Non sono molte le funzioni che si sanno integrare formalmente, anche se (chissà perché? …) sono le sole che si trovano da integrare sui libri di testo (non solo di scuola secondaria). Una non integrabile elementarmente è la gaussiana. Qui sopra uno script per integrarla (in altri script puoi trovare come integrare una generica funzione). Rinviamo a questo documento (su cui qui non ci soffermiamo) per il ruolo della gaussiana.

Le funzioni elementari (funzioni di una variabile che sono la composizione di operazioni aritmetiche, potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e loro inverse) sono chiuse rispetto alla derivazione ma non rispetto all'integrazione. Alcuni esempi di funzioni elementari che non hanno una antiderivata elementare, usando x come variabile di input:
√(1+x^3),  √(1-x^4),  1/√(1+x^4),  1/log(x),  log(log(x)),  exp(x^2),  exp(-x^2),  exp(x)/x,  exp(exp(x)),  x^2*exp(-x^2),  sin(x^2),  cos(exp(x)),  sin(x)/x.