>>>>>

Scheda 6 - Problemi tipici della statistica matematica

9. Suggerimenti e risposte ai quesiti

2

   Con una CT o STAT ottengo la media 7.2000…, lo s.q.m. 0.151186, la stima non distorta (SQM statistico) 0.1633 e la stima non distorta dello s.q.m. della media (SQM stat. della media) 0.061721, che moltiplicata per 3 mi dà 0.185 (è il 3σ*). L'intervallo di confidenza cercato è dunque 7.200±0.185. Questo procedimento va bene anche per errori distribuiti secondo un'altra legge simmetrica (per la gaussiana si potrebbe usare anche un altro procedimento, basato sull'impiego di una particolare distribuzione detta di Student o t-distribuzione).

Torna al punto 2

4

   La discussione è svolta nel testo stesso, sotto ai due istogrammi.

Torna al punto 4

5

   Il grafico riprodotto si riferisce alla poissoniana con parametro 6.119, cioè la media sperimentale, ottenuto con:
p(x)=#a^x/!(x)exp(-#a)   #a=6.119   plot x:0..15 n=15 y:p.
Con la media teorica (6) si ottiene la poligonale di distribuzione, quasi uguale, riprodotta a destra (quella più alta tra le due).

Torna al punto 5

7

   a=100/1000·2=0.2; 1–Pr(N=0)=1–e^–a=0.18 = 18%.

Torna al punto 7

8

   y=axⁿ+bx^n–1+… per x → ∞ tende a comportarsi come y=axⁿ, che è trasformata in Y = Log(y) = Log(a)+n·Log(x) = Log(a) + n·X: il grafico trasformato (figura B), che in Poligon ottengo con [Plot] avendo messo "=LD(x)" e "=LD(y)" nei box "x" e "y", tende a disporsi lungo una retta di pendenza n. Posso ricavare usando le informazioni sulla scala che n (che so essere intero) deve essere 3.

    Volendo potevo trovare il grafico-pendenza di questo nuovo grafico facendo una ulteriore trasformazione: con [Plot] avendo messo "=DERIV" nel box "y" ottengo il grafico della pendenza di B. Ecco, in C, che cosa si sarebbe ottenuto. Si vede che la pendenza tende a 3.

Il coefficiente direttivo a può essere ricavato determinando l'intersezione con l'asse y della retta lungo cui tende a disporsi il grafico trasformato in scala bilogaritmica (è Log(a)). A destra si è tracciata una retta con pendenza 3 lungo cui sembra disporsi il grafico; ha equazione Y=3X+0.3, da cui ricavo che a è circa 100.3, cioè circa 1.995… . Posso ritenere che a = 2.0. Torna al punto 8

9

   y = ae^bx → Y = Log(y) = Log(a)+ xbLog(e). È già tracciata una retta approssimante: Y = –3.5/80·x–1. Deduco che: a ≈ 10^-1=0.1, b ≈ –3.5/80·ln10 ≈ –0.1007 ≈ –0.1.

Torna al punto 9

10    A lato sono riprodotte le rappresentazioni (su 4 finestre) del file originale e quelli ottenuti con successivi passaggi alla pendenza. Con 2 passaggi alla pendenza si è arrivati a un andamento lineare; quindi la funzione tabulata era un polinomio di grado 3. Dal fatto che l'ultimo grafico è la retta di ordinata 12 (le oscillazioni iniziali sono dovute a problemi di approssimazione: differenze tra numeri vicini), deduco che il coefficiente direttivo del polinomio è 12/3/2 = 2. Con cambi di scala posso osservare che il penultimo grafico è approssimato da y=–6+12x e dedurne che il coefficiente di grado 2 è –6/2=3.     Operando cambi di scala sugli altri grafici posso stabilire che la funzione polinomiale è x 2x3–3x2+5. Sotto a sinistra sono riprodotti parzialmente il grafico di tale funzione e il file originale (i primi 8 "punti").

    Se si fossero rappresentate le successive pendenze di un file di dati ad andamento esponenziale si sarebbero sempre ottenuti grafici crescenti.

    Nel caso di dati con andamento del tipo x xⁿ x si sarebbe passati dalla pendenza di ordine n crescente a quella di ordine n+1 decrescente.

Sopra, a destra, si può osservare la rappresentazione del file originale trasformato con x'=x, y'=y^(1/3), o y'=R3(y).

    In pratica, è una rappresentazione in scala cubica. Il grafico di una funzione polinomiale di grado 3 viene trasformato in un grafico che tende a disporsi lungo una retta avente come pendenza la radice cubica del coefficiente direttivo. Dal grafico o, meglio, facendo il grafico della pendenza di questo nuovo grafico, si ottiene che la radice cubica del coefficiente direttivo è 1.26, da cui si ha che il coefficiente direttivo è 2.00.

    La tecnica delle pendenze successive per individuare andamenti polinomiali non richiede tecniche di calcolo differenziale:
data la funzione polinomiale di grado n  f: x axⁿ+bx^n–1+… ,
la funzione rapporto incrementale x (f(x+h)–f(x))/h =
(a(x+h)ⁿ+b(x+h)^n–1+…–axⁿ–bx^n–1–… )/h = ((ah+b)x^n–1+…)/h = (ah+b)/h·x^n–1+…
è una funzione polinomiale di grado n–1.

Torna al punto 10

12    Basta apportare le modifiche a lato; si ottiene 0.04 come output. Ovviamente, in questo caso era facile anche il calcolo a mano:   (499–500)2/500+(501-500)2/500 = 2/500 = 4/1000

nc=2 : n=1000 DIM FrOss(nc), pr(nc) DATA 499,501 FOR i = 1 TO nc: READ FrOss(i): NEXT FOR i = 1 TO nc : pr(i)=1/2 : NEXT

Torna al punto 12

14

   Usando TABCHI2 (che trova sperimentalmente proprio il χ² della distribuzione uniforme) o la tabulazione ho che 0.004 corrisponde circa al percentile di ordine 5. Si tratta quindi di un valore piuttosto anormale. È sensato ritenere che l'amico ci abbia raccontato una frottola.

Torna al punto 14

15

   Calcolo a mano o con STAT (vedi sotto, a sinistra, per l'introduzione dei dati) media e varianza.

20,21 30,72 400 dati in 8 intervalli min,max: 20,100 40,66 media: 60.25 mediana: 60.58823529 50,38 sqm: 21.188145 varianza: 448.9375 60,51 70,56 massima densita' di freq.: 1.8% in [30,40) 80,64 moda: [30,40) freq.rel.massima: 18% 90,32 100,end

La distribuzione uniforme in [a,b) deve avere (a+b)/2=60.25 e (b–a)2/12=448.94. Risolvendo il sistema, a mano o con derive, ottengo a=23.55, b=96.95. Modifico TestChi2.bas nel modo indicato a lato, ottenendo 21.6. I gradi di libertà sono 8–3=5 (tolgo 3 invece di 1 perché ho imposto anche media e varianza, ovvero a e b). 21.6 corrisponde a oltre il 97° percentile. Rigetto quindi l'ipotesi dell'uniformità.

nc=8 : n=400 DIM FrOss(nc), pr(nc) FOR i=1 TO nc: READ FrOss(i): NEXT DATA 21,72,66,38,51,56,64,32 a=2355e-2 : b=9695e-2 : L=b-a Pr(1)=(30-a)/L : Pr(8)=(b-90)/L FOR i=2 TO 7 : Pr(i)=10/L : NEXT

Torna al punto 15