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Scheda 2 - Misure di probabilità, variabili casuali e leggi di distribuzione

3. Fenomeni casuali e deterministici. VARIABILI CASUALI ed EVENTI. Il generatore di numeri (pseudo)casuali RND. Il programma FA_RND.bas per simulare fenomeni casuali.

    Ora occorre precisare meglio che cosa sono gli eventi.

    Sono di fronte a un fenomeno determinato da molti fattori, alcuni dei quali li riesco a valutare (li so individuare, ho gli strumenti per misurarli, non è troppo dispendioso rilevarli, ), altri no. Questi ultimi fattori, per convenzione, li chiamo casuali (è una scelta soggettiva, che dipende dallo stato di conoscenze, dal tempo e dalle risorse che voglio dedicare all'analisi del problema, , anche se, al livello atomico, esistono "casualità" non eliminabili; scheda 8).

    Chiamo fenomeno (o esperimento) casuale un fenomeno di cui considero casuali alcuni fattori. Chiamo condizioni l'insieme dei fattori che riesco a valutare. Dunque, a parità di condizioni, il fenomeno può realizzarsi diversamente; in altre parole, più prove dell'esperimento possono dar luogo a risultati diversi.

    Chiamo deterministico un fenomeno che non dipende da fattori casuali.

    Nel caso del quesito 1, il fenomeno casuale era l'altezza del potenziale cliente nato nel 1970 che visita il mobilificio, l'età del cliente era la condizione, i fattori casuali erano moltissimi, per es. le esigenze di arredamento, le possibilità economiche, dei vari abitanti del paese XX. Nel caso del lancio di un dado le condizioni sono le caratteristiche fisiche del dado, il fatto che il dado cada sulla tavola, , i fattori casuali sono l'altezza da cui lancio il dado, l'impulso che gli dò, la posizione che aveva il dado nella mia mano, la rugosità e l'inclinazione della superficie della tavola, la presenza di correnti d'aria, .

  In entrambi i casi i fattori "casuali" potrebbero essere teoricamente ridotti o eliminati: nel primo potrei conoscere, ad es. attraverso interviste telefoniche, le caratteristiche fisiche e anagrafiche delle famiglie del paese XX che intendono rinnovare l'arredamento; nel secondo potrei misurare l'altezza da cui lancio il dado, l'impulso del lancio,

  Un evento è un fatto che riguarda un fenomeno casuale; ogni volta che, a parità di condizioni, il fenomeno si realizza, l'evento può verificarsi o no. Nel contesto del lancio di un dado, un evento può essere "esce la faccia del dado con 4 pallini"; nel contesto della situazione (A) un esempio di evento è "arriva un cliente alto 181 cm"; nel contesto del lancio di una coppia di dadi un particolare evento è "escono due facce contenenti complessivamente 8 pallini"; .

    Passando al modello matematico, rappresento il fenomeno casuale individuando uno o più oggetti matematici che rappresentino le grandezze o gli aspetti attraverso cui si manifesta il fenomeno: nel caso dell'arrivo del cliente mi interessa rappresentare la sua altezza, e posso farlo considerando il numero che ne è la misura in una fissata unità; nel caso del lancio di una coppia di dadi posso considerare i due numeri che indicano le quantità dei pallini che compaiono sulle due facce che escono, .

    Questi oggetti matematici li indico con delle lettere o dei nomi, così come si fa per le variabili nelle formule che descrivono fenomeni deterministici, e per questo vengono chiamati variabili casuali.

    Si è già usata questa notazione negli esempi visti (nel 1):

H1 (a valori negli interi positivi) per indicare l'altezza del potenziale cliente nato nel 1930, E (a valori in {"1","2","X"}) per indicare l'esito della partita, P (a valori nel "piano") per indicare la posizione in cui cade la bomba, U1 e U2 (a valori in {1,2,, 6}) per indicare le uscite dei due dadi lanciati,

    Dall'evento come fatto che riguarda il fenomeno, nel modello matematico passo all'evento come relazione (predicato, condizione, ) φ(X1,X2,, Xn) dove X1, X2,, Xn sono variabili casuali riferite al fenomeno in questione:

 H1≤183     E="1" or E="X"     PA     U1+U2 = 8

6

  Discutere i seguenti esercizi tratti da alcuni libri di testo per il biennio (e le risposte da essi indicate):

  a) classificare gli eventi seguenti assegnando a ciascuno l'aggettivo certo o impossibile o incerto:

      1) "le foglie del pioppo cadono in autunno" [R.: certo]

      2) "un malato guarirà entro tre giorni" [R.: incerto]

  b) qual è la probabilità che lanciando una sola volta un dado escano due numeri pari [R.: 0]

  È da sottolineare l'opportunità che nell'insegnamento della probabilità si dedichino cura e tempo ad aspetti e obiettivi quali: la formulazione chiara delle situazioni problematiche, la delimitazione di ciò che può essere oggetto di valutazioni probabilistiche, il superamento delle ambiguità linguistiche, la comprensione del significato contestuale dei connettivi, . Ciò è, indubbiamente, importante anche per le altre aree matematiche, ma, nel caso della probabilità, il riferimento a situazioni "reali" piuttosto che "stereotipate", l'attenzione agli aspetti linguistici, sono decisivi in quanto i problemi di tipo probabilistico sono necessariamente riferiti a contesti extramatematici e non sono ancora formalizzati.

    Del resto, una delle difficoltà maggiori del matematico che presta consulenze statistico-probabilistiche a medici, sociologi, consiste proprio nel comprendere, attraverso le parole di questi, quali sono gli "eventuali" eventi su cui vorrebbero avere delle valutazioni probabilistiche.

    Già nel quesito 3 era emersa l'importanza di formulare/interpretare i problemi esplicitando in maniera chiara il significato dei connettivi; il quesito 6 evidenzia l'importanza di prestare attenzione anche al significato degli articoli ("un" come "per ogni" o come "esiste", ), .

    Occorre tener presente che anche per altri aspetti il lessico del linguaggio comune differisce da quello "probabilistico": ad esempio nel linguaggio naturale incerto significa "non certo" e, se si interpreta la negazione in senso stretto (secondo la semantica dei connettivi della logica) comprende come caso particolare "impossibile", se la si interpreta in senso lato può essere inteso, a seconda del contesto, anche come "poco probabile" o come "quasi certo". Considerazioni analoghe si possono fare per l'aggettivo "possibile".

    La formulazione degli eventi sotto forma di relazioni in cui compaiono variabili casuali (e connettivi) facilita queste riflessioni linguistiche, la distinzione tra frasi che rappresentano situazioni che possono essere oggetto di valutazioni probabilistiche e frasi non interpretabili come eventi,

Nota. Facciamo alcune precisazioni, "a livello adulto", sugli eventi (altre saranno svolte nella scheda 5).

 Le variabili casuali non sono trattabili come le usuali variabili. Ecco qualche esempio, riferito alla situazione (A), in cui H1 è il numero che rappresenta l'altezza troncata ai centimetri di un cliente nato nel 1930:

  H1=n rappresenta un evento se a n sostituiamo un numero naturale; non avrebbe senso sostituire un numero frazionario o un numero negativo: ad ogni variabile aleatoria associamo un insieme di "output" che può assume ad ogni realizzazione del fenomeno (vedi anche il commento all'esercizio b) del quesito 6).

In alcuni casi, tuttavia, può risultare comodo associare alla variabile un dominio più ampio di quello corrispondente alla situazione "reale"; ad esempio STAT interpreta tutti i dati come numeri reali ( commenti al successivo quesito 9); è una situazione analoga a quella, per es., in cui si rappresenta un problema con una disequazione f(x)>h e si risolve la disequazione come se x variasse in IR anche se le misure della grandezza rappresentata da x possono assumere solo valori interi; nel ritornare al contesto reale occorre poi approssimare gli estremi degli intervalli-soluzione con opportuni numeri interi.

  Se in H1=n sostituissi H1 con un particolare numero naturale non otterrei più un evento: non avrebbe senso calcolarne la probabilità perché non conterrebbe variabili casuali; invece, se realizzando l'esperimento ottengo per H1 il valore 183 posso controllare se l'equazione 183=n è vera o falsa.

 "esiste n>100 tale che H1=n" rappresenta un evento.

 "esiste H1>100 tale che H1=n" non può rappresentare un evento perché non sarebbe possibile ad ogni realizzazione del fenomeno controllare se la relazione che si ottiene mettendo al posto di H1 il risultato dell'esperimento è vera o no: se realizzando l'esperimento ottengo per H1 il valore 183, non ha alcun senso la frase "esiste 183>100 tale che 183=n".

