• Ancora un esercizio sulle coniche, qui. Quanto sarebbe "utile" (in una terza liceo) imparare a risolverlo senza derivazione? Approfondiremo il discorso.
•
Siamo in una seconda superiore. Abbiamo da affrontare il seguente problema. Come possiamo procedere?
«Devo realizzare una scatola tagliando da una lamiera quadrata di lato 20 [cm]
quattro quadratini di lato x e operando successive piegature e saldature: vedi figura sotto a sinistra.
Come devo effettuare il taglio per ottenere il volume massimo? [utilizza il computer per
tracciare i grafici]»
V <- function(x) (20-2*x)^2*x; windows() plot(V,0,10); abline(v=seq(0,10,1),lty=3) # zoom: plot(V,3,4); abline(v=seq(3,4,1/10),lty=3) # zoom: plot(V,3.3,3.4); abline(v=seq(3.3,3.4,1/100),lty=3) # zoom: plot(V,3.33,3.34); abline(v=seq(3.33,3.34,1/1000),lty=3) # quando mi fermo?
• Abbiamo visto come le coniche possono/dovrebbero essere insegnate in diversi livelli scolastici, dalle scuole elementati all'università, con diversi livelli di approfondimento e generalizzazione, non ogni volta ex-novo. Non abbiamo sviluppato a fondo il discorso, ma abbiamo visto come esso si potrebbe applicare ad altre aree della matematica. Sono sorte opinioni diverse sull'argomento "derivate". Approfondiamo quindi, oggi, questo tema, di cui avete "fresche" esperienze di studio.
• Su Galileo Galilei, da Jhon D. Bernal, "Storia della Fisica" ("The Extension of Man", 1972):
... Questo è l'altro aspetto dell'attività di Galileo: il movimento dei
corpi: palle di cannone o corpi in caduta, moti naturali o moti artificiali. Fu a
questo punto che Galileo intraprese una serie di esperimenti per determinare quali
fossero realmente le leggi secondo le quali i corpi cadevano. Si dice che egli
abbia fatto cadere due corpi di massa diversa dall'alto della torre di Pisa ed abbia
trovato che essi giungevano al suolo contemporanemante. Questo esperimento ha una
storia curiosa, ma quello che è sicuro è che Galielo non ha mai fatto
una cosa del genere. ... Comunque anche se Galileo non eseguì veramente questo
esperimento, fece un gran numero di esperimenti ideali dello stesso tipo, come
immaginare una cosa fatta di due pezzi e dimostrare che i due pezzi devono cadere
alla stessa velocità a cui cadrebbero se fossero insieme. Qundi tutte le cose
cadono alla stessa velocità, se si trascura la resistenza dell'aria. Galileo
sapeva della resistenza dell'aria, ma la aveva coscientemente trascurata.
Egli stava cercando di determinare, e questo è un altro esempio dell'idealismo
della fisica teorica, quello che farebbero i corpi nello spazio libero o nel vuoto.
...
Tutti sapevano che se si lascia cadere qualche cosa, essa va tanto più veloce,
quanto più va in basso; lo sapeva anche Aristotele. Ma Aristotele aveva detto:
«Sta cercando di arrivare al suolo: proprio come un cavallo si muove più
velocemente quanto più vicina sente la stalla, così il sasso si muove
più velocemente quanto più è vicino a terra» Questa è
quella che si chiama una dottrina delle cause finali, cioè le cose sono
determinate da ciò che diventeranno piuttosto che da ciò che erano prima;
e, a suo modo, è una dottrina estremamente buona. Il problema è che
Aristotele era un biologo. La sua teoria, ottima per i cavalli, non valeva niente
applicata agli oggetti inanimati. Il concetto di causa finale non è molto
usato in fisica, ma è molto utile in biologia.
...
Opposizone ad Aristotele si poteva già trovare in scuole come Oxford o Parigi ...
La cosa importante è che la discussione fu condotta, sempre e completamente, su
una base teologica e filosofica. La differenza di Galielo è che egli argomentò
attraverso gli esperimenti. Si rese conto, però, che gli sarebbe stato estremamente
difficile, con gli apparati a sua disposizione, misurare l'accelerazione effettiva di un
corpo in caduta libera ed evitò il problema lavorando con un piano inclinato, dove
l'accelerazione è, in proporzione, minore, o anche con il suo amato pendolo,
che poteva far muovere lentamente come voleva. ...
Galileo costruì un apparato speciale per trattare la caduta lungo piani con angoli
diversi. ... Egli usava una stecca a forma di V ben incerata e vi faceva rotolare sopra
una pallina di bronzo ben tornita. Il suo problema più grande era la misura del
tempo. Egli lo misurava facendo delle pesate. Aveva un piccolo orologio ad acqua fatto
così: da un recipiente usciva un sottilissimo getto d'acqua; quando la pallina
cominciava a muoversi, metteva sotto il getto un altro recipiente, e quando la pallina
arrivava in fondo, o ad un punto particolare del percorso, lo toglieva e lo pesava. ...
La prima cosa che trovò fu che lo spazio percorso in intervalli di tempo corrispondenti
andava come il quadrato del tempo e da questo derivò la legge del moto. ...
• Proviamo ad affrontare situazioni simili a questa, con gli strumenti che oggi noi abbiamo a disposizione, non con quelli di Galielo (anche se poi, su come ci è arrivato Galielo, può essere utile soffermarsi nell'insegnamento, per dare un'idea della storia delle idee).
| • Ho la fotografia multiflash (uno scatto ogni 30-esimo di secondo) di una palla da biliardo lasciata cadere da una certa posizione, a fianco ad un metro graduato con tacche ampie un millimetro. Cliccando puoi ingrandire la foto (che, per comodità, è stata ruotata di 90°). Non conosco la "legge di caduta dei gravi". Ho a disposizione il computer. Come posso mettere a punto un modello matematico che rappresenti il fenomeno? [affrontate il problema in gruppi di 4 o 5 persone, scrivete le risposte (entro 30 minuti) in un documento che mi inviate per posta elettronica, assieme a quello di cui sotto, relativo al quesito seguente] |
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Se ti serve, qui ci sono le successive posizioni (rispetto allo zero del righello) della pallina, arrotondate al mezzo millimetro più vicino, che si riescono a leggere nella foto:
p <- c(9.5,15,21.5,29.5,38.5,48.5,59.5,71.5,85,99,114,130.5,148,167) n <- length(p); n
•
Prova ad esaminare le seguenti schede di lavoro, che sono parte di quelle preparate e sperimentate da alcuni docenti
all'inizio del triennio della scuola superiore (qualche anno fa, in licei scientifici ed
istituti tecnici):
uno,
due.
Che differenze noti rispetto all'impostazione culturale e didattica con cui
questi argomenti (quali?) ti sono stati presentati nella scuola secondaria superiore?
[discutete del problema in gruppi di 4 o 5 persone, scrivete le vostre osservazioni in
un documento che mi inviate per posta elettronica]