• Prova ad eseguire in R il seguente calcolo:
library(MASS); fractions(24/40)
n <- seq(1,150,1); fractions((n+1)/n)
    Che cosa ti consente di congetturare? Perché?
    Prova a dimostrare la congettura. Come potrebbe dimostarla un ragazzo (sveglio e non succube della scuola - che cosa vuol dire "succube" ...) di 12 anni? Quale potrebbe essere la "gestalt" (che cosa significa, qui?) che gli ha permesso di ottenere la dimostrazione?
[provate a fare l'esercizio fuori da lezione, a gruppi o da soli; non "spedite" soluzioni; poi lo discuteremo]

La congettura è che due numeri interi positivi tra loro consecutivi siano primi tra loro. Vediamo diversi modi in cui potrei formulare una dimostrazione.

(1) Se N è pari N+1 non può esserlo.
Se N è divisibile per 3 N+1 non può esserlo: 3 e 4, 6 e 7, ... sono il primo divisibile per 3 e il secondo no; perché?
Pensiamo a 6 e a 7:  6=3·2, 7=3·2+1.  Riscritta la situazione così, mi viene l'idea:  se N = 3·D allora la divisione di N+1 per 3 ha come resto 1; infatti se il 3 sta esattamente D volte in N, starà D volte anche in N+1, con l'avanzo di 1.
Ma questo ragionamento fatto per 3 posso ripeterlo allo stesso modo per ogni numero intero maggiore di 3. Ad es. se N è un multiplo di 8, allora N = 8·D, per cui N+1 = 8·D+1 non può essere un multiplo di 8: il multiplo di 8 successivo a N è N+8.

(2) Più formalmente (ma non mettendo in luce il modo in cui sono arrivato all'idea):
1 sta esattamente in ogni numero. Invece ogni altro divisiore di un numero intero maggiore di 1 non può esserlo anche del numero successivo, perché dividendo questo per esso avrei come resto 1.

(3) Più formalmente (ma non mettendo in luce l'idea retrostante):
Sia D un divisore comune a due numeri consecutivi N ed N+1. Sia N/D=Q. Allora (N+1)/D = N/D+1/D = Q+1/D. Quindi (N+1)/D può essere intero solo nel caso in cui 1/D sia intero, ossia quando D sia 1.

La "gestalt" è l'idea illuminante, non pura somma delle esperienze/idee precedenti, quella, per intenderci, che a Gauss ha fatto percepire che 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 poteva vederlo come (1+10)+(2+9)+... .  In questo caso - ipotizzando che il ragazzo abbia proceduto nel modo (1) - l'idea, che scatta dagli esempi fatti, è che se N è un multiplo di D (D intero maggiore di 1), il multiplo immediatamente successivo è ottenuto dal precedente aggiungendo D, ossia è N+D, e, quindi, N+1 non può esserlo.

  [succube]