7

  Qbasic è dotato di un "fenomeno casuale". Prova ad eseguire il programma ad una riga:

FOR I=1 TO 20 : PRINT RND TAB(20) RND*100 : NEXT

e, esaminando uscite, cerca di capire il significato della parola chiave RND.

  RND sembra comportarsi come un fenomeno casuale. Per esaminarne il comportamento mediante STAT posso usare un programma come quello riprodotto sotto, registrato come FA_RND.BAS (il nucleo essenziale del programma è costituito dalle righe 24-36).

    Mi propongo di generare 1000 numeri con RND:

Completo il sottoprogramma PROVA (righe 41-43) nel modo seguente:

    U = RND
    RETURN

Avvio il programma e, alla richiesta "nome file?" batto un nome che voglio (iniziante con una lettera e formato al più da 8 caratteri). Il file verrà regisitrato alla radice di C. Per registrarlo altrove posso seguire le indicazioni presenti nei commenti all'interno del programma (sono le righe 47-54 qui non riprodotte); alla richiesta "commento?" se voglio posso mettere: "1000 RND".

Alternativa a Fa_Rnd.bas.   Puoi generare simulazioni di fenomeni casuali anche usando direttamente il navigatore mediante la costruzione di javascript. Clicca QUI per esempi e informazioni sugli "script".

 A proposito del sottoprogramma PROVA, si noti che è un sottoprogramma del tipo Gosub-Return in cui tutte le variabili sono globali, ossia condivise con il programma principale da cui il sottoprogramma viene chiamato. Occorre non usare in esso le variabili "dato" e "NumeroDati" se non si vogliono ottenere effetti indesiderati. Per eventuali approfondimenti sui "sottoprogrammi" vedi Gli Oggetti Matematici (usa l'indice alfabetico).

 [1] ' Programma da completare per costruire file che rappresentino fenomeni
 [2] ' casuali analizzabili con STAT, con estensione STF.
 [3] '** Il file e' registrato nella cartella definita nel sottoprogramma
 [4] ' CARTELLA
 [5] '** Nel sottoprogramma PROVA devi mettere una o piu` righe
 [6] ' che assegnino a U il dato che man mano vuoi mettere nel file.
 [7] ' Ad es. per l'esito del lancio di due dadi 'equi' puoi mettere:
 [8] '    U1 = FIX(RND*6)+1 : U2 = FIX(RND*6)+1
 [9] '    U = U1 + U2
[10] ' oppure:
[11] '    U = FIX(RND*6) + FIX(RND*6) + 2
[12] '** Altri ESEMPI li trovi in fondo
[13] '** Se vuoi prendere a caso la successione di numeri pseudocasuali togli
[14] ' l'apice dalla riga seguente:
[15] 'RANDOMIZE TIMER
[16] 
[17] PRINT : COLOR 11
[18] PRINT "Finito l'uso del programma, non registrare le modifiche (o registra"
[19] PRINT "il programma con un nuovo nome).": COLOR 10
[20] PRINT "Hai letto i commenti presenti nella lista del programma e modificato"
[21] INPUT "opportunamente il sottoprogramma PROVA (s/n)"; risp$
[22] IF UCASE$(risp$) <> "S" THEN END
[23] GOSUB Cartella : est$=CHR$(46)+"STF"
[24] INPUT "nome file"; nome$
[25] IF UCASE$(RIGHT$(nome$, 4)) <> est$ THEN nome$ = nome$ + est$
[26] INPUT "eventuale commento"; Commento$
[27] INPUT "numero dati"; NumeroDati
[28] OPEN Percorso$ + nome$ FOR OUTPUT AS #1
[29] PRINT #1, "'" + Commento$
[30] 
[31] FOR dato = 1 TO NumeroDati
[32] GOSUB Prova
[33] PRINT #1, U
[34] NEXT
[35] 
[36] CLOSE #1
[37] PRINT "Il file e` stato generato."
[38] END
[39]
[40] '------ Sottoprogramma PROVA -------------------------------------
[41] Prova:
[42] U =
[43] RETURN
[44]
[45] '------ Sottoprogramma CARTELLA -------------------------------------
[46] Cartella:
   ...
[55] Percorso$ = "C:/"
[56] RETURN
   ... [seguono gli ESEMPI di Prova]

8

  Procedi come indicato sopra e rappresenta il file di dati ottenuto con un opportuno istogramma. Deduci come "si distribuiscono" i valori generati da RND.

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