superiori del gruppo didattico MaCoSa, considerazioni critiche sui nuovi programmi della scuola secondaria superiore (in relazione allo sviluppo di alcuni temi e ai rapporti con i programmi della media inferiore).

Ma la brevità dello spazio a disposizione, il taglio della maggior parte delle relazioni e delle comunicazioni che ho ascoltato (molto generali o molto locali) e la presenza di molti insegnanti non coinvolti in attività di ricerca didattica, mi hanno indotto a cambiare l'articolazione dell'intervento: farò emergere, un po' "metaforicamente", i vari aspetti del problema enunciato nel "titolo" riferendomi allo sviluppo nell'intero arco scolastico di un particolare tema, anzi, dell'insegnamento di uno specifico concetto.

2. La situazione

Ipotizzo di trovarmi ad insegnare matematica in una strana scuola, in cui dovrò seguire gli alunni dall'inizio delle elementari alla fine delle superiori. Ho già fatto scelte di "impostazione" dell'insegnamento della matematica (traspariranno nel seguito); in questo momento sto approfondendo la riflessione su come distribuire nei vari anni lo sviluppo del concetto di angolo.

È una situazione irreale per vari aspetti: posso progettare l'insegnamento senza condizionamenti da parte di insegnanti "precedenti" o "posteriori", isolo il ragionamento su un singolo argomento matematico (cosa che in sé sarebbe poco sensata, ma, ripeto, è una metafora), …; tuttavia nella sua idealità facilita la messa in luce, spero in modo concretamente comprensibile, di alcuni aspetti importanti del problema della differenziazione e del raccordo dell'insegnamento della matematica nei diversi livelli scolastici.

Posso, dunque, pensare "liberamente", riferendomi a mie esperienze precedenti, miei studi, …, leggendo cose che mi facciano venire idee (anche cose di "ricerca didattica"), tenendo presente quanto prevedono i programmi scolastici ufficiali, ….

3. Angolo e …

Incomincio individuando alcuni concetti matematici che dovrò, prima o poi, intrecciare a quello di angolo: direzione, pendenza, misura, rotazione, semiretta, poligono, funzioni circolari, ….

Mi prefiggo, nella riflessione sullo sviluppo didattico del concetto, di tener conto degli usi degli angoli (in vari significati) nelle altre discipline, nelle esperienze di vita quotidiana, ….

Tengo conto dei miei studi universitari e "personali" di matematica (e di fisica e di filosofia), da cui ho imparato che la geometria è un'area dai contorni non ben definiti, che si sviluppa inizialmente come insieme di tecniche (prima sparse, poi organizzate) di misurazione spaziale diretta e indiretta, poi si intreccia a riflessioni gnoseologiche e metafisiche sulla natura dello spazio e del tempo, … e che la sua autonomia (nelle definizioni e nelle argomentazioni) dalla fisica è una conquista relativamente recente, che passa attraverso le modellizzazioni numeriche dello spazio da parte di Fermat e Cartesio, lo sviluppo graduale del concetto di modello matematico e la messa a fuoco dell'esigenza di dare una fondazione autonoma a una scienza come la matematica divenuta d'uso generale nella società industriale, il delineamento del concetto di sistema formale da parte di Hilbert, ….

Tener conto di questi aspetti mi sarà utile per realizzare itinerari didattici efficaci rispetto alle motivazioni e alle esigenze culturali degli alunni nei vari livelli scolastici, per stabilire se/come/quando introdurre definizioni, dimostrazioni, attività sugli oggetti matematici in quanto tali, ….

4. Scuola elementare

È il primo approccio alla scuola da parte degli alunni; in esso si gioca in gran parte la possibilità di avviare un rapporto culturale profondo (non solo a fini di valutazione o sopravvivenza scolastica, su binari paralleli o divergenti rispetto alle esperienze extrascolastiche) con l'alunno. Mi preoccupo, quindi, di farmi una rassegna degli usi del termine e del concetto di angolo (e dei concetti correlati) nella vita quotidiana con i quali può avere a che fare l'alunno (angolo di un oggetto, «dietro l'angolo», «star in un angolo», …, «gira a destra», «vai dritto», punti cardinali, … nelle comunicazioni verbali, nei disegni, nei giochi e nelle varie attività di tutti i giorni).

È una fase in cui il bambino sta arricchendo, con un alto tasso di crescita, il suo bagaglio linguistico-espressivo (relativamente alla lingua naturale, al disegno "non tecnico", …). Anche per questo starò attento a non fare precoci specializzazioni matematiche dei significati dei termini; il rischio sarebbe quello di favorire confusioni concettuali, bruciare potenzialità espressive e conoscitive, ….

Tengo conto, poi, che, in questa fase scolastica, per fortuna, non insegno solo matematica, ma insegno anche altre discipline: posso quindi predisporre itinerari didattici (in collaborazione con l'altro eventuale insegnante della classe) in cui l'aspetto matematico sia naturalmente integrato con gli altri e possa essere fatto emergere gradualmente.

Mi dò da fare per trovare materiali e resoconti di esperienze didattiche che mi diano spunti e orientamenti per muovermi in queste direzioni (non è facile: quasi tutti i materiali didattici che si possono trovare in una libreria sono esempi in negativo di quello che vorrei fare).

5. Ancora scuola elementare

Come prime attività a cui riferire gli sviluppi matematici dell'area dei concetti legati a quello di angolo (vedi punto 3) penso, ad es., alla descrizione di percorsi seguiti dagli alunni (per compiere "uscite" da scuola, con qualche finalità – ad es. osservare cambiamenti in un orto –, per andare da casa a scuola, …). Questo contesto, in cui si possono integrare e/o fare traduzioni tra descrizioni a parole, descrizioni con disegni, con foto, con prime mappe, …, offre molteplici occasioni per introdurre, precisare, delimitare, … i concetti che ci interessano: le direzioni dei tratti di percorso, le loro pendenze, l'orientamento di edifici, i modi in cui si innestano le strade, i versi delle svolte, la relatività dei riferimenti (rispetto a uno che segue il percorso o rispetto al foglio o …), la misura (che vuol dire tratto più lungo? rispetto al tempo, in linea d'aria, rispetto alla strada da percorrere, … o all'umore con cui lo si è percorso?), le forme e le proporzioni, ….

Penso anche ad altre attività (inseribili facilmente in vari ambiti di lavoro di ampio respiro): la descrizione dei movimenti di una persona che fa una certa attività, la descrizione di come è fatto e/o di come funziona un certo oggetto, … con vari linguaggi (verbali, iconici, misti, …). Entrano in gioco anche trasformazioni geometriche, forme nuove, …

La delimitazione dei significati diventa importante (per gli alunni) al fine, in queste attività, di riuscire a comunicare capendosi, di essere in grado di passare da una rappresentazione verbale a una grafica, …; la riflessione sui concetti aiuta, poi, a fare meglio le cose; scoprire che a volte ci sono ambiguità, che una stessa parola può essere usata con significati diversi, che in certi ambiti le parole assumono significati più ristretti o diversi da quelli usati nel linguaggio comune, … diventa una tappa verso la organizzazione (in settori, discipline, …) del sapere; ….

Penso di ricorrere ad attività in ambiti esperienziali altrettanto ricchi per introdurre la misura degli angoli, usare gli angoli per modellizzazioni più astratte, …: ad es. il confronto tra indicazione digitale e analogica del tempo, l'uso dell'orologio e della bussola per indicare le direzioni e i versi e le ampiezze (come differenze di direzioni) delle rotazioni, lo studio del fenomeno delle ombre (che è l'altezza del sole? perché e come si deforma l'ombra di un oggetto al passare del tempo o cambiando posizione dell'oggetto? …), ….

6. Quale definizione?

Mi sono già fatto un po' di idee. Prima di dettagliare meglio gli itinerari mi fermo a riflettere su come eventualmente dare la definizione di angolo. Ho chiaro che è importante la gradualità nella costruzione dei significati dei vari concetti e nella messa a punto del lessico, oltre che nella "astrazione" delle prestazioni richieste agli alunni (un conto è affrontare direttamente una situazione, un conto è affrontare una situazione problematica reale descritta, un conto è affrontare una situazione problematica già formalizzata o pre-formalizzata, come i cosiddetti "problemi scolastici").

Devo circoscrivere il concetto di angolo esplicitandone una descrizione formale in termini più astratti? Come?

Come intersezione di semipiani? Ma come potrei definire cos'è un semipiano? Come potrei collegarmi naturalmente alle attività che ho intenzione di svolgere (vedi punto 5)? E questa definizione di angolo quando è stata pensata? in che contesto è significativa? ….

Poi dietro a questo concetto c'è l'idea di angolo come "figura" nel senso di "parte" di piano, con tutti i rischi di pensare (giustamente, pensando agli usi comuni di "figura", di "parte", … e all'uso ambiguo della parola "lato", ora riferito a segmenti, ora a semirette) a un angolo come a una specie di triangolo (se è una figura avrà una certa estensione, finita, è naturale pensare).

Potrei definirlo come rotazione (forse l'introduzione del concetto di rotazione è più facile di quella del concetto di semipiano)? Ho letto alcune proposte al riguardo. Ma, rileggendole, mi lasciano perplesso: mi sembra che si confondano ampiezze delle rotazioni, che sono numeri, e angoli, che sono figure.

Mi sto infilando in questioni da cui non è facile uscire. Rinuncio a pretendere di dare una definizione che esaurisca il concetto di angolo. Del resto concordo con quanto suggeriscono i programmi: nella scuola elementare la geometria va intesa come graduale acquisizione di capacità di orientamento, riconoscimento, localizzazione, organizzazione e schematizzazione nello/dello spazio fisico. Mi limiterò, dunque, a far lavorare opportunamente gli alunni in contesti che chiariscano, implicitamente, il significato (astratto) del concetto di angolo (della geometria euclidea piana). I contesti più atti a fungere da situazioni prototipo mi sembrano quelli più corrispondenti all'idea di angolo come parte di piano spazzata da una semiretta che ruota: se la semiretta è un raggio di luce, lo sguardo o una traiettoria rettilinea a partire da una posizione fissata, … è possibile evitare che gli alunni si rappresentino mentalmente gli angoli con parti limitate di piano. Le situazioni su cui ho pensato di far lavorare gli alunni (vedi punto 5) mi sembrano adatte a questo scopo.

7. Scuola media (inferiore)

Nella (strana) scuola "6-18 anni" dove insegno, all'inizio delle medie in genere arrivano alcuni nuovi alunni, che hanno fatto le elementari altrove. Nella progettazione dell'itinerario didattico devo tener conto anche del problema del raccordo del mio insegnamento alle loro conoscenze e al loro atteggiamento nei confronti della scuola: come hanno studiato? che cosa sanno? quali attività per esplorare ciò? quali attività per inserirli?

Proporrò inizialmente, a tutta la classe, alcune attività simili a quelle che ho svolto nella scuola elementare. In questo modo cercherò di affrontare sia una valutazione della produttività del mio insegnamento sia un'analisi del "livello" di ingresso dei nuovi alunni, senza "prove ad hoc", con cui sarebbe difficile esplorare le loro effettive capacità e si rischierebbe di creare una frattura con gli altri alunni. Cercherò, comunque, di inserire momenti di lavoro per esplorare specifici aspetti, ad es., stando sempre al concetto di "angolo", eventuali concettualizzazioni degli angoli come figure limitate (potrei pensare ad occasioni in cui, di fronte a due angoli di diversa ampiezza con i lati del più ampio rappresentati con segmenti più corti di quelli dell'altro, si deve individuare qual è l'angolo più ampio).

8. Quale definizione? - bis

Parte dei contenuti dei programmi per le medie sono già presenti in quelli delle elementari. Ovviamente, nel nuovo livello scolastico dovrò avviare a una presentazione più formale e astratta degli stessi. Per l'angolo, sviluppando quanto già osservato nel punto 6, potrei utilizzare i concetti di semiretta e di rotazione, che, a loro volta, dovrei in qualche modo introdurre.

Come introdurre la semiretta? Non è certamente praticabile la strada assiomatica. Non vedo altro modo che darne una descrizione attraverso l'idealizzazione di una situazione fisica: la traiettoria (potenzialmente) percorribile a partire da una certa posizione e senza mai cambiare direzione. Potrò dare a questa descrizione una maggiore formalizzazione e/o farne percepire meglio la natura astratta quando introdurrò (appoggiandomi alle esperienze di lettura e costruzione di grafici di fenomeni già avviata alle elementari) attività di rappresentazione grafica di funzioni e di rappresentazione analitica di semplici figure: "y=3x, x≤0" è una semiretta "matematica", non "fisica".

Non parlerò né di enti primitivi (avrebbe senso nell'ambito di una sistemazione assiomatica), né tenterò di dare definizioni più formali di "semiretta" o di "retta". Mi preoccuperò, invece, nel modo detto, di consolidare negli alunni delle situazioni prototipo più astratte.

Del resto avevo provato a comprendere, facendo finta di non conoscerli già, i concetti geometrici (e algebrici) usando solo le definizioni presenti in vari libri scolastici o definizioni che ho dato io stesso ai miei alunni in precedenti esperienze, e mi sono accorto che da esse non capivo un gran ché: erano in grado di evocare (a chi li conosce già) i concetti ma non di individuarli, essendo piene di aspetti non precisati, di riferimenti ad altri concetti mai definiti, … . Forse la difficoltà maggiore che trovo nell'insegnamento è proprio quella di decentrare, di pormi dal punto di vista di che le cose non le sa già, ma deve acquisirle attraverso le attività e i materiali che gli propongo.

9. Ancora scuola media

Le rotazioni, nelle medie, sono da inquadrare nel contesto di una presentazione più generale delle trasformazioni geometriche. Anche in questo caso è importante tener presente che non si può prescindere dai riferimenti alla fisica: lavorando con trasformazioni geometriche il lessico stesso, i tipi di situazioni analizzate, … sottintendono in genere la presenza della variabile tempo; mentre i passi delle traslazioni sono facilmente descrivibili in termini astratti (riferendosi alle coordinate, senza unità di misura di lunghezza), per la ampiezza delle rotazioni dobbiamo appoggiarci a misure fisiche (col goniometro); …

Ma io insegno anche scienze. E questa "confusione" con la fisica non è un gran svantaggio: mi consente da una parte di fare delle economie (posso trattare in un colpo solo argomenti che fanno capo a entrambe le discipline), dall'altra mi consente di chiarire, per contrasto, alcune caratteristiche delle varie discipline. Ad esempio posso affrontare contestualmente i vettori per rappresentare traslazioni e i vettori per rappresentare spostamenti e posso, poi, mettere a fuoco come i vettori (con la loro addizione) siano utilizzabili come modello non solo per gli spostamenti successivi (confondibili con le traslazioni), ma anche per quelli contemporanei; questo passaggio, culturalmente molto importante, mi consentirà di avviare alcune riflessioni sulla natura dei modelli matematici, sull'uso dei concetti geometrici in altri ambiti, …

Nelle medie posso fare anche altri passi verso la precisazione matematica del concetto di angolo (e dei concetti collegati), in relazione all'avvio delle prime attività di geometria analitica. Ho già accennato a ciò nel punto 8. Un altro aspetto è la quantificazione della pendenza in senso fisico (rapporto tra dislivello e spostamento orizzontale) e il collegamento con la pendenza (coefficiente angolare) delle rette nel piano cartesiano (cambiando la scala orizzontale o quella verticale cambia la pendenza "fisica" della retta y=2x, non quella "matematica").

10. Superiori

All'inizio delle superiori dovrò affrontare problemi di raccordo analoghi a quelli affrontati all'inizio delle medie. Ma ho un ulteriore problema: i "nuovi" programmi per il biennio ripropongono, senza molte variazioni o nuove indicazioni, i contenuti geometrici già previsti per le medie: non è più contemplata una presentazione assiomatica della geometria (solo successivamente, alla fine del triennio, vi sarà un'eventuale riflessione su di essa; e su ciò non posso che essere d'accordo), ma non è chiarito (o è addirittura confuso) come sia possibile dare una presentazione alternativa; le trasformazioni geometriche sono da affrontare in modo intuitivo-sintetico, come alla scuola media; e, in particolare, gli angoli e la loro misura sono sempre quelli della fisica, e così le direzioni (si prevede l'introduzione delle funzioni circolari ristrette agli angoli convessi, non è prevista l'introduzione del cerchio, …); …. Che fare?

Devo, nell'interpretare/tradurre i programmi in itinerari didattici, vedere come proseguire nel passaggio dalla geometria fisica alla geometria matematica. Intanto, come alternativa alla presentazione assiomatica, mi riferirò a una presentazione analitica di alcuni concetti di base (punto, movimento, … ) per poi utilizzarli (nello sviluppo della geometria, nella dimostrazioni di teoremi, …) combinando metodi analitici e sintetici: rispetto alla scuola media il piano cartesiano non sarà più solo un contesto per rappresentare funzioni o per dare forma algebrica a concetti geometrici, ma diventerà il (modello matematico del concetto intuitivo di) "piano"; le variabili e le equazioni diventeranno non solo strumenti per modellizzare relazioni tra grandezze reali ma strumenti per definire nuovi oggetti matematici (figure geometriche); la relazione pitagorica diverrà il cardine per una definizione astratta di distanza; …

Questo cambiamento di prospettiva mi sembra una significativa differenziazione rispetto alla scuola media. Ma, per realizzarlo, sarò costretto a forzare i programmi: per dare una presentazione matematica ai concetti di movimento, semiretta, angolo, … dovrò, in qualche modo, dare forma numerica alle direzioni, e non potrò fare a meno di una introduzione (non rigorosa, ma già "matematica") al concetto di lunghezza d'arco (attraverso un passaggio al limite, concetto su cui avrò già lavorato con gli alunni affrontando gli argomenti delle approssimazioni e dei numero reali) e alle funzioni circolari in senso pieno (seno e coseno come componenti del versore, tangente come relazione tra inclinazione e pendenza).

Affinché poi, alla fine del triennio, diventi possibile una riflessione sull'approccio assiomatico (ma non solo per questo), sin da ora cercherò, rispetto alla scuola media, di avviare ad altre astrazioni. Ad esempio potrò mettere in luce che, in matematica, si possono usare anche spazi più "poveri", in cui non si parla di angoli, in cui i punti sono in quantità finita, … (i grafi per rappresentare reti ferroviarie, reti stradali, …); che un quadrato rappresentato in un sistema non monometrico potrà apparire con angoli diversi per il goniometro; che si possono definire distanze diverse (con la distanza urbanistica il cerchio di centro (0,0) e raggio 1 appare graficamente come un quadrato); che il concetto di eguaglianza è relativo (dire che due triangoli, o due altre figure, cioè due insiemi di punti, sono uguali come figure non vuol dire che sono uguali come insiemi, se no sarebbero lo stesso oggetto, ma che uno può essere trasformato nell'altro con un movimento o con una isometria o con una similitudine o … a seconda delle considerazioni "geometriche" che voglio fare); che su una superficie terrestre "sferica" un polo e due punti sull'equatore con longitudine differente di 90° possono essere congiunti con tre percorsi rettilinei formando un triangolo con angoli interni di somma 270°; …

11. Concludendo

Non proseguo questa "simulazione" fantastica. Pur avendo toccato solo alcuni aspetti, spero di aver sottolineato come, affrontando, anche concretamente, in una specifica attività didattica, i rapporti con un altro livello scolastico, sia importante tener conto di quanto e come devono essere delineati e precisati natura e ruolo della matematica rispetto alle altre discipline e ai sistemi di conoscenze degli alunni